Spis treści:

1. Wstęp teoretyczny 2

2. Przebieg ćwiczenia 5

3. Obliczenia 6

4. Wyniki końcowe oraz wnioski 12

1. Wstęp teoretyczny

Powietrze to mieszanina gazów, których cząsteczki znajdują się w ciągłym chaotycznym ruchu. Oddziaływania między cząsteczkami w gazie są o wiele słabsze niż oddziaływania cząsteczek w stanie ciekłym lub stałym. Pomimo to, w powietrzu także występują siły tarcia wewnętrznego (tzw. lepkość) pomiędzy kolejnymi warstwami gazu poruszającymi się równolegle względem siebie z rożnymi co do wartości prędkościami. Warstwy powietrza obdarzone większą prędkością pociągają za sobą warstwy o mniejszej prędkości. Natomiast wolniejsze warstwy spowalniają te szybsze. Pojawiające się siły tarcia pomiędzy kolejnymi warstwami gazu są skierowane stycznie do powierzchni styku tych warstw. Lepkość jest określana ilościowo współczynnikiem lepkości η równym wartości siły stycznej, która przyłożona do jednostki powierzchni spowoduje laminarny przepływ (tzn. jednostajny przepływ przy małych prędkościach, kiedy kolejne warstwy płynu nie mieszają się ze sobą) z jednostkową prędkością.

$$\eta = \frac{\pi r^{4}\rho_{w}g}{8\text{lV}}\Delta ht$$

gdzie:

r – promień rurki kapilarnej, m

ρ_w – gęstość wody w temperaturze otoczenia, $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

g – przyspieszenie ziemskie, $\frac{m}{s^{2}}$

l – długość rurki kapilarnej, m

Rys.1 Przepływ laminarny.

Siła lepkości jest opisana wzorem Newtona:

$$F = \eta\frac{u}{z}$$

gdzie: η - współczynnik lepkości

Gęstość gazu można wyrazić za pomocą równania stanu gazu doskonałego:

$$p = \frac{M}{V} = \frac{p u}{\begin{matrix} R T \\ \\ \end{matrix}}$$

Prędkość średnią obliczamy zgodnie z prawem maxwellowskim rozkładu prędkości:

$$\overset{\overline{}}{v} = \sqrt{\frac{8 R T}{\pi u}}$$

Jak widać , średnia prędkość cząsteczek zależy od temperatury gazu i jego rodzaju .

Pomiędzy kolejnymi zderzeniami, cząsteczki poruszają się ze stałymi prędkościami wzdłuż linii prostych.

Średnia droga swobodna ( odległość pomiędzy miejscami kolejnych zderzeń) to:

$\lambda = \frac{1}{\pi n_{0} d^{2}}$

gdzie: n₀ - koncentracja cząsteczek

d - średnica cząsteczki

Po modyfikacji ( z uwzględnieniem rozkładu Maxwella ) mamy:

$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\pi n_{0} d^{2}}$$

gdzie: $n_{0} = \frac{p}{k T}$

Podstawiając n₀ otrzymamy:

$$\lambda = \frac{k T}{\sqrt{2}\pi d^{2} p}$$

Można wykazać że współczynnik lepkości gazu doskonałego nie zależy od ciśnienia.

Z obniżeniem ciśnienia maleje koncentracja i zmniejsza się liczba cząsteczek przekazujących pęd pomiędzy warstwami.

Metoda pomiaru współczynnika lepkości powietrza oparta jest na prawie Poiseuille’a

$$\frac{V}{t} = \frac{1}{\eta} \frac{\pi r^{2}}{8 l}p$$

Ustalającym zależność wydatku V/t płynu przepływającego przez rurkę kapilarną (o promieniu r i długości l ) pod wpływem różnicy ciśnienia Δp na jej końcach

Δp = ρ_w·g·Δh

gdzie : ρ_w - gęstość wody w temperaturze otoczenia

g - przyspieszenie ziemskie

Δh - różnica poziomów wody w rurkach manometru

2. Przebieg ćwiczenia

Na stanowisku pracy znajdowała się rurka kapilarna (4), połączona z jednej strony z manometrem wodnym (6), a z drugiej strony z butlą szklaną (2) wypełnioną do 2/3 swojej objętości. Do butli dołączone były rurki odpowietrzające (3). Gdy woda wypływała przez zawór (1), w butli obniżało się ciśnienie powietrza. Powstałe podciśnienie wymuszało przepływ powietrza przez rurkę kapilarną i filtr osuszający (5).

Rys.2 Zestaw do wyznaczania

współczynnika lepkości powietrza.

• Otworzyłam zawór butli i ustaliłam szybkość wypływu wody odpowiadającą ustalonej różnicy poziomu wody w manometrze.

• Zmierzyłam czas t odpowiadający wypłynięciu z butli ustalonej objętości wody przy określonym manometrze.

• Przy otwartych rurkach odpowietrzających wlałam za pomocą lejka z powrotem wodę do butli, następnie zamknęłam rurki.

• Pomiary powtórzyłam 10 – krotnie, za każdym razem zapisując wyniki w tabeli.

• Wykonałam potrzebne obliczenia, zapisałam wyniki końcowe oraz wnioski

3. Obliczenia

1. Korzystając ze wzoru

$$\eta = \frac{\pi r^{4}\rho_{w}g}{8\text{lV}}\Delta ht$$

gdzie:

r – promień rurki kapilarnej, m (r = 0, 0004m)

ρ_w – gęstość wody w temperaturze otoczenia, $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ (ρ_w = 997,53 $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ )

g – przyspieszenie ziemskie, $\frac{m}{s^{2}}$ (g = 10 $\frac{m}{s^{2}}$)

l – długość rurki kapilarnej, m (l = 0,1 m)

obliczyłam współczynnik lepkości powietrza dla każdego pomiaru V, Δh, t

η1	1,726·10^-5 Pa⋅s
η2	1,626·10^-5 Pa⋅s
η3	1,749·10^-5 Pa⋅s
η4	2,968·10^-5 Pa⋅s
η5	2,947·10^-5 Pa⋅s
η 6	1,864·10^-5 Pa⋅s
η 7	1,443·10^-5 Pa⋅s
η 8	1,240·10^-5 Pa⋅s
η 9	1,779·10^-5 Pa⋅s
η 10	1,604·10^-5 Pa⋅s

2. Obliczam niepewności pomiarowe u(V), u(t), u(Δh)

u(V) = 0,0000050 m

u(Δh) = 0,00058 m

u(t) = 0,50 s

3. Korzystając z prawa przenoszenia niepewności obliczam niepewność współczynnika lepkości powietrza zgodnie ze wzorem:

$$u\left( \eta \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\text{δη}}{\text{δV}} \bullet u(V) \right)^{2} + \left( \frac{\text{δη}}{\delta(h)} \bullet u(h) \right)^{2} + \left( \frac{\text{δη}}{\text{δt}} \bullet u(t) \right)^{2}}$$

$$\frac{\text{δη}}{\text{δV}} \bullet u\left( V \right) = \frac{\pi r^{4}\rho_{w}g}{8l}\Delta ht \bullet \left( - \frac{1}{V^{2}} \right) \bullet u(V)$$

$$\frac{\text{δη}}{\delta(h)} \bullet u\left( h \right) = \frac{\pi r^{4}\rho_{w}g}{8\text{lV}} \bullet t \bullet u(h)$$

$$\frac{\text{δη}}{\text{δt}} \bullet u\left( t \right) = \frac{\pi r^{4}\rho_{w}g}{8\text{lV}} \bullet h \bullet u(t)$$

u(η1)	0,00000038 Pa·s
u(η2)	0,00000042 Pa·s
u(η3)	0,00000055 Pa·s
u(η4)	0,0000012 Pa·s
u(η5)	0,0000012 Pa·s
u(η6)	0,00000057 Pa·s
u(η7)	0,00000046 Pa·s
u(η8)	0,0000083 Pa·s
u(η9)	0,00000099 Pa·s
u(η10)	0,0000017 Pa·s

4. Ze wzorów:

$x_{w} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( w_{i} \bullet x_{i} \right)}{\sum_{i = 1}^{n}w_{i}}$ ,

gdzie $w_{i} = \frac{1}{u^{2}(x_{i})}$

oraz $u\left( x_{w} \right) = \frac{1}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}\left( w_{i} \right)}}$

wyliczam średnią ważoną obliczonych wcześniej współczynników lepkości powietrza oraz jej błąd:

$\overset{\overline{}}{\eta} = x_{w} =$0,00001741 Pa⋅s

u(x _w)= 0,00000019 Pa⋅s

5. Korzystając ze wzoru

$$\rho_{p} = \frac{M}{V} = \frac{p_{0}\mu}{\text{RT}}$$

gdzie:

p₀ – ciśnienie atmosferyczne, Pa (p₀ = 98200 Pa)

µ - masa molowa powietrza, $\frac{\text{kg}}{\text{mol}}$ (µ = 0,02887 $\frac{\text{kg}}{\text{mol}}$)

R – uniwersalna stała gazowa, $\frac{J}{\text{mol} \bullet K}$ (R = 8,31$\frac{J}{\text{mol} \bullet K}$)

T – temperatura otoczenia, K (T = 296 K)

obliczam gęstość powietrza:

ρ_p = 1,1525 $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

6. Niepewności pomiarowe u(T) oraz u(p₀) wynoszą odpowiednio:

u(T) = 0,1 K

u(p₀) = 100 Pa

7. Korzystając z prawa przenoszenia niepewności obliczam niepewność standardową gęstości powietrza u(ρp)

$$u\left( \rho p \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\delta\rho p}{\text{δT}} \bullet u(T) \right)^{2} + \left( \frac{\delta\rho p}{\delta p_{0}} \bullet u(p_{0}) \right)^{2}}$$

$$\frac{\delta\rho p}{\text{δT}} \bullet u\left( T \right) = - \frac{1}{T^{2}} \bullet \frac{p_{0}\mu}{R} \bullet u(T)$$

$$\frac{\delta\rho p}{\delta p_{0}} \bullet u\left( p_{0} \right) = \frac{\mu}{\text{RT}}\ \bullet u(p_{0})$$

Otrzymując:

u(ρp) = 0,0012

8. Ze wzoru:

$$\overset{\overline{}}{v} = \sqrt{\frac{8\text{RT}}{\text{πμ}}}$$

obliczam średnią arytmetyczną prędkości cząsteczek powietrza:

$$\overset{\overline{}}{v} = 465,9112\ \frac{m}{s}$$

9. Stosując prawo przenoszenia niepewności liczę niepewność tej średniej:

$$u\left( \overset{\overline{}}{v} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\delta\overset{\overline{}}{v}}{\text{δT}} \bullet u(T) \right)^{2}}$$

$$\frac{\delta\overset{\overline{}}{v}}{\text{δT}} \bullet u\left( T \right) = \frac{1}{2\sqrt{T}} \bullet \sqrt{\frac{8R}{\text{πμ}}} \bullet u(T)$$

otrzymuję

u($\overset{\overline{}}{v}$)=0,0023$\frac{m}{s}$

10. Następnie na podstawie wzoru:

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = \frac{3\overset{\overline{}}{\eta}}{\rho_{p}\overset{\overline{}}{v}}$$

liczę długość średniej drogi swobodnej cząsteczek powietrza:

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = 0,9727 \bullet 10^{- 7}m$$

11. Stosując prawo przenoszenia niepewności, liczę niepewność standardową tej drogi:

$$u\left( \overset{\overline{}}{\lambda} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\delta\overset{\overline{}}{\lambda}}{\delta\overset{\overline{}}{\eta}} \bullet u(\overset{\overline{}}{\eta}) \right)^{2} + \left( \frac{\delta\overset{\overline{}}{\lambda}}{\delta(\rho_{p})} \bullet u(\rho_{p}) \right)^{2} + \left( \frac{\delta\overset{\overline{}}{\lambda}}{\delta\overset{\overline{}}{v}} \bullet u(\overset{\overline{}}{v}) \right)^{2}}$$

$$\frac{\delta\overset{\overline{}}{\lambda}}{\delta\overset{\overline{}}{\eta}} \bullet u\left( \overset{\overline{}}{\eta} \right) = \frac{3}{\rho_{p}\overset{\overline{}}{v}} \bullet u(\overset{\overline{}}{\eta})$$

$$\frac{\delta\overset{\overline{}}{\lambda}}{\delta(\rho_{p})} \bullet u\left( \rho_{p} \right) = - \frac{1}{{\rho_{p}}^{2}} \bullet \frac{3\overset{\overline{}}{\eta}}{\overset{\overline{}}{v}} \bullet u(\rho_{p})$$

$$\frac{\delta\overset{\overline{}}{\lambda}}{\delta\overset{\overline{}}{v}} \bullet u\left( \overset{\overline{}}{v} \right) = - \frac{1}{{\overset{\overline{}}{v}}^{2}} \bullet \frac{3\overset{\overline{}}{\eta}}{\rho_{p}} \bullet u(\overset{\overline{}}{v})$$

Otrzymuję $u\left( \overset{\overline{}}{\lambda} \right) = 10 \bullet 10^{- 10}$

12. Ze wzoru:

$$d = \sqrt{\frac{\text{kT}}{\sqrt{2}\pi\overset{\overline{}}{\lambda}p_{0}}}$$

gdzie:

K – stała Boltzmanna, $\frac{J}{K}$, k = 1.38・10^-23 $\frac{J}{K}$

obliczamy średnicę efektywną cząsteczek powietrza:

d = 3, 1033 • 10⁻¹⁰m

13. Na podstawie prawa przenoszenia niepewności liczę niepewność standardową tej średnicy:

$$u\left( d \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\delta d}{\text{δT}} \bullet u(T) \right)^{2} + \left( \frac{\delta d}{\delta(\overset{\overline{}}{\lambda})} \bullet u(\overset{\overline{}}{\lambda}) \right)^{2} + \left( \frac{\delta d}{\delta p_{0}} \bullet u(p_{0}) \right)^{2}}$$

$$\frac{\delta d}{\text{δT}} \bullet u\left( T \right) = \frac{1}{2\sqrt{T}} \bullet \sqrt{\frac{k}{\sqrt{2}\pi\overset{\overline{}}{\lambda}p_{0}}} \bullet u(T)$$

$$\frac{\delta d}{\delta(\overset{\overline{}}{\lambda})} \bullet u\left( \overset{\overline{}}{\lambda} \right) = \left( - \frac{1}{2\sqrt{{\overset{\overline{}}{\lambda}}^{3}}} \right) \bullet \sqrt{\frac{\text{kT}}{\sqrt{2}\pi p_{0}}} \bullet u\left( \overset{\overline{}}{\lambda} \right)$$

$$\frac{\delta d}{\delta p_{0}} \bullet u\left( p_{0} \right) = \left( - \frac{1}{2\sqrt{{p_{0}}^{3}}} \right) \bullet \sqrt{\frac{\text{kT}}{\sqrt{2}\pi\overset{\overline{}}{\lambda}}} \bullet u\left( p_{0} \right)$$

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:

(d) = 0, 0047 • 10⁻¹⁰m

$$\text{Re} = \frac{\rho_{p}v_{p}r}{\eta}$$

gdzie v_p − predkosc przeplywu powietrza przez rurke kapilarna, którą liczymy ze wzoru:

$$v_{p} = \frac{V}{\pi r^{4}t}$$

możemy obliczyć liczbę Reynoldsa.

Nr pomiaru	vp, $\frac{m}{s}$	Re
1	3,467676	92,974036
2	3,067468	86,974036
3	2,281313	60,132525
4	1,008185	15,658820
5	1,015534	15,887915
6	2,67533	66,158313
7	4,146762	132,454457
8	0,160866	0,597994
9	2,803445	72,646317
10	2,488057	71,525407

4. Wyniki końcowe oraz wnioski

Współczynnik lepkości powietrza wraz z niepewnością wynoszą:

η1	1,726(38)· 10^-5 Pa⋅s
η2	1,626(42)·10^-5 Pa⋅s
η3	1,749(55)·10^-5 Pa⋅s
η4	2,97(12)·10^-5 Pa⋅s
η5	2,95(12)·10^-5 Pa⋅s
η 6	1,864(57)·10^-5 Pa⋅s
η 7	1,443(46)·10^-5 Pa⋅s
η 8	1,24(83·10^-5 Pa⋅s
η 9	1,779(99)·10^-5 Pa⋅s
η 10	1,60(17)·10^-5 Pa⋅s

Niepewności pomiarowe:

u(V) = 0,0000050 m

u(Δh) = 0,00058 m

u(t) = 0,50 s

Średnia ważona współczynnika lepkości powietrza i niepewność średniej ważonej wynoszą:

$\overset{\overline{}}{\eta}$=x_w=1,741(19)·10^-5 Pa·s

Gęstość powietrza oraz jej niepewność wynosi: ρ_p=1,1525(12) $\frac{\text{Kg}}{m^{3}}$

Niepewności pomiarowe u(T) oraz u(p₀) wynoszą odpowiednio:

u(T) = 0,1 K

u(p₀) = 100 Pa

Średnia arytmetyczna prędkości cząsteczek powietrza wraz z niepewnością wynosi:

$\overset{\overline{}}{\mathbf{v}}$=$465,9112\left( 23 \right)\frac{m}{s}$

Długość średniej drogi swobodnej cząsteczek powietrza wraz z niepewnością wynosi:

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = 9727(10) \bullet 10^{- 11}m$$

Średnica efektywna cząsteczek powietrza wraz z niepewnością wynosi:

d=3, 1033(47)•10⁻¹⁰m

Liczba Reynoldsa dla poszczególnych pomiarów wynosi:

Nr pomiaru	vp, $\frac{m}{s}$	Re
1	3,467676	92,974036
2	3,067468	86,974036
3	2,281313	60,132525
4	1,008185	15,658820
5	1,015534	15,887915
6	2,67533	66,158313
7	4,146762	132,454457
8	0,160866	0,597994
9	2,803445	72,646317
10	2,488057	71,525407

Współczynnik lepkości powietrza w temp 0 °C  wynosi 17,08·10^-6 Pa·s, a nasz wyznaczony podczas pomiarów w temperaturze 23,1°C wynosi 17,41∙ 10^-6 Pa·s. Wynik jest zadowalający gdyż wyliczone przeze mnie niepewności są niewielkie, a wyliczona liczba Reynoldsa dla poszczególnych pomiarów mieści się w przedziale wartości krytycznej. Śmiało można stwierdzić, że nawet w prostych warunkach można określić wartość współczynnika lepkości powietrza niewiele odbiegając od wartości tablicowych. Błędy powstałe podczas pomiaru mogły być spowodowane niedoskonałością ludzkiego oka, brakiem refleksu oraz z niedoskonałości przyrządów pomiarowych.