Def (miejsca zerowego funkcji). Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki jej argument x, dla którego f(x)=0

Def (najmniejszej i największej wartosci f) Funkcja przyjmuje w punkcie xo ED wartość najmniejsza m, gdy f(xo)=m oraz dla każdego x ED zachodzi nierówność f(x)>=f(xo) m=min {f(x) : x D}=f(xo). F przyjmuje w punkcie xo wart największą M, gdy f(xo)=M oraz dla każdego x ED zachodzi nierówność f(x)<=f(xo) M=max {f(x) : x D}=f(xo)

Def (równości funkcji) Funkcje f: DfY i g: DgY są równe, co zapisujemy f=g gdy Df=Dg oraz dla każdego x ED f(x)=g(x)

Def (f ograniczonej) Funkcje f: XY nazywamy ograniczoną, jeżeli istnieją takie liczby rzeczywiste m, M, ze dla każdego x ER m<=f(x)<=M

Def (f rosnącej, (malejącej)) Funkcje f: XY nazywamy rosnąca(malejąca), jeżeli dla dowolnych x1,x2 X, spełniających nierówność x1<x2 zachodzi f(x1)<f(x2) [ f(x1)>f(x2) ]

Def ( okresowości) Funkcje f: XY nazywamy okresową, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista T=/0, ze dla dowolnego xEX: x+T EX i f(x+T)=f(x). Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Najmniejszy dodatni okres, jeśli istnieje, nazywamy okresem podstawowym.

Def (f parzystej i nieparzystej) Funkcję f: XY nazywamy f .parzysta, jeżeli dla każdego xEX : -xEX i f(-x)=f(x), zaś nieparzystą gdy dla każdego xEX : -xEX i f(-x)= -f(x)

Def (f złożonej) Złożeniem funkcji f: XY i g: YZ nazywamy funkcję h: XZ dana wzorem h(x)=g(f(x)). Złożenie funkcji oznaczamy symbolem h= gof. Zatem dla każdego xEX: (gof)(x)=g(f(x)). Funkcję f nazywamy wewnętrzna a g zewnętrzną.

Def (f różnowartoś.) Funkcje f: XY nazywamy różnowartościowa(injekcją), jeżeli rożnym argumentom przyporządkowuje ona różne wartości, tj dla dowolnych x1,x2EX (x1=/x2)(f(x1)=/f(x1)) oznaczamy ją 1-1

Def ( f „na”) Funkcje f: XY nazywamy „na”(surjekcją), jeżeli Wf=Y, tzn dowolny punkt yEYjest wartością funkcji dla pewnego xEX (y=f(x)).

Def (wzajemnie jednoznacznej) jest wzajemnie jednoznaczna gdy jest różnowartościowa i „na”

Def ( f odwrotnej) Niech f:XY będzie f wzajemnie jednoznaczną. Funkcje f-1: YX nazywamy odwrotną do funkcji f jeżeli dla każdego xEX i yEY f-1(y)=xy=f(x). F dla której istnieje f odwrotna nazywamy odwracalną.

Def (pierwiastka wielomianu) Liczbe rzeczywista xo nazywamy pierwiastkiem wielomianu W(x), jeżeli W(xo)=0

Def (równości wielomianów) Dwa niezerowe wielomiany sa równe, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki, stojące przy tych samych potęgach zmiennej x sa sobie równe.

Def (dzielenia wielomianów) Niech W(x) i Q(x) będą wielomianami przy czym stW(x)>=stQ(x) i Q(X) nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli istnieje dokładnie jeden wielomian P(x) taki, ze dla każdego xER spełniona jest równość W(x)=Q(x)*P(x) to wielomian P(x) nazywamy ilorazem wielomianu W(x) przez Q(x).

Tw (o rozkładzie wielomianu) Jeżeli W(x) i Q(x) sa wielomianami takimi ze stW(x)>=stQ(x) i Q(x) nie jest w zerowym to istnieja takie dwa wielomiany P(x) i R(x) ze W(x)=Q(x)*P(x)+R(x). R(x)-reszta z dzielenia

Tw (Bezouta) liczba xo jest pierwiastkiem wielomianu W(x) gdy wielomian jest podzielny przez dwumian(x-xo)

Def (f arcsin) Jest to f odwrotna do f sinus argumenty xE[-1,1] yE[-pi/2, pi/2] .

