02.11.2011r.

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu

Ćwiczenie laboratoryjne nr 1

Prowadzący: Dr inż. Karolina Madera-Bielawska

Wykonał: Igor Kryziński

ROZKŁAD NORMALNY, NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU A

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest sporządzenie histogramu wartości mierzonych, a następnie analityczne wyznaczenie parametrów funkcji Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej oraz graficzne przedstawienie wyników wraz z ich interpretacją.

1. Stanowisko pomiarowe

Stanowisko pomiarowe składa się z makiety na której była przymocowana lampa wraz z przyciskiem do jej włączania i wyłączania. Podczas doświadczenia prowadzący włączał lampę, która po określonym czasie automatycznie się wyłączała. Naszym zadaniem było zmierzenie jej czasu świecenia.

1. Tabela pomiarowa

Tabela 1. Mierzone czasy wyłączania się świecącej lampy

Lp.	t ,  s
1	15,94
2	15,75
3	15,41
4	15,84
5	15,84
6	15,81
7	15,87
8	15,78
9	15,79
10	15,75
11	15,72
12	15,63
13	15,81
14	15,87
15	15,97
16	15,57
17	15,75
18	15,79
19	15,70
20	15,78
21	15,75
22	15,90
23	15,81
24	15,84
25	15,84
26	15,75
27	15,85
28	15,88
29	15,72
30	15,82

t – czas świecenia się lampy

1. Wyniki obliczeń

• Wartość średnia czasów świecenia się lampy

$\overset{\overline{}}{\mathbf{t}}\mathbf{=}\frac{\sum_{i = 1}^{n}t_{i}}{n} = \frac{473,53}{30} = 15,7843333\ s \approx \mathbf{15,78\ s}$

• Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

$\mathbf{\sigma} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( t_{i} - \overset{\overline{}}{t} \right)^{2}}{\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{0,344038185}{29}} = 0,10891917 \approx \mathbf{0,11\ s}\ $

• Odchylenie standardowe średniej

$\mathbf{\sigma}_{\overset{\overline{}}{\mathbf{t}}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,10891917}{5,477225575} = 0,019885828 \approx \mathbf{0,02}\ \mathbf{s}\ $

• Równanie Gaussa dla pojedynczego pomiaru

$$\mathbf{f}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\sigma}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\pi}}}\mathbf{e}^{\frac{{\mathbf{-}\left( \mathbf{t -}\overset{\overline{}}{\mathbf{t}} \right)}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{\sigma}^{\mathbf{2}}}}$$

• Równanie Gaussa dla średniej z pomiarów

$$\mathbf{f}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\sigma}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\pi}}}\mathbf{e}^{\frac{{\mathbf{-}\left( \mathbf{t -}\overset{\overline{}}{\mathbf{t}} \right)}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\left( \frac{\mathbf{\sigma}}{\sqrt{\mathbf{n}}} \right)^{\mathbf{2}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\sigma}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\pi}}}\mathbf{e}^{\frac{{\mathbf{-}\left( \mathbf{t -}\overset{\overline{}}{\mathbf{t}} \right)}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}{\mathbf{\sigma}_{\overset{\overline{}}{\mathbf{t}}}}^{\mathbf{2}}}}$$

gdzie:

n− ilość pomiarów;

$\overset{\overline{}}{t} -$ środek rozkładu, wartość średnia mierzona;

σ− szerokość rozkładu, odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru;

$\sigma_{\overset{\overline{}}{t}} -$ szerokość rozkładu, odchylenie standardowe dla średniej z n pomiarów;

• Wynik końcowy

α = 95 %     ⇒    k = 2

k− współczynnik rozszerzalności

$$\mathbf{t} = \overset{\overline{}}{t}\ \pm k \bullet \sigma_{\overset{\overline{}}{t}} = \mathbf{15,78\ \pm}\mathbf{\ 0,04\ s}$$

Wykres funkcji Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej z pomiarów

1. Wnioski

Porównując wartość otrzymanego wyniku t = 15, 78 ± 0, 04 s z wykresami funkcji Gaussa możemy stwierdzić że wartość średnia pokrywa się, co świadczy o dokładności wykonanych obliczeń. Analizując wykresy funkcji oraz histogram możemy zauważyć że niektóre pomiary obarczone są dużymi błędami, odstają dość znacząco od wartości uśrednionej. Spowodowane jest to np. czasem reakcji na włączenie i wyłączenie stopera w odpowiednim momencie. W danym doświadczeniu zastosowaliśmy prawo o niepewności standardowej typu A co dobrze określiło otrzymane wyniki.