Mechatronika

I rok, grupa II

Sprawozdanie z Podstaw eksploatacji maszyn nr 2.

ZASTOSOWANIE LINIOWYCH PROBLEMÓW DECYZYJNYCH W KIEROWANIU EKSPLOATACJĄ

W programowaniu liniowym poszukuje się odpowiedzi na następujące pytania:

- jak rozdzielić zasoby rozmieszczone w kilku punktach do kilku odbiorców aby koszt (lub czas) transportu był najmniejszy?

- jak zaplanować wykorzystanie wielu maszyn przy obróbce wielu produktów aby wydajność systemu eksploatacji była największa?

- jak zorganizować cykl kontrolny działania systemu eksploatacji przy najniższych nakładach osobowych i materiałowych?

- itp.

Pozwala więc ono na wybór optymalnego systemu eksploatacji spośród wielu możliwych wariantów.

1. Metoda graficzna rozwiązywania zagadnienia programowania liniowego:

Metoda graficzna służy do rozwiązywania zagadnień liniowych o co najwyżej trzech, a praktycznie dwóch zmiennych decyzyjnych. Wykorzystuje się tutaj możliwość przedstawienia problemu w postaci graficznej.

Ćwiczenie:

Firma robi obsługę 2 typów samochodów. Za obsługę auta A bierze 900zł, za obsługę auta B bierze 600 zł. Warsztat zużywa materiały. Trzy rodzaje materiału:

Materiał pierwszy – 3j materiału na auto A, 9j na auto B, 270j miesięcznie

Materiał drugi – 12j materiału na auto A, 6j na auto B, 480j miesięcznie

Materiał trzeci – 6j materiału na auto A, 10j na auto B, 360j miesięcznie

Firma powinna obsłużyć tyle samochodów, aby otrzymać max przychodów.

Z=900x₁ + 600x_z max

3 x₁ + 9x_2­ ≤ 270

12x₁ + 6x₂ ≤ 480

6x₁ + 10x₂ ≤ 360

$$\frac{x_{1}}{90} + \frac{x_{2}}{30} < 1$$

$$\frac{x_{1}}{40} + \frac{x_{2}}{80} < 1$$

$$\frac{x_{1}}{60} + \frac{x_{2}}{36} < 1$$

Grad Z =$\lbrack\frac{\text{δZ}}{\delta x_{1}};\frac{\text{δZ}}{\delta x_{2}}$]

$$\left\lbrack 31\frac{3}{7};17\frac{1}{7} \right\rbrack$$

X₁=31 x₂=17

Z=900*31+600*17=38100.

Odp. Maksymalny przychód jest przy 31 samochodach typu A i 17 samochodach typu B.

Zagadnienie transportowe z kryterium kosztów

W praktyce często spotykamy się z koniecznością dokonania przemieszczenia środków materiałowych (np. transportu zaopatrzenia) z kilku źródeł (magazynów) do kilku miejsc przeznaczenia (odbiorców). Istotne przy tym jest, aby całkowity koszt przewozu był minimalny.

Na ćwiczeniach korzystaliśmy z metody „kąta północno-zachodniego”.

Metoda „kąta północno-zachodniego” (górnego lewego rogu macierzy kosztów) (bardzo prosta ale prawie nigdy nie daje rozwiązania optymalnego i wymusza wykonania wielu iteracji dla jego otrzymania) – przydział rozpoczyna się od klatki [1,1] w której dokuje się przydziału x₁₁ wpisując jego wartość w prawym dolnym rogu klatki. Możliwe są trzy przypadki:

Są trzy magazyny z zasobami:

200 150 100

Czterech odbiorców z zapotrzebowaniem:

50 100 150 150

Odległości poszczególnych odbiorców od poszczególnych magazynów:

$$\left\lbrack \begin{matrix} 5 & 4 & 16 \\ 18 & 12 & 9 \\ 15 & 17 & 14 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 12 \\ \end{matrix} \right\rbrack$$

Suma zapotrzebowań odbiorców musi być równa sumie zapasów w magazynach:

200+150+100=450

50+100+150+150=450

bj ai	50	100	150	150
200	5	4	16	4
	50	100	50
150	18	12	9	8
			100	50
100	15	17	14	12
				100

Z=250+400+800+900+400+1200=3950

$\ \left\{ \begin{matrix} r_{1} = 0 \\ 5 + r_{1} + S_{1} = 0 \\ \begin{matrix} 4 + r_{1} + S_{2} = 0 \\ 16 + r_{1} + S_{3} = 0 \\ \begin{matrix} 9 + r_{2} + S_{3} = 0 \\ 8 + r_{2} + S_{4} = 0 \\ 12 + r_{3} + S_{4} = 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\ \right.\ $=> $\left\{ \begin{matrix} r_{1} = 0 \\ S_{1} = - 5 \\ \begin{matrix} S_{2} = - 4 \\ S_{3} = - 16 \\ \begin{matrix} r_{2} = 7 \\ S_{4} = - 15 \\ r_{3} = 3 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\ \right.\ $

bj ai	50	100	150	150
200	0	0	0	-11
	50	100	50	50
150	20	15	0	0
			100	50
100	13	16	1	0
				100

$\left\{ \begin{matrix} r_{1} = 0 \\ 0 + r_{1} + S_{1} = 0 \\ \begin{matrix} 0 + r_{1} + S_{2} = 0 \\ - 11 + r_{1} + S_{4} = 0 \\ \begin{matrix} 0 + r_{2} + S_{3} = 0 \\ 0 + r_{2} + S_{4} = 0 \\ 0 + r_{3} + S_{4} = 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\ \right.\ $=> $\left\{ \begin{matrix} r_{1} = 0 \\ S_{1} = 0 \\ \begin{matrix} S_{2} = 0 \\ S_{4} = 11 \\ \begin{matrix} r_{2} = - 11 \\ S_{3} = 11 \\ r_{3} = - 11 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\ \right.\ $

bj ai	50	100	150	150
200	0	0	11	0
	50	100		50
150	9	4	0	0
			150
100	2	5	1	0
				100

Wstawiamy wartości odległości z zadania:

bj ai	50	100	150	150
200	5	4	16	4
	50	100		50
150	18	12	9	8
			150
100	15	17	14	12
				100

Z=250+400+200+1350+1200=3400

Odp. Zredukowane koszta wynoszą 3400zł.

• Wnioski: W pierwszej części ćwiczenia obliczyliśmy zysk zakładu naprawiającego samochody używając metody graficznej. Największy zysk wyszedł przy obsłużeniu 31 aut typu A i 17 aut typu B i wynosi on 38100zł. W drugiej części ćwiczenia używając metody transportowej ‘’kąta północno zachodniego” obliczyliśmy koszta dostaw z trzech magazynów do trzech odbiorców, a następnie staraliśmy się je zredukować. Przed redukcją koszta wynosiły 3950zł, a po redukcji 3400zł.