Def (arccos) F odwrotna do f cosinus, xE[-1,1], yE[0,pi]

Def (arctg) F odwrotna do f tangens, xER, yE(-pi/2,pi/2)

Def (arcctg) F odwrotna do f cotangens, xER, yE(0,pi)

Def (ciągu ograniczonego) Jest ograniczony z dołu, jeśli istnieje takie mER ze dla każdego nEN zachodzi a(n)>=m. Jest ograniczony z góry, jeżeli istnieje takie MER ze dla każdego nEN zachodzi a(n)<=M. Jest ograniczony jeżeli istnieja takie m, M ze m<=a(n)<=M

Def (granicy właściwej) Ciąg a(n) jest zbieżny do granicy właściwej gER, co zapisujemy lim(an){nniesk}=g dla doolnego E>0 istnieje takie noEN, ze dla każdego n>no spełniona jest nierówność |an-g|<E

Def ( ciągu zbieżnego) Ciąg liczbowy, który ma granicę właściwą, nazywamy zbieżnym.

Tw Jeżeli ciąg an jest zbieżny do granicy właściwej to jest ograniczony.

Tw ( o zbieżności ciągu monot i ogranicz) Jeżeli ciąg an jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.

Tw Iloczyn ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego jest ciągiem zbieżnym do zera

Def (wyrazen nieoznaczonych) symbole nieoznaczone: & - & 0*& 0/0 &/& 1^& &^0 0^0

Tw (o trzech ciagach) jeżeli ciagi an bn cn spełniaja warunki 1) an<=bn<=cn dla każdego n>=no 2) lim[an]=lim[cn]=g to lim[bn]=g

Tw: Jeżeli 1) a>0 to lim[a^(1/n)]=1 2) nEN to lim[n^(1/n)]=1 3) lim(an){nnies}=0 to lim(sinan/an)=1

Def (granicy niewłaściwej) ciag an jest zbieżny do granicy niewłaściwej w &(lub -&) co zapisujemy lim(an)=& gdy dla każdego M>0 (M<0) istnieje noEN ze dla każdego nEN zachodzi n>noan>M (an<M)

Tw (o dwóch ciagach) Jeżeli ciągi an i bn spełniają warunki 1) an<=bn dla każdego n>=no 2) lim(an)=& to lim(bn)=&

Tw Jeżeli lim(bn)=0, to lim(1+bn)^(1/bn)=e

Def (podciągu ciągu liczbowego) Niech (an) będzie ciagiem liczbowym i niech (nk) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Ciąg (ank) nazywamy podciągiem ciągu (an)

Tw (Bolzano-Weierstrassa) Z każdego ciagu nieskończonego i ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.

Def (Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie) Liczbe g nazywamy granica właściwa funkcji f w punkcie xo gdy dla każdego ciagu (xn) o wyrazach xnES(xo,r) i zbieżnego do punktu xo odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest zbieżny do liczby g. limf(x){xxo}=g

Def (Cauchy’ego granicy właściwej funkcji w punkcie) Liczbę g nazywamy granica właściwa funkcji f w punkcie xo gdy dla dowolnej liczby E>0 istnieje taka liczba delta>0 ze dla wszystkich x=/xo spełniających nierówność |x-xo|<delta zachodzi nierówność |f(x)-g|<E limf(x){xxo}=g

Tw (o granicy f złozonej) jeżeli istnieje granica f w punkcie xo i limf(x){xxo}=yo, f(x)=/yo dla każdego xES(xo,r) oraz istnieje granica funkcji g w punkcie yo i limg(y){yyo}=q, to limg(f(x)){xxo}=q

Def (Heinego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie) Funkcja f ma w punkcie xo granicę niewłaściwą (niesk) gdy dla każdego ciagu (xn) o wyrazach xnES(xo,r) zbieżnego do xo, ciag (f(xn)) jest rozbieżny do nieskończoności

Def (Heinego granicy właściwej funkcji w nieskończoności) Funkcja f okreslona w przedziale(a,&), ma w &: 1)granice właściwą g gdy dla każdego ciagu(xn) o wyrazach xnE(a,&), rozbieżnego do &, ciąg (f(xn))jest zbieżny do liczby g. limf(x){x&}=g 2)granice niewłaściwa +-& gdy dla każdego ciagu(xn) o wyrazach xE(a,&), rozbieżnego do &, ciąg (f(xn)) jest rozbieżny do +-&. Limf(x){x&}=+-&

Def (Heinego granic jednostronnych) Niech funkcja f będzie okreslona przynajmniej w pewnym lewostronnym [prawostronnym] sąsiedztwie S_(xo,r) [ S+(xo,r)]. Liczbę g nazywamy granica lewo[prawo]stronna właściwą (lub niewłaściwa) funkcji f w punkcie xo gdy dla każdego ciagu(xn)o wyrazach xnES-(xo,r) [xnES+(xo,r)] zbieznego do xo, ciag (f(xn)) jest zbieżny do g.

