Szereg geometryczny

Niech będzie nieskończonym ciągiem liczowym. Wyrażenie 
                    
nazywamy szeregiem nieskończonym, a liczby wyrazami tego szeregu. 

Zamiast przedstawionej powyżej nieskończonej sumy, stosuje się też symbol

Dodając wyrazy ciągu tworzymy ciąg sum

 

...
...

 

Ciąg nazywamy ciągiem sum częściowych danego szeregu.

Sumą szeregu  nazywamy granicę ciągu sum częściowych jeżeli granica ta istnieje.
                                                  

Piszemy wtedy

nadając w ten sposób sens liczbowy symbolowi 

Jeżeli suma jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, w przeciwnym razie (gdy suma jest równa lub granica wcale nie istnieje) nazywamy go rozbieżnym. 

Najprostszym przykładem szeregu nieskończonego jest szereg geometryczny

Jego -ta suma częściowa jest równa

Ciąg ma granicę skończoną, gdy   równą

Szereg geometryczny o pierwszym wyrazie  i ilorazie jest zbieżny, jeżeli

Jego suma jest wtedy równa 

Zad_1

Rozwiąż nierówność

Rozwiązanie
Lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym, w którym i ma sens liczbowy, gdy tzn dla
Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór jest to dziedzina danej nierówności. Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, dla należących do dziedziny, mamy nierówność

czyli

która jest równoważna nierówności 

Rozwiązaniem początkowej nierówności są takie wartości  które spełniają ostatnią nierówność i należą do dziedziny.
Po obliczeniach otrzymujemy odpowiedź

Ciąg geometryczny

Definicja rekurencyjna

Niech  będzie wyrazem pierwszym ciągu oraz niech dla każdego zachodzi równość Tak określony ciąg nazywamy ciągiem geometrycznym, a liczbę nazywamy ilorazem ciągu.

Ciąg geometryczny jest określony, gdy znamy jego wyraz pierwszy  i iloraz 
Z definicji tej wynika też, że stosunek wyrazu następnego do poprzedniego, dla wszystkich wyrazów, jest stały.

Zgodnie z powyższą definicją mamy:

 

...

 

Otrzymaliśmy wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego

Definicja przez podanie wyrazu ogólnego

Ciąg , którego wyraz ogólny ma postać 
                         , gdzie 
jest ciągiem geometrycznym.

Własności ciągu geometrycznego

• Monotoniczność - ciąg geometryczny, którego wyraz pierwszy jest:

- rosnący, gdy
- stały, gdy
- malejący, gdy

• Jeżeli jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to dla każdej trójki kolejnych wyrazów ciągu

zachodzi równość

która oznacza, że każdy wyraz ciągu geometrycznego, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią geometryczną wyrazów sąsiadujących - stąd nazwa ciągu.

Suma skończonej liczby kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego

Przez  oznaczamy sumę  kolejnych wyrazów ciągu zaczynając od wyrazu pierwszego

Łatwo jest udowodnić, że dla kązdego i zachodzi

W podręcznikach szkolnych podaje się zwykle następujący dowód

Odejmujemy te równości stronami i otrzymujemy

a stąd mamy

Zbieramy wzory do zapamiętania 
                             
                                 
           

 

Zadania z ciągów liczbowych

Zad_1 matura - maj 2006, poziom podstawowy, 4 pkt Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny, w którym a) Wyznacz iloraz tego ciągu. b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz dla każdej liczby naturalnej c) Oblicz wyraz Rozwiązanie. Wyznaczamy iloraz ciągu: i po podzieleniu stronami  Stąd lub Dany ciąg jest rosnący, a więc musi być i trzeba wziąć tylko Wzór na wyraz ogólny ciągu: Obliczam Zad_2 matura - maj 2007, poziom podstawowy, 5 pkt Dany jest ciąg arytmetyczny gdzie Wiadomo, że dla każdego suma początkowyh wyrazów wyraża się wzorem: a) Wyznacz wzór na -ty wyraz tego ciągu. b) Oblicz c) Wyznacz liczbę dla której Rozwiązanie. Wyznaczamy wzór na wyraz ogólny ciągu: i stąd  Obliczamy  Obliczamy, który z wyrazów ciągu jest równy zero:  stąd Siódmy wyraz ciągu ma wartość zero.   Zad_3 matura - maj 2007, poziom rozszerzony, 4 pkt Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem dla a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: b) Oblicz Rozwiązanie. Wyznaczam wyraz pierwszy i różnicę ciągu  i stąd W ciągu arytmetycznym różnica , a wyraz pierwszy równa się 7, ostatni Wyrazów jest 50, więc ich suma wynosi   Obliczam granicę ciągu     Zad_4 matura - listopad 2006, poziom rozszerzony, 5 pkt Ciąg liczbowy jest okreslony dla każdej liczby naturalnej wzorem gdzie a) Wykaż, że dla każdej wartości ciąg jest arytmetyczny. b) Dla oblicz sumę c) Wyznacz wszystkie wartości dla których ciąg określony wzorem jest stały. Rozwiązanie Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, gdyż jego różnica  jest stała dla wszystkich (patrz definicja rekurencyjna). Oblicam sumę gdy Potrzebne dane: - wyraz pierwszy - różnica ciągu Ciąg jest określony wyrazem ogólnym jest stałe, niezależne od gdy Rozwiązujemy równianie:    Ciąg jest stały dla lub   Zad_5 poziom rozszerzony, zadanie przykładowe - 4 pkt Wykazać, że jeżeli ciąg jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym, to ciąg o wyrazie ogólnym określonym wzorem też jest ciągiem arytmetycznym. Rozwiązanie Ciąg jest arytmetyczny, a więc - z definicji rekurencyjnej - różnica jest stała dla każdego Dla ciągu mamy: Różnica ciągu  wynosi i jest stała dla każdego więc z definicji rekurencyjnej wynika, że jest to ciąg arytmetyczny. Zad_6 poziom podstawowoy, zadanie przykładowe - 6 pkt Liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych. Oblicz   Rozwiązanie Podane liczby tworzą ciąg geometryczny, a więc z tego, że dla każdego  zachodzi  wynika równanie: Po uporządkowaniu dostajemy równianie stopnia trzeciego na Jego całkowitymi pierwiastkami mogą być tylko liczby lub  ale tylko jest pierwiastkiem powyższego równania, bo  W celu sprawdzenia poprawności obliczeń, wypiszmy kolejne liczby ciągu. Są to więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie