Akademia Górniczo-Hutnicza

Im. Stanisława Staszica w Krakowie

Teoria Sterowanie

Sprawozdanie z laboratorium 2

Bębenek Dawid

Rok II „D” Grupa 29

Rok akademicki 2009/2010

Prowadzący: dr inż. D. Grzybek

$q_{n} = \ C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*A_{d}*\sqrt{\text{\ ρg}h_{n}} = C_{d}\sqrt{2}A_{d}\sqrt{gh_{n}}$

$$\text{\ \ \ \ \ \ A}_{d}\ = \ tg\frac{\alpha}{2}y_{z}^{2}$$

C_d  =  C₁ =  C₂ =  C₃ = 0.6

C_d – współczynnik oporu szczeliny

A_d− pole przekroju szczeliny

α = 60^o

$$q_{n} = 0.6\sqrt{2}\text{tg}\frac{60^{o}}{2}y_{z}^{2}\sqrt{gh_{n}} = 0.2\sqrt{6}y_{z}^{2}\sqrt{gh_{n}}$$

Modelowanie układu w przestrzeni stanów:

Dobór zmiennych stanu, określenie sterowania oraz wyjść:

x₁ = h₁ u₁ = q y₁ = h₁ = x₁
x₂ = h₂ u₂ = y_Z1 y₂ = h₂ = x₂

x₃ = h₃ u₃ = y_Z2 y₃ = h₃ = x₃

u₄ = y_Z3

Model matematyczny układu:

$$\dot{h_{1}} = \ \frac{1}{A_{1}}(q - q_{1})$$

$$\dot{h_{2}} = \ \frac{1}{A_{2}}\left( q_{1} - q_{2} \right)$$

$$\dot{h_{3}} = \ \frac{1}{A_{3}}(q_{2} - q_{3})$$

Zapis w formie równań stanu z uwzględnieniem założeń:

Równania wejść:

$$\dot{x_{1}} = \ \frac{1}{A_{1}}(u_{1} - 0.2\sqrt{6}*u_{2}^{2}*\sqrt{\text{\ g}x_{1}})$$

$$\dot{x_{2}} = \ \frac{1}{A_{2}}(0.2\sqrt{6}*u_{2}^{2}*\sqrt{\text{\ g}x_{1}} - 0.2\sqrt{6}*u_{3}^{2}*\sqrt{\text{\ g}x_{2}})$$

$$\dot{x_{3}} = \ \frac{1}{A_{3}}(0.2\sqrt{6}*u_{3}^{2}*\sqrt{\text{\ g}x_{2}} - 0.2\sqrt{6}*u_{4}^{2}*\sqrt{\text{\ g}x_{3}})$$

Linearyzacja równań wejścia:

Macierz A:

A = $\begin{bmatrix} \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{2}} & \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{3}} \\ \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{2}} & \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{3}} \\ \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{2}} & \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{3}} \\ \end{bmatrix}$

$$A_{11} = \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{1}} = - \frac{1}{A_{1}}0.2\sqrt{6}*u_{2}^{2}*\sqrt{\text{\ g}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{1}}}$$

$$A_{12} = \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{2}} = 0$$

$$A_{13} = \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{3}} = 0$$

$$A_{21} = \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{1}} = \frac{1}{A_{1}}0.2\sqrt{6}*u_{2}^{2}*\sqrt{\text{\ g}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{1}}}$$

$$A_{22} = \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{2}} = - \frac{1}{A_{2}}0.2\sqrt{6}*u_{3}^{2}*\sqrt{\text{\ g}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{2}}}$$

$$A_{23} = \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{3}} = 0$$

$$A_{31} = \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{1}} = 0$$

$$A_{32} = \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{2}} = \frac{1}{A_{2}}0.2\sqrt{6}*u_{3}^{2}*\sqrt{\text{\ g}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{2}}}$$

$$A_{33} = \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{3}} = - \frac{1}{A_{3}}0.2\sqrt{6}*u_{4}^{2}*\sqrt{\text{\ g}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{3}}}$$

$$A\ = \ \begin{bmatrix} A_{11} & 0 & 0 \\ A_{21} & A_{22} & 0 \\ 0 & A_{32} & A_{33} \\ \end{bmatrix}$$

