Wydział Geodezji i Kartografii	Czwartek 14^15-17^00	Nr Zespołu: 16
	18.04.2013r.
	Ocena z przygotowania:	Ocena ze sprawozdania:
Prowadzący: dr Janusz Oleniacz	Podpis prowadzącego

SPRAWOZDANIE Z ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z FIZYKI

Temat ćwiczenia:

Pomiar długości fal elektromagnetycznych metodami interferencyjnymi.

I. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z różnymi metodami pomiarowymi wyznaczania długości fal elektromagnetycznych przez wykorzystanie interferencji fal (za pomocą siatki dyfrakcyjnej, interferometru Fabry – Perota, układu ze zwierciadłem oraz interferometru Michelsona). Porównanie czterech metod, wskazanie najdokładniejszej oraz ocena tych badań ze względu na ich skuteczność.

II. Zestaw przyrządów.

W skład zestawu pomiarowego wchodziły niżej podane przyrządy:

• Źródło fal elektromagnetycznych – nadajnik fal radiowych z zasilaczem;

• Detektor fal elektromagnetycznych;

• Woltomierz – mierzący napięcie z detektora;

• Ława konstrukcyjna do montowania interferometrów;

• Dwa, wykonane z metalu zwierciadła;

• Dwie plastykowe soczewki skupiające

• Linijka;

• Płytka półprzepuszczalna z pleksiglasu, wykorzystana w interferometrze Michelsona;

• Płytki płasko – równoległe z własną podziałką , wykorzystywane w interferometrze Fabry – Perota;

• Siatka dyfrakcyjna.

III. Wstęp teoretyczny.

Interferencja jest to efekt nakładania się fal, w wyniku czego może nastąpić jej wzmocnienie, gdy dwie fale mają taką samą fazę, lub osłabienie, gdy fazy są przeciwne.

Aby zjawisko interferencji można było zaobserwować fale muszą być spójne, czyli muszą posiadać stałą różnice faz. Energia przenoszona przez fale jest równa kwadratowi jej natężenia, gdzie natężenie jest średnią ilością energii, padającej na jednostkową powierzchnię w jednostce czasu.

E=

	Natężenie pola elektrycznego po nałożeniu się dwóch fal
	Natężenie pola elektrycznego I fali
	Natężenie pola elektrycznego II fali
	Amplituda I fali
	Amplituda II fali
	Liczba falowa
	Długość fali
	Kąt przesunięcia fazowego
	Różnica dróg optycznych

Energia, a w konsekwencji obserwowane przez nas natężenie, proporcjonalna jest do kwadratu natężenia pola elektrycznego. Tak więc:

Po przekształceniu trygonometrycznym ostatniej części wyrażenia otrzymano:

Uśrednienie funkcji po czasie daje wynik , funkcji wynik 0, a jest stałą.

Stąd otrzymujemy:

Wynik zależny jest od wartości przesunięcia fazowego .

Maksimum osiągnie dla

Minimum dla .

W ćwiczeniu obserwujemy głównie maksima, które, jak wykazano, występują przy zmianie długości jednej z dróg co jedną długość fali.

Schemat układu pomiarowego z interferometrem Michelsona. O - źródło fal elektromagnetycznych, P - płytka półprzepuszczalna, Z1 i Z2 - zwierciadła, D - detektor fal elektromagnetycznych, S - soczewki skupiające, L – linijka

IV. Opracowanie wyników

1. Pomiar długości fali elektromagnetycznej za pomocą interferometru Michelsona

Zasada działania

Wiązka fal elektromagnetycznych emitowana jest przez źródło „O” a następnie skupiana jest na soczewce „S”. Odpowiednio skierowaną wiązkę wypuszczamy w stronę półprzepuszczalnej płytki, która przepuszcza połowę natężenia fali, a połowę odbija. Wiązka odbita kierowana jest w stronę zwierciadła (płytka aluminiowa) i następnie w kierunku detektora fal. Wiązka która przeszła przez przezroczystą płytę odbija się od drugiego zwierciadła i kieruje się

znowu w kierunku przezroczystej płyty. Tam znowu ulega częściowemu załamaniu i łączy się z wiązką opisaną wyżej. Przesuwając zwierciadło w jednym z ramion możemy wpływać na interferencję fal – zmieniamy różnicę dróg pokonanych przez wiązki. Obserwując zależność występowania kolejnych wzmocnień od przesunięcia lustra można wyliczyć długość fali:

