1. WSTĘP
Chaotyczny ruch cieplny cząsteczek umożliwia zaistnienie tzw. zjawisk transportu , związanych z przenoszeniem przez cząsteczki masy , pędu i energii . Do zjawisk tych zaliczamy :
a) dyfuzję (transport masy)
b) przewodnictwo cieplne ( przenoszeniem energii)
c) lepkość ( związaną z poprzecznym transportem pędu ) .
Do opisu zachowania się cząsteczek można stosować jedynie prawa statystyczne , co oznacza , że musimy posługiwać się pojęciem uśrednionej wartości prędkości cząsteczek , średniej drogi swobodnej ( tj. drogi cząsteczki między dwoma kolejnymi zderzeniami ) , średniej liczby zderzeń , średniej energii itp.
Siła lepkości jest opisana wzorem Newtona:
gdzie: η - współczynnik lepkości
Gęstość gazu można wyrazić za pomocą równania stanu gazu doskonałego:
Prędkość średnią obliczamy zgodnie z prawem maxwellowskim rozkładu prędkości:
Jak widać , średnia prędkość cząsteczek zależy od temperatury gazu i jego rