Metoda różnic skończonych jest najstarszą z metod numerycznych, była już ona rozpatrywana przez Gaussa. Jednakże dopiero wiek dwudziesty pozwolił na pełne wykorzystanie tkwiących w niej zalet. Pomimo bowiem prostoty niezbędnych obliczeń jakie należy wykonać, ich liczba nawet w najprostszym wypadku jest często zbyt duża by można wykonać ją ręcznie. Wykorzystując do tego celu komputer, można w stosunkowo krótkim czasie dokonać obliczeń i przedstawić wynik.

W metodzie różnic poszukuje się rozwiązania poprzez zastąpienie równań różniczkowych równaniami różnicowymi, rozwiązanie których daje przybliżone wartości poszukiwanej funkcji w punktach zwanych węzłami. Rozwiązanie przeprowadza się na siatce różnicowej, dzięki temu zagadnienie brzegowe lub brzegowo-początkowe sprowadza się do układu równań algebraicznych.

Istnieje szereg sformułowań MRS, które różnią się przede wszystkim rodzajem siatki i jawnością zastosowanego schematu różnicowego. Od wyboru schematu, rodzaju siatki, sposobu aproksymacji pochodnych zależy stabilność, dokładność i zbieżność metody numerycznej.

Do dyskretyzacji równania różniczkowego o pochodnych cząstkowych najczęściej wybierana jest regularna siatka kwadratowa (prostokątna) dla zagadnień 2D lub sześcienna (prostopadłościenna) w zagadnieniach trójwymiarowych. Na rysunku 1. przedstawiono przykład siatki prostokątnej o wymiarach oczek , na której aproksymowana jest funkcja . Funkcja ta będzie zależeć od współrzędnych dyskretnych, wyrażonych jako , gdzie są numerami kolumny i wiersza. Identyfikując wartości funkcji w węzłach siatki stosuje się zwykle ich skrócony zapis przedstawiony na rysunku.

Rys. 1. Prostokątna siatka różnicowa

Rozwiązanie problemu metodą różnic skończonych zamyka się w trzech krokach:

• podzielenie regionu rozwiązania na siatkę węzłów,

• przybliżenie danego równania różniczkowego przez równoważne równanie różnicowe, co opowiada zależności zmiennej zależnej w punkcie regionu rozwiązania od jej wartości w punktach sąsiednich,

• rozwiązywanie równań różnicowych podlegających określonym warunkom brzegowym i/lub warunkom początkowym.

Szczegółowy sposób postępowania jest podyktowany przez naturę rozwiązywanego problemu, region rozwiązania, i warunki brzegowe.

Rys. 2. Aproksymacja pochodnej funkcji.

Dla danej funkcji f(x) można aproksymować jej pochodną (nachylenie, lub tangens) w punkcie P (rys. 2.)przez nachylenie łuku PB dane przez formułę progresywnej różnicy funkcji:

lub przez nachylenie łuku AP dane przez formułę wstecznej różnicy funkcji:

lub przez nachylenie łuku AB dane przez formułę centralnej różnicy funkcji:

Drugą pochodną f (x) w P można aproksymować jako:

czyli

Jakiekolwiek przybliżenie wartości pochodnej przez dyskretny układ punktów nazywa się przybliżeniem różnicy skończonej.

Zaprezentowane interpretacja różnic skończonych jest raczej intuicyjna. Bardziej ogólne wyrażenie można uzyskać z rozwinięcia funkcji w szereg Taylor’a.

Dodając te równania otrzymamy:

gdzie O(Δx)⁴ jest błędem wprowadzonym przez obcięcie szeregu. Mówimy, że ten błąd jest rzędu (Δx)⁴ lub po prostu O(Δx)⁴. Co oznacza, że O(Δx)⁴ jest nie większy niż (Δx)⁴. Zakładając, że błąd ten jest pomijalny otrzymamy:

Czyli taki sam wynik jak z rozważań intuicyjnych.

