Nr ćwiczenia: 5	Adrian Cholewa		Data wykonania: 2.04.2008r.
WB Gr. 2	Tytuł ćwiczenia: Wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego przy użyciu wahadła matematycznego.	Ocena:	Podpis:

1. Wstęp teoretyczny:

Przyspieszenie ziemskie (g) jest to stała, o jaką wzrasta prędkość swobodnie spadającego ciała w czasie każdej następnej sekundy trwania lotu. Wartość przyspieszenia jest zależna od wielu czynników, takich jak rozmiary planety, a z tym nie rozłącznie wiąże się siła dośrodkowa, szerokości geograficznej, wysokości i in.. Przyśpieszenie ziemskie zostało przyjęte jako stała i wynosi 9,80665 m/s² lecz w rzeczywistości zmienia się w zależności tak jak już to zostało powiedziane, od szerokości geograficznej w jakiej się znajdujemy (np. równiku g=9,78 m/s² zaś na biegunie g=9,83 m/s²). Posługując się wahadłem prostym możemy wyznaczyć przyspieszenie ziemskie:

Wahadło proste jest to najczęściej kulka zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Kulka odchylona od położenia równowagi i swobodnie puszczona porusza się ruchem drgającym zwanym wahadłowym. Siłą, która decyduje o tym ruchu, jest składową siły ciężkości, styczną do toru kulki. Ruch po łuku jest zmienny okresowo - zgodnie z przebiegiem funkcji sinus. Przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia.

Do wyznaczenia logarytmicznego dekrementu tłumienia wykorzystamy wahadło fizyczne. Wahadłem fizycznym nazywamy bryłę sztywną zawieszoną na poziomej osi O przechodzącej powyżej środka masy bryły S. Jeżeli bryłę taką odchylimy od położenia równowagi o niewielki kąt ϕ, to poruszać się ona będzie ruchem wahadłowym, harmonicznym o pewnym okresie T, przy czym siłą decydującą o ruchu będzie ciężar wahadła P = mg przyłożony do jego środka ciężkości S.

Tabela pomiarów 1 (poprawiona)

Rodzaj kulki	Długość nici l [m]	Średnica kulki d [m]	Długość wahadła L=(l + d/2) [m]	Czas trwania 30 okresów	Okres T [s]	Średnia wartość okresu T[s]	Stosunek L/T^2	Przyśpieszenie g [m/s2]
Drewniana 1	0,776	0,0282	0,790	52,72	1,766	1,776		9,988(145)
				53,28	1,776		0,253
				52,98	1,766
Drewniana 2	0,525	0,0295	0,540	44,20	1,473	1,468		9,909(175)
				43,94	1,465		0,251
				44,00	1,466
Metalowa 3	0,666	0,0303	0,681	49,15	1,638	1,638		10,027(159)
				49,12	1,637		0,254
				49,14	1,638
Metalowa 4	0,494	0,0297	0,509	42,40	1,413	1,416		10,027(184)
				42,60	1,420		0,254
				42,50	1,416

Tabela Pomiarów 2 (poprawiona)

czas w okresach	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Amplituda w mm	420	370	300	257	223	190	160	140	133	117	110

t₁= 42,17

t₂= 41,53

t₃= 39,43

m =

niepewności wzorcowania

_dm = 0,5g – dla wagi

_dt=0,2s – dla sekundomierza

_et=0,2s

_dl₁=0,001 m – dla katetometra

_dl₂=0,000005 m - dla suwmiarki

1. Wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła prostego.

1. Przyspieszenie ziemskie wyznaczam przy pomocy wzoru na wartość okresu w ruchu harmonicznym drgającym:

T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$

W wyniku przekształcenia otrzymuj wzór na przyspieszenie ziemskie:

g=$\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$

g=$\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$=4π0,253= 9,988 [$\frac{m}{s^{2}}$]

g=$\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$=4π0,251=9,909 [$\frac{m}{s^{2}}$]

g=$\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$=4π0,254=10,027 [$\frac{m}{s^{2}}$]

g=$\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$=4π0,254=10,027 [$\frac{m}{s^{2}}$]

1. Szacuję niepewność Standardową u(T) u(l)

u_B(T)= $\sqrt{\frac{{(\frac{_{d}t}{30})}^{2} + {(\frac{_{e}t}{30})}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{{(\frac{0,2}{30})}^{2} + {(\frac{0,2}{30})}^{2}}{3}}$=0,0054

$u_{B}\left( l \right) = \ \frac{0,001}{\sqrt{3}}$ = 0,0006 m

1. Obliczam niepewność złożoną

u_c(g)=$\sqrt{{\lbrack\frac{- 8\pi^{2}L}{T^{3}}\ \times u(T)\rbrack}^{2} + \ {\lbrack\frac{8\pi^{2}L}{T^{2}}\ \times u(l)\rbrack}^{2}}$

u_c(g₁)= $\sqrt{{\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,790}{{1,776}^{3}}\ \times 0,0054\rbrack}^{2} + \ {\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,790}{{1,776}^{3}}\ \times 0,0006\rbrack}^{2}} = 0,060\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

u_c(g₂) $= \sqrt{{\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,540}{{1,468}^{3}}\ \times 0,0054\rbrack}^{2} + \ {\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,540}{{1,468}^{3}}\ \times 0,0006\rbrack}^{2}} = 0,073\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

$u_{c}\left( g_{3} \right) = \sqrt{{\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0.681}{{1,638}^{3}}\ \times 0,0054\rbrack}^{2} + \ {\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,681}{{1,638}^{3}}\ \times 0,0006\rbrack}^{2}} = \ $0,066 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