Macierz B :

B = $\begin{bmatrix} \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{1}} & \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{2}} & \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{3}} & \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{4}} \\ \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{1}} & \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{2}} & \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{3}} & \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{4}} \\ \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{1}} & \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{2}} & \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{3}} & \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{4}} \\ \end{bmatrix}$

$$B_{11} = \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{1}} = \frac{1}{A_{1}}$$

$$B_{12} = \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{2}} = \frac{- 2}{A_{1}}*0.2\sqrt{6}\sqrt{\text{\ g}x_{1}}*u_{2}$$

$$B_{13} = \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{3}} = 0$$

$$B_{14} = \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{4}} = 0$$

$$B_{21} = \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{1}} = 0$$

$$B_{22} = \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{2}} = \frac{2}{A_{2}}*0.2\sqrt{6}*\sqrt{\text{\ g}x_{1}}*u_{2}$$

$$B_{23} = \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{3}} = - \frac{2}{A_{2}}*0.2\sqrt{6}\sqrt{\text{\ g}x_{2}}*u_{3}$$

$$B_{24} = \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{4}} = 0$$

$$B_{31} = \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{1}} = 0$$

$$B_{32} = \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{2}} = 0$$

$$B_{33} = \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{3}} = \frac{2}{A_{3}}*0.2\sqrt{6}*\sqrt{\text{\ g}x_{2}}*u_{3}$$

$$B_{34} = \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{4}} = - \frac{2}{A_{3}}*0.2\sqrt{6}\sqrt{\text{\ g}x_{3}}*u_{4}$$

$$B\ = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & 0 & 0 \\ 0 & B_{22} & B_{23} & 0 \\ 0 & 0 & B_{33} & B_{34} \\ \end{bmatrix}$$

Macierz C:

C =$\ \begin{bmatrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial g_{3}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{3}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial g_{3}}{\partial x_{3}} \\ \end{bmatrix} =$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Macierz D: jest macierzą zerową

D=$\left\lbrack \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & \ 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right\rbrack$

Sprawdzenie stabilności układu

Dobór punktu pracy:

x₁ = h₁ = 2 m

x₂ = h₂ = 3 m

x₃ = h₃ = 4 m

$$u_{1} = q = 3\frac{m^{3}}{s}$$

u₂ = 0.6m   u₃ = 0.9m  u₄ = 1m 

W celu sprawdzenia stabilności układu przyjmujemy następujące dane:

A₁ A₂ A₃ = 1 m²

Schemat z Simulinka:

A =

-0.1950 0 0

-0.1950 -0.3600 0

0 -0.3600 -0.3840

B =

1.0000 -2.6000 0 0

0 -2.6000 -4.8000 0

0 0 -4.8000 -6.1400

C =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

D =

0

Sprawdzenie stabilności metodą pośrednią Lapunowa:

funkcja w Matlab’ie Eig(A)

ans =

-0.3840

-0.3600

-0.1950

Wszystkie wartości są ujemne, dlatego układ jest stabilny.

Wnioski:

Linearyzacją ukł. nieliniowych nazywamy zastąpienie ukł. nieliniowego jego liniowym przybliżeniem. Liniowe przybliżenie układu nieliniowego powinno możliwie dobrze odwzorować własności statyczne i dynamiczne ukł. nieliniowego. Wyróżniamy trzy metody podstawowe metody linearyzacji, z których na zajęciach poznałem jedną- metoda rozwinięcia

w szereg; Podczas linearyzacji należy dobrać tzw. punkt pracy- punkt na charakterystyce danego urządzenia lub elementu, w którym zachodzi jego działanie i w którym mogą zostać określone chwilowe parametry pracy takiego urządzenia lub elementu. Punkt pracy ma zasadnicze znaczenie w wyglądzie macierzy stanu(parametry wpływają na wartości współczynników macierzy).