,

	Długość fali
	Przesunięcie zwierciadła [mm]
m	Liczba maksimów

Obliczenia

m	d [cm]
0	2,3
1	3,9
2	5,6
3	7,2
4	8,8
5	10,4
6	12
7	13,7
8	15,3
9	17
10	18,6
11	20,2
12	21,9
13	23,5
14	25,1
15	26,7
16	28,4
17	30

Do wyznaczenia długości fali skorzystano z metody najmniejszych kwadratów.

Niepewność pomiaru pojedynczego punktu:

Δd =	0,2 [cm]

Parametry dopasowanej prostej:

a=	1,6303
σa =	0,0015

Współczynnik b nie jest istotny dla wyników doświadczenia.

Ostateczny wynik:

Niepewność względna:

Δ wzgl =	0,09	%

2. Pomiar długości fali elektromagnetycznej za pomocą siatki dyfrakcyjnej

Zasada działania

Obraz interferencyjny możemy wytworzyć za pomocą układu równoległych szczelin nazywanego siatką dyfrakcyjną. Na szczelinach siatki (o wymiarach porównywalnych z długością fali) zachodzi zjawisko dyfrakcji, czyli ugięcia się padających fal. Do naszego badania dysponowaliśmy następującym układem:

	Szerokość szczeliny
	Odstęp między szczelinami
	Stała siatki

Zgodnie z zasadą Huygensa, powierzchnie szczelin, do których dotarła fala płaska, można traktować jako źródło wtórnych fal kulistych. Jeśli założymy, że fazy początkowe wtórnych fal Huygensa, są jednakowe, to różnica faz w określonym punkcie pomiędzy falami pochodzącymi od poszczególnych szczelin, będzie zależała wyłącznie od różnicy ich dróg optycznych.

Maksimum natężenia będzie występować w punktach, w których wszystkie dochodzące do tych punktów fale będą zgodne w fazie, co oznacza, że różnica dróg optycznych fal pochodzących od sąsiednich szczelin musi być równa mλ. Ponieważ dla każdej pary sąsiednich szczelin, różnica dróg wynosi dsinα, to warunek na wystąpienie maksimum interferencyjnego możemy zapisać w postaci:

d sinα = n λ

	Stała siatki
	Kąt ugięcia
n	Rząd prążka
	Długość fali

1. Obliczenia

W celu zminimalizowania błędów pomiarowych, zmierzono odległość między szczelinami, a następnie podzielono przez liczbę szczelin.

89/12=7,4

d =	7,4	cm

Przyjęto zasadę, że kąty zmierzone po lewej od zera na skali zapisano z ujemnym znakiem.

Wartość kąta była odczytywana z dokładnością do .

α [°]	n	α sr
-2	0
-26	1	25
24
-55	2	54,5
54

Δ α =	2	[stopnie]
Δ α =	0,035	[rad]
Δ α sr =	0,017	[rad]
d =	7,4	cm
Δ d =	0,017	cm

Po uwzględnieniu poprawki na przesunięcie wyników względem zera na skali i obliczeniu średniej z pomiarów po lewej i prawej stronie dla każdego rzędu (sprawiło to, że niepewność pomiaru kąta zmalała dwukrotnie) otrzymano następujące wyniki:

λ1 =	3,127	cm
λ2 =	3,012	cm
λsr =	3,070	cm

Δλ1 =	0,117	cm
Δλ2 =	0,038	cm
Δλsr =	0,062	cm

Niepewność pomiaru długości fali dla każdego rzędu wyznaczono metodą różniczki zupełnej:

Ostateczny wynik jest średnią arytmetyczną z wyników z obydwu rzędów, a jego niepewność ponownie policzona została metodą różniczki zupełnej:

Ostateczny wynik:

Niepewność względna:

Δ wzgl =	2,01	%

3. Pomiar długości fali elektromagnetycznej za pomocą interferometru Fabry’ego-Perota

Zasada działania

Układ pomiarowy stanowiący interferometr Fabry’ego-Perota składa się z generatora fal elektromagnetycznych, dwóch płytek płasko równoległych o dużej zdolności odbijającej, detektora fal elektromagnetycznych, linijki i pokrętła do regulacji odległości między płytkami.