$u_{c}\left( g_{4} \right) = \sqrt{{\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,509}{{1,416}^{3}}\ \times 0,0054\rbrack}^{2} + \ {\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,509}{{1,416}^{3}}\ \times 0,0006\rbrack}^{2}} =$ 0,076 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

1. Wyznaczam niepewność rozszerzona.

U(g) = k  ×  u_c(g)

Przyjmujemy współczynnik k=2

U(g₁)=2  ×  0, 060 = 0, 120

U(g₂)=2  ×  0, 073 = 0, 146

U(g₃)=2  ×  0, 066 = 0, 132

U(g₄)=2  ×  0, 076 = 0, 152

g₁= 9,988 ± 0,120 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

g₂= 9,909 ± 0,146 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

g₃= 10,027 ± 0,132 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

g₄= 10,027 ± 0,132 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

II. Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia

1. Obliczam wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia

D₁= ln$\frac{420}{370} = 0,126$

D₂= ln$\frac{370}{300} = 0,209$

D₃= ln$\frac{300}{257} = 0,154$

D₄= ln$\frac{257}{223} = 0,142$

D₅= ln$\frac{223}{190} = 0,16$

D₆= ln$\frac{190}{160} = 0,171$

D₇= ln$\frac{160}{140} = \ 0,133$

D₈= ln$\frac{140}{133} = \ $0,05

D₉= ln$\frac{133}{117} = \ 0,128\ $

D₁₀= ln$\frac{117}{110} = \ 0,061$

Wyznaczam średnią wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia

D_sr= $\frac{D_{1} + \ldots + D_{10}}{10}$=0,133

1. Wyznaczam niepewność standardową wartości średniej

u_A(D_sr)= $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(D_{i -}D_{sr)}}^{2}}{n(n - 1)}}$

u_A(D_sr)= $\sqrt{\frac{{( - 0,007)}^{2} + {(0,076)}^{2} + {(0,021)}^{2} + \left( 0,009 \right)^{2} + {(0,027)}^{2} + {(0,038)}^{2} + {( - 0,083)}^{2} + {( - 0,005)}^{2} + {( - 0,072)}^{2}}{9 \times 10}} = 0,017$

D_sr =  0,133(17)

1. Wyznaczam współczynnik tłumienia (β) i współczynnik oporu ośrodka (b)

Wyznaczam okres drgań ze wzoru T=$\frac{t_{i}}{10}$

T₁=$\frac{42,17}{11} = 3,8$3

$T_{2} = \frac{41,53}{11} = 3,78$

$T_{3} = \frac{39,43}{11}$= 3,58

Wyznaczam $T_{sr} = \ \frac{T_{1} + T_{2} + T_{3}}{3} = 3,73$

Wyznaczam stałą tłumienia

$\beta = \frac{D}{T} = 0,038$

Wyznaczam współczynnik oporu ośrodka

b=2m

b = 0,021

Obliczam niepewność złożoną u_c(b) i u_c(β)

Wyznaczam niepewność standardową u(T)

u_B(T) = $\sqrt{\frac{{(\frac{_{d}t}{11})}^{2} + {(\frac{_{e}t}{11})}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{{(\frac{0,2}{11})}^{2} + {(\frac{0,2}{11})}^{2}}{3}}$=0,015

u_c(b) = 0, 003

$$u_{c}(\beta)\sqrt{\left( \frac{1}{3,73} \right)^{2} \times {0,017}^{2} + \left( \frac{0,133}{3,73} \right)^{2} \times {0,015}^{2}} = 0,0025$$

1. Wnioski dla ćwiczenia I i II

Celem ćwiczenia pierwszego było wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego. W wyniku przeprowadzonego doświadczenie uzyskano różne wartości dla 4 wahadeł: g₁= 9,988±0,120 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$, g₂= 9,909±0,146 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$,

g₃= 10,027±0,132 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$, g₄= 10,027±0,132 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

Uzyskane wartości przyspieszenia ziemskiego odbiegają od przyjmowanej wartości 9,81[m/s²]. Różnica ta może być spowodowana:

• błędami pomiarów

• wartość przyspieszenia ziemskiego nie jest stała , ale zależy od położenia punktu na powierzchni Ziemi oraz wysokości na jakiej mierzymy wartość przyspieszenie ziemskiego.

• nieuwzględnieniem oporu powietrza i siły tarcia

Celem ćwiczenia II było wyznaczenie parametrów określających wielkości oporów ruchu.

Badane wahadło charakteryzuje się dekrementem tłumienia o wartości

D = 0.133(17).

Wyliczona na podstawie Dekrementu tłumienia stała tłumienia

β = 0,038(3)

Jest to wartości wyliczone dla uśrednionego logarytmu naturalnego dwóch kolejnych amplitud, a z powodu makroskopowych urządzeń mierniczych nie jesteśmy w stanie z większą dokładnością wyznaczyć stałej tłumienie. Warto tylko zaznaczyć że stała tłumienia dla każdego wahadła jest inna i nie jesteśmy w stanie porównać otrzymanych wyników z wartościami tablicowymi gdyż takowe nie istnieją.

Współczynnik oporu ośrodka dla wahadła na którym został przeprowadzone badanie również jest wartością stała, niestety ze względu, jak to miało miejsce w przypadku stałej tłumienia, z powodu makroskopowych urządzeń mierniczych nie byliśmy w stanie dokładniej wyznaczyć współczynnika oporu ośrodka dlatego też podaję uśredniony współczynnik dla logarytmu naturalnego kolejnych dwóch wahnięć.

b=0,021(3)

Są to stałe charakteryzujące dane wahadło, na którym zostało przeprowadzone doświadczenie i te wartości są zmienne w zależności od wahadła.