Tw (o warunku koniecznym i wystarczającym istnienia granicy) Funkcja f ma w punkcie xo granice właściwą(lub niewłaściwą) gdy istnieją granice jednostronne w tym punkcie i sa sobie równe.

Def (ciągłości f w punkcie) F jest ciągła w punkcie xogdy istnieje granica limf(x){xxo} oraz limf(x){xxo}=f(xo)

Def (ciągłości jednostronnej funkcji w punkcie) Niech f będzie określona w pewnym lewo[prawo]stronnym otoczeniu U_(xo,r) [U+(xo,r)]. F jest lewo[prawo]stronnie ciągla w punkcie xo gdy istnieje granica limf(x){xxo-} [limf(x){xxo+}] i prawdziwa jest równość limf(x){xxo-}=f(xo) [limf(x){xxo+}=f(xo)].

Def (punktów nieciągłości) Punkt xoEDf, w którym funkcja f nie jest ciągła nazywamy punktem nieciągłości I rodzaju gdy istnieja granice właściwe lewo i prawostronne ale jedna z nich nie jest równa f(xo), II rodzaju jeśli co najmniej jedna z granic nie istnieje lub jest równa +-&

Tw (o ciaglosi f zlozonej) Jeżeli funkcja(wewnętrzna) f jest ciągła w xo i funkcja(zewnętrzna) g jest ciagła w yo=f(xo) to f złozona g(f(x)) jest ciągła w punkcie xo.

Tw (o ciągłości f odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest ciągła i rosnąca(lub malejąca) w przedziale AER, to f(A) jest przedziałem oraz funkcja odwrotna f-1 jest ciagła i rosnaca(lub malejaca) w przedziale f(A)

Tw (o granicy w argumencie f ciągłej) Jeżeli istnieje granica własciwa limf(x){xxo}=q i funkcja h(y) jest ciagła w yo=q to limh(f(x)){xx0}=h(limf(x){xx0})=h(q)

Def (pochodnej właściwej w punkcie) Pochodna funkcji y=f(x) w punkcie xom oznaczona symbolem f’(xo) nazywamy granice właściwą f’(xo)=lim[f(xo+delta)-f(xo)/deltax]{deltax0} jeśli granica ta istnieje. Mówimy wtedy ze f jest różniczkowalna w punkcie xo. Jeśli granica ta nie istnieje, to mówimy że pochodna f’(xo)nie istnieje.

Tw Jeżeli f jest różniczkowalna w xo, to jest w tym punkcie ciągła(odwrotnie nie!)

Tw (o warunku koniecznym i dostatecznym istnienia pochodnej) Pochodna f’(xo) istnieje gdy istnieja obie pochodne jednostronne funkcji f w punkcie xo i sa sobie równe.

Def (pochodnej niewłaściwej) Niech f będzie ciagła w punkcie xoER. Funkcja f ma w punkcie xo pochodna niewłasciwa gdy pochodne(granice z def) sa równe =-&

Def (funkcji pochodnej) Jeżeli pochodna funkcji y=f(x) jest określona w każdym punkcie zbioru XEDf gdzie Df jest dziedzina funkcji f, to funkcję określona w zbiorze X i dana wzorem f’(x), xEX, nazywamy funkcją pochodna funkcji f.

Tw ( o pochodnej f złozonej) jeżeli dla funkcji złozonej f=Hog funkcja g jest różniczkowalna w punkcie xo, a funkcja h jest różniczkowalna w g(xo), to f złozona(Hog) jest rózniczkowalna w xo. (hog)’(xo)=h’(g(xo))g’(xo)

Tw (o pochodnej f odwrotnej) Jeżeli funkcja f ma pochodna wlaściwa w xo taka, ze f’(xo)=/0 i istnieje funkcja f-1 odwrotna do funkcji f w pewnym otoczeniu U(xo), to istnieje pochodna funkcji f-1 w punkcie yo=f(xo). (f-1)’(yo)=1/f’(xo)

Tw (o stycznej do wykresu funkcji) Jeżeli w punkcie xo istnieje pochodna własciwa funkcji y=f(x) to f’(xo)=tga, gdzie a jest katem nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie Po(xo,f(xo)) do osi OX. Równanie: y-yo=f’(xo)(x-xo).

Def (pochodnej II rzedu) Jeżeli funkcja f’ ma pochodna w punkcie xo, to oznaczamy ja symbolem f”(xo) i mówimy ze f ma w punkcie xo druga pochodna.