Różnicę dróg optycznych pomiędzy falą przechodzącą wprost przez warstwę powietrza a falą, która uległa dwukrotnemu odbiciu na ściankach wyznacza się ze wzoru:

Δ = 2dcosα

α – kąt padania fal na płytkę

Ze wzoru wynika, że zmieniając d – odległość między płytkami zmieniamy różnicę dróg optycznych Δ. Wzmocnienie wszystkich fal uzyskamy dla takich d_{m ,} dla których :

Δ=2d_mcosα= mλ

Zatem ostateczny wzór na długość fali mierzonej interferometrem Fabry – Perota wynosi:

λ = 2/n cosα(d_m+r - d_m)

b) Obliczenia

Otrzymane wyniki

	maxima [cm]
0	0,7
1	2,9
2	5,4
3	7,6
4	9,9

Obliczamy długość fali ze wzoru:

$$\lambda = \frac{2}{n}\text{cosα}\left( \delta \right) = \ \frac{2}{4} \bullet \cos\left( 45 \right) \bullet \left( 9,9 - 0,7 \right) = 3,2527\ \lbrack\text{cm}\rbrack$$

λ=	3,2527	[cm]

Obliczanie niepewności d:

$$u\left( d_{m + r} \right) = u\left( d_{m} \right) = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,0577\ \lbrack\text{cm}\rbrack$$

$$u\left( d \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial d}{\partial d_{m + r}} \right)^{2}*u({d_{m + r})}^{2} + \left( \frac{\partial d}{\partial d_{m}} \right)^{2}*u({d_{m})}^{2}} = 0,0816\ \lbrack\text{cm}\rbrack$$

Obliczanie niepewności α:

$$u\left( \alpha \right) = \frac{1\ \text{DZIA}L\text{KA}}{\sqrt{3}}$$

$1\text{DZIA}L\text{KA} = 1 = \frac{\pi}{180}$[rad]

u(α) = 0, 0101 [rad]

Niepewność λ:

$$u\left( \lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial\lambda}{\partial d} \right)^{2}*{u\left( d \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\lambda}{\partial\alpha} \right)^{2}*u({\alpha)}^{2} =}\sqrt{{(2cos\alpha)}^{2}*{u\left( d \right)}^{2} + {( - 2sin\alpha*d)}^{2}*u({\alpha)}^{2}} = 0,1747$$

Ostatecznie:

Niepewność względna:

Δ wzgl =	5,37	%

4. Pomiar długości fali elektromagnetycznej przy pomocy interferometru Fabry’ego - Perota z dwoma zwierciadłami.

a) Zasada działania

W kolejnej metodzie pomiarowej wykorzystaliśmy układ odbiciowy Fabry’ego-Perota będący modyfikacją poprzedniego. Źródło fal elektromagnetycznych wraz z detektorem znajdują się po przeciwnej stronie niż zwierciadło Z₁. Pomiędzy nimi umieszczona jest płytka półprzepuszczalna.

Wiązka fal elektromagnetycznych z generatora pada na płytkę, która przepuszcza połowę natężenia fali, a drugą połowę odbija, odbita fala pada na detektor. Wiązka fali, która została przepuszczona przez płytkę półprzepuszczalną odbija się od zwierciadła Z₁ i powraca do detektora.