Odejmując rozwinięcia funkcji w szeregi, i pomijając wyrażenia rzędu (Δx)³ otrzymamy:

Wyższe rzędy aproksymacji uzyskuje się przez uwzględnienie większej liczby elementów szeregu. Nieskończona ilość elementów oznacza wyrażenie dokładne. Z powodów praktycznych szeregi są obcinane po wyrażeniach rzędu drugiego. W każdym rozwiązaniu dokonanym metodą różnic skończonych występuje taki błąd.

Program FLAC oparty oparty na metodzie różnic skończonych służy do budowy płaskich modeli numerycznych górotworu i symulowania zachowania się ośrodków gruntowych i skalnych, które doznają plastycznego płynięcia lub kruchego pękania po osiągnięciu, odpowiednio, punktu plastyczności lub granicy wytrzymałości. Ośrodki (np. skalne, gruntowe) są reprezentowane przez oczka, węzły i elementy strukturalne, które formują siatkę dopasowaną do modelowanego obiektu. Każdy element siatki zachowuje się według przypisanych mu zależności liniowych bądź nieliniowych między naprężeniem a odkształceniem, w wyniku zadanych obciążeń lub warunków brzegowych Ośrodek może się przemieszczać lub podlegać plastycznemu płynięciu. Siatka może się deformować i przemieszczać wraz z ośrodkiem. Wbudowany język programowania FISH (FLACish) umożliwia pisanie własnych funkcji, które rozszerzają wartość użytkową FLAC’a, dając dodatkową możliwość implementowania własnych modeli konstytutywnych w ramach potrzeb.

Geomechanika to nauka z dziedziny górniczej. Zajmuje się badaniem stanu górotworu, będącego wynikiem wpływu działalności człowieka, tzn. działalności górniczej. Górotwór jako zewnętrzna warstwa skorupy ziemskiej znajduje się pierwotnie w stanie naturalnym i przebiega w nim wiele zjawisk np.

• przepływ wód podziemnych

• przepływ ciepła

• ruchy masywów górotworu

• małe wyładowania energii mechanicznej w postaci wstrząsów i trzęsień ziemi

Górnicza działalność człowieka zaburza i zmienia pierwotny stan górotworu oraz powoduje powstanie zjawisk wtórnych (przemieszczenia górotworu, zmiana stanu naprężenia), których celem jest stworzenie wtórnego stanu równowagi, będącego właśnie przedmiotem badań geomechaniki. W szczególności wykorzystuje się prawa mechaniki ośrodka materialnego opisuje się stan naprężenia i odkształcenia górotworu powstały w wyniku działalności górniczych. Pomocne jest też wykorzystanie do tych celów modeli górotworu. Podsumowując można powiedzieć, że ogólny cel geomechaniki to: - rozpoznanie możliwości i doskonalenie techniki bezpiecznej i ekonomicznej eksploatacji złóż.

Przebieg i natężenie zjawisk których, tj. powstałych w wyniku działalności górniczych zależy od dwóch grup czynników:

a). Naturalnych, tj.

• własności fizyczne skał i masywów (górotworu)

• współzależności między tymi własnościami

• budowa geologiczna górotworu

• głębokość zalegania warstw skalnych

b). Techniczne, związane ze sposobem prowadzenia działalności górniczej (system eksploatacji)

• powierzchnia odsłonięta stropu

• typ obudowy

• prędkość eksploatacji

• rodzaj podsadzki

Do rozwiązania tych zagadnień wykorzystuje się modele górotworu, tzn. przypisuje naturalnemu masowi określony model, jako odwzorowanie jego rzeczywistych własności. Model, będący przybliżeniem pozwala rozwiązać problemy i opisać prawa rządzące górotworem. Uzyskane wyniki są dla tego weryfikowane poprzez obserwację i pomiary, co pozwala doskonalić istniejące już modele.

