Zajęcia numer 3 i 4 – 5,6 listopada 2011 roku Równania i funkcje

Równania i nierówności liniowe

ax+b=0, ax+b>0, ax+b<0

Równania i nierówności kwadratowe

Równanie kwadratowe – równanie postaci

Dla równania kwadratowego wyznaczamy

Jeśli , równanie nie posiada rozwiązań.

Jeśli , równanie ma jedno rozwiązanie

Jeśli , równanie ma dwa rozwiązania oraz

Równanie można zapisać w postaci iloczynu:

Rozwiązaniem nierówności kwadratowej:

jest suma przedziałów

jest przedział

jest przedział

jest suma przedziałów

Przy nierównościach typu lub należy w rozwiązaniach domknąć przedziały przy , np.:

Równania wielomianowe

x³ + 2x² − 9x − 18 = 0 4(x−3)(x+4)(x−1) = 0

Równania wymierne

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$$

Wzory dla n-kąta:

Liczba odcinków i boków n-kąta wypukłego:

Liczba przekątnych n-kąta wypukłego:

Ćwiczenia do zajęć z równań:

1. Rozwiąż równania: , . ,

2. Rozwiąż równanie:

3. Rozwiąż nierówności: , , ,

4. Rozwiąż równanie , a wynik przedstaw w postaci 2^k, gdzie k jest liczbą całkowitą.

5. Rozwiąż równanie:

6. Oblicz długości boków prostokąta którego obwód wynosi 39 cm, a pole 90 cm².

7. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 434. Znajdź te liczby.

8. Liczbę 15 rozłóż na dwa składniki, których suma kwadratów wynosi 117.

9. Ile wierzchołków ma wielokąt wypukły , który ma 90 przekątnych?

10. W jakim wielokącie łączna ilość boków i przekątnych wynosi 36?

11. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 30, a suma długości przyprostokątnych jest o 4 większa od długości przeciwprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

12. W czasie wycieczki rowerowej uczniowie mieli do przebycia trasę długości 84 km. Podzielili tę trasę na odcinki równej długości i codziennie przejeżdżali wyznaczony odcinek. Gdyby na przebycie całej trasy zużyli o dwa dni więcej, to mogliby dziennie przebywać o 7 km mniej. Ile kilometrów przebywali uczniowie dziennie?

13. Dwaj pasterze prowadzą swoje stadka owiec. Pierwszy mówi do drugiego: „Daj mi jedną owcę, a będę miał dwa razy więcej owiec niż ty”. Z kolei drugi mówi do pierwszego: „Daj mi ty jedną owcę, a będziemy mieć równo”. Ile owiec miał każdy z nich?

14. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a odległość ich środków jest równa 19. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to ta odległość wynosiłaby 5. Wyznacz długości promieni tych okręgów

15. Liczbę 144 podziel na dwie części tak, aby połowa różnicy tych części była o 3 większa od szóstej części większej z nich.

16. Ile należy wziąć roztworu 5-procentowego i 20-procentowego, aby po zmieszaniu otrzymać 20 kg roztworu 14-procentowego.

17. Kilogram truskawek kosztował o 2 zł więcej od kilograma bananów. Gdy cena truskawek spadła o 25%, a cena bananów wzrosła o $\frac{1}{8}$ wówczas za 1 kg truskawek i 1 kg bananów razem trzeba by­ło zapłacić o 10% mniej niż przedtem. Oblicz po­czątkowe ceny truskawek i bananów.

18. Jacek jest o 25% starszy od Wacka. Za 3 lata będzie od niego tylko o 20% starszy. Oblicz wiek obu chłopców.

19. Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 7. Jeżeli do tej liczby dopiszemy na końcu jej pierwszą cyfrę, to otrzymamy liczbę trzycyfrową, która jest większa od początkowej o 555. Znajdź liczbę początkową.

Funkcja

Funkcja ze zbioru X w zbiór Y jest to takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X jest przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną.

Funkcję możemy określić za pomocą grafu, tabelki, diagramu, wzoru, wykresu.