Wykonując ćwiczenie regulowaliśmy odległość zwierciadła od płytki zmieniając tym samym różnicę dróg obu wiązek. Detektor rejestrował przesuwanie się prążków interferencyjnych, co obserwowaliśmy na oscyloskopie.

n	d [cm]
1	4
2	5,5
3	6,9
4	8,7
5	10
6	11,7
7	13,4
8	14,6
9	16,4
10	18
11	19,6
12	21
13	22,7
14	24,2
15	25,7
16	27,4
17	28,9
18	30,4
19	32
20	33,7
21	35
22	36,5
23	38
24	39,7

b) Obliczenia

Wyniki pomiarów przedstawiono w tabelce po prawej stronie.

Obliczamy długość fali ze wzoru:

$$\lambda = \frac{2}{n}\text{cosα}\left( \delta \right) = \ \frac{2}{23} \bullet 1 \bullet 35,70 = 3,1043\ \lbrack\text{cm}\rbrack$$

Obliczamy niepewność d:

$$u\left( d \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial d}{\partial d_{m + r}} \right)^{2}*u({d_{m + r})}^{2} + \left( \frac{\partial d}{\partial d_{m}} \right)^{2}*u({d_{m})}^{2}} = 0,0816\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack$$

Obliczamy niepewności α:

u(α) = 0, 0101 [rad]

Niepewność λ:

$$u\left( \lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial\lambda}{\partial d} \right)^{2}*{u\left( d \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\lambda}{\partial\alpha} \right)^{2}*u({\alpha)}^{2} = \ }$$

$$\sqrt{{(2\text{cosα})}^{2}*{u\left( d \right)}^{2} + {( - 2\text{sinα}*d)}^{2}*u({\alpha)}^{2}} = 0,1633$$

Ostatecznie:

Niepewność względna:

Δ wzgl =	5,26	%

5. Pomiar długości fali laserowej za pomocą interferometru Michelsona

a) Zasada działania

Przy ostatnim stanowisku użyto wspomnianego już interferometru Michelsona, tym razem zbudowanego w celu badania światła. Jako źródła fal użyto lasera.

W przypadku światła widzialnego (barwy czerwonej) doświadczenie polegało na zliczeniu liczby wystąpienia zjawiska interferencji fali (wypełnienie pierścienia barwą czerwoną) oraz różnicy we wskazaniach śruby mikrometrycznej.

W tym doświadczeniu wykorzystujemy następujące wzory:

b) Obliczenia

n =	100
l =	32,6	μm

Δl =	1	μm

gdzie,

l= różnica odczytu na miarce śruby mikrometrycznej [um]

n= liczba zliczeń

Po skorzystaniu ze wzorów wymienionych w podpunkcie a) otrzymujemy:

λ =	652	nm
Δλ =	20	nm

Ostatecznie:

V. Wnioski

Dzięki temu doświadczeniu poznaliśmy różne metody pomiaru długości fal elektromagnetycznych. Sprawdziliśmy również, że długość tą możemy uzyskać za pomocą wielu urządzeń oraz potwierdziliśmy niezbędność znajomości zjawiska nakładania się i uginania się fal. Po wykonaniu obliczeń można stwierdzić, że najdokładniejszą metodą pomiaru jest metoda Michelsona, ponieważ w porównaniu z innymi miała najmniejszą niepewność pomiarową. Najmniej dokładna metodą okazała się natomiast metoda interferometru Fabry- Perota. Wyniki doświadczenia w którym badano zjawisko interferencji przy pomocy światła czerwonego były zbliżone do oczekiwanych. (zakres od 630 nm do ok. 700 nm).

Niedokładności pomiarowe wynikały głównie z niewielkich rozmiarów pomieszczenia w którym odbywał się pomiar oraz obecności kilku promieniowania w jednym pomieszczeniu. Warto również wziąć pod uwagę wykorzystane urządzenia, które charakteryzują się ograniczoną dokładnością pomiarową oraz niewielkie doświadczenie uczestników eksperymentu.

Podsumowując, metoda najmniejszych kwadratów zastosowana przy pomiarach z interferometru Michelsona okazała się najprecyzyjniejszym sposobem zmierzenia długości fali elektromagnetycznej. Długość mierzonych mikrofal wyznaczono jako około 3,17 cm.