W geomechanice stosuje się następujące metody, które pomagają w rozpoznaniu możliwości i doskonaleniu techniki bezpiecznej i ekonomicznej eksploatacji złóż:

a). Analityczna (przy pomocy dostępnego aparatu matematycznego)

b). Numeryczna

c). Modelowanie przy użyciu materiałów ekwiwalentnych

d). Modelowanie elastooptyczne

Przebieg zjawisk zachodzących w górotworze zależy od własności fizyko- mechanicznych skał:

• struktura skał

• ciężar objętościowy i właściwy

• porowatość

• szczelinowatość

• uwarstwienie

• kliważ

• hydrogeologiczne własności skał

• wytrzymałość i twardość

• własności cieplne itp.

Własności te uzależniają się od rodzaju skały i jej pochodzenia, wpływów tektonicznych, wielkości, kształtu i wytrzymałości ziaren, które tworzą daną skałę itp. Z punktu geomechaniki najważniejsze parametry to:

• wytrzymałość doraźna na ściskanie, rozciąganie, zginanie –Re, Rr, Rg, Rt, [MPa]

• współczynnik odkształcenia podłużnego E [MPa]

• współczynnik odkształcenia poprzecznego

Ponieważ występuje znaczne zróżnicowanie wartości parametrów mechanicznych nawet w obrębie tego samego złoża powinno wykonywać się badania laboratoryjne dla każdej partii złoża.]

Badania laboratoryjne i obserwacje górotworu wykazały, że stan naprężenia i odkształcenia górotworu zależy m.in. także od czasu, ponieważ górotwór nie jest ciałem idealnym lecz jego zachowanie zmienia się w czasie. Reologia jest nauką zajmującą się wpływem czasu na zjawisko mechaniczne – obciążenie i odkształcenie ciała. Reologia zajmuje się badaniem wpływu czasu na zmianę stanu odkształcenia obciążonego ciała (pełzanie) i wpływem czasu na zmiany stanu naprężenia (relaksacja). Próba pełzania polega na badaniu zjawiska odkształcenia się próbki przy stałym założonym poziomie obciążenia: zał: 6=const=6₀ => ε = ε (t) relaksacja jest próbą laboratoryjną polegającą na badaniu w czasie zmiany obciążenia próbki przy stałym założonym poziomie odkształcenia. Do opisu własności reologicznych stosuje się następujące parametry: - współczynnik lepkości η [ Pa ·s] , - czas relaksacji τ [s]

Po ustabilizowaniu naprężeń w górotworze jego odkształcenia wykazują zmiany w czasie. Aby analitycznie ująć to zjawisko przyjmuje się zależność między naprężeniem i odkształceniem uwzględniając współczynnik czasowy. W równaniach reologicznych występują głównie dewiatory naprężeń i odkształceń, ponieważ zmiany objętości górotworu zachodzą w znacznej mierze w zakresie sprężystym, dlatego też udział aksjatorów jest niewielki.

Górotwór przyjmuje się jako sprężysto – lepki łączący cechy modelu sprężystego ciała Hooka i lepkiej cieczy Newtona jako elementarnych modeli reologicznych.

Pierwotny stan naprężenia i odkształcenia stanowi poziom odniesienia do analizy stanu wtórnego tzn. takiego który uwzględnia wpływ robót górniczych. Górotwór jest sprężysty i izotropowy.

W górotworze nienaruszonym działalnością górniczą panuje trójosiowy stan naprężenia i jednoosiowy stan odkształcenia. Jeżeli nadkład składa się z kilku różnych warstw wówczas: p_z = ∑γ_i h_i γ – ciężar objętościowy warstwy, h_i – grubość warstwy, i – ilość warstwy.

W górotworze o budowie ziarnisto – spoistej lub ziarnisto sypkiej, relacja pomiędzy składowymi pierwotnymi opisana jest zjawiskiem Columba.

Wartość ciśnienia pierwotnego poziomego zależy od głębokości H(p_z) i ν (współczynnika Poisson’a). ν zmienia się z głębokością wraz ze wzrostem ciśnienia pionowego „ν” zmierza do 0,5 co charakteryzuje materiał nieściśliwy.

Na małych głębokościach wskaźnik τ, p_x = p_y =0 panuje stan naprężenia zbliżonego do jednoosiowego, a na dużych głębokościach trójosiowy stan naprężenia zbliżony jest do hydrostatycznego.