Przykład dla funkcji f(x)=x(x-3) gdy D={-1,0,1,2,3,4,5}

Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdy argument, któremu funkcja przyporządkowuje wartość 0.

Jeżeli mamy wykres funkcji f(x), to wykres funkcji g(x):

g(x)=f(x)+a - przesunięcie o a jednostek w górę,

g(x)=f(x)-a - przesunięcie o a jednostek w dół,

g(x)=f(x+a) - przesunięcie o a jednostek w lewo,

g(x)=f(x-a) - przesunięcie o a jednostek w prawo,

g(x)=-f(x) - symetria względem osi OX,

g(x)=f(-x) - symetria względem osi OY.

Badanie własności funkcji możemy przeprowadzić w 5 punktach:

1. wyznaczanie dziedziny i zbioru wartości,

2. wyznaczanie miejsc zerowych,

3. wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji i dla jakich argumentów te wartości zostają uzyskane,

4. wyznaczenie maksymalnych przedziałów w których funkcja jest dodatnia, nieujemna, ujemna, niedodatnia (dodatnia – wartości większe od zera, nieujemna – wartości większe lub równe zero),

5. wyznaczenie maksymalnych przedziałów w których funkcja jest rosnąca, stała lub malejąca.

Funkcja liniowa – funkcja postaci f(x)=ax+b.

Wykres – linia prosta, przecina oś OY w punkcie (0,b), a oś OX w punkcie. Można powiedzieć, że wykres funkcji liniowej przechodzi przez te punkty (oczywiście dla . Liczba , gdzie jest kątem nachylenia prostej do osi OX, nazywana jest współczynnikiem kierunkowym prostej. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do f(x)=ax+b jest równy . Aby wyznaczyć wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dane dwa punkty A=-(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂), najlepiej utworzyć układ dwóch równań liniowych .

Funkcja kwadratowa – funkcja postaci f(x)=ax²+bx+c, gdzie . Wykres – parabola.

, , , gdzie p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

Jeśli , to oraz

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej:

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: lub

Funkcja wymierna , gdzie V(x) nie jest wielomianem zerowym.

W szczególności funkcja - proporcjonalność odwrotna (proporcjonalność prosta f(x)=ax).

Funkcja wykładnicza f(x)=a^x, gdzie a>0 i .

Ćwiczenia do zajęć z funkcji:

1. Dana jest funkcja liniowa f(x)=2x-5 oraz punkty A=(-2,5) B=(5,-2). Napisz wzór funkcji liniowej :

a) równoległej do danej, której wykres przechodzi przez punkt A,

b) prostopadłej do danej, której wykres przechodzi przez punkt A,

c) której wykres przechodzi przez punkty A i B.

1. Naszkicuj wykres funkcji i określ jej własności:

2. Ośmiu robotników może pomalować ogrodzenie parku w ciągu 36 godzin. Ilu robotników trzeba, aby pomalować ogrodzenie w ciągu 16 godzin? Ile godzin potrzeba na tę pracę 6 robotnikom?

3. Kurs EURO obecnie wynosi 3,8 zł. Ile EURO można kupić z 2000 zł? Ile zł zapłacimy za 230 EURO?

4. Funkcję f(x)=- x²+2x+3 przedstaw w postaci kanonicznej i iloczynowej. Określ własności tej funkcji i na podstawie wykresu rozwiąż nierówność -x²+2x+3>-5.

5. Wykresem funkcji f jest parabola przechodząca przez punkty (0,5) i (-1,11) i mająca oś symetrii o równaniu x=1. Wyznacz wzór funkcji oraz jej zbiór wartości.

6. W jakim wielokącie liczba przekątnych jest o 12 większa od liczby boków?

7. W jakim wielokącie liczba przekątnych jest 5 razy większa od liczby boków?

8. Siatką długości 60 metrów należy ogrodzić prostokątny ogródek przylegający do budynku. Jakie powinny być wymiary ogródka, aby jego powierzchnia była możliwie największa?

9. Jacek jest o 25% starszy od Wacka. Za 3 lata będzie od niego tylko o 20% starszy. Oblicz wiek obu chłopców.