Tw (Reguła de l’Hospitala) Jeżeli 1) dziedziny funkcji f/g i f’/g’ zawieraja pewne sąsiedztwo S(xo)punktu xo, 2) limf(x){xxo}=limg(x){xxo}=0 lub +-& 3) istnieje granica lim[f’(x)/g’(x)]{xxo} to istnieje granica lim[f(x)/g(x)]{xxo} wlaściwa lub niewłaściwa i sa one sobie równe.

Def (asymptot pionowych jednostronnych) Prosta o równaniu x=xo nazywamy asymptotą pionową lewo[prawo]stronna wykresu funkcji f y= f(x) wtedy gdy granice z f(x) przy xxo+- sa równe +&lub-&

Def (a pionowej obustronnej) Prostą o równaniu x=xo nazywamy asymptota pionowa obustronna wykresu funkcji jeżeli jest ona jednoczesnie asymptota prawo i lewostronną.

Def (asymptot ukośmych jednostronnych) Prosta o równaniu y=ax+b nazywamy asymptota ukośną lewo[prawo]stonna wykresu funkcji y=f(x) wtedy gdy lim[f(x)-(ax+b)]=0 (w lewo x-&, prawox&)

Def (a ukosnej obustronnej) Prosta o równaniu y=ax+b nazywamy asymptota ukośną obustronna jeżeli jest ona jednocześnie asymptota lewo i prawostronna. a=lim[f(x)/x], b=lim[f(x)-ax]

Tw ( o warunkach wystarczających monotoniczności funkcji) Niech IER oznacza dowolny przedział(ograniczony lub nie). Jezelu dla każdego xEI 1)f’(x)=0 to funkcja jest stała na I,2)f’(x)>0 to funkcja jest rosnąca na I, itd.

Def (minimum i maksimum lokalnego) Funkcja f ma w punkcie xo maksimum[minimum] lokalne jeżeli istnieje taka liczba dodatnia r, ze dla każdego xES(xo,r)spełniona jest nierówność f(x)<=f(xo) [f(x)>=f(xo)]. Jeżeli sa spełnione nierówności mocne <, > to max i min nazywamy właściwym.

Tw (fermata o warunku koniecznym istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f osiąga ekstremum w xo i ma w tym punkcie pochodną, to f’(xo)=0

Tw (o warunku wystarczającym istnienia ekstremum na podst znaku I pochodnej) Niech funkcja f będzie rózniczkowalna w pewnym otoczeniu U(xo) punktu xo. Jeżeli f’(xo)=0 a ponadto f’(x)<0 dla xo-r<x<xo i f’(x)>0 dla Xo<x<xo+r to funkcja ta ma w xo minimum lokalne właściwe, a jeśli f’(x)>0 dla xo-r<x<xo i f’(x)<0 dla Xo<x<xo+r to ma maksimum.

Minimum i maksimum absolutne najmniejsza i najwieksza wartosc w zbiorze.

Def (wklesłosci i wypukłości wykresu) Mówimy ze krzywa y=f(x) jest wypukła(w dół)[wklęsla(w górę)] w przedziale (a,b)gdy dla każdego xoE(a,b)styczna poprowadzona do tej krzywej w punkcie (xo,f(xo)) jest połozona pod [nad] ta krzywa.

Tw (o warunkach wystarczających wklesłości i wypukłości) Jeżeli dla każdego XE(a,b)zachodzi: 1) f’’(x)<0 to krzywa y=f(x) jest wklęsla na (a,b). 2) f’’(x)>0 to krzywa jest wypukła.

Def (punktu przegięcia) Punkt Po(xo,f(xo))nazywamy punktem przegięcia krzywej y=f(x)gdy 1)istnieje styczna do krzywej y=f(x) w punkcie Po 2) krzywa y=f(x) jest wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punkty xo i wklęsla w pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu i na odwrót

Tw (o war koniecznym istnienia p przegięcia) Jeżeli funkcja f ma druga pochodna w otoczeniu U(xo), funkcja f’’jest ciągła w punkcie xo oraz punkt Po(xo,f(xo)) jest punktem przegięcia krzywej y=f(x), to f’’(x)=0

Tw (o war wystarczającym istnienia pp na podst znaku II pochodnej) Niech xoER oraz niech funkcja f będzie okreslona przynajmniej w otoczeniu U(xo) tego punktu. Niech ponadto f ma w xo pochodna właściwa lub nie. Wówczas jeżeli istnieje taka liczba dodatnia r,ze f’’(x)<0 dla kazdego xES-(xo,r) i f’’(x)>0 dla każdego xES+(xo,r) lub na odwrot to (xo,f(xo)) jest punktem przegięcia.

Tw (całkowanie przez czesci) Załózmy ze f i g sa różniczkowalne w pewnym przedziale. Wówczas: $f(x)*g’(x)dx=f(x)*g(x)-$f’(x)*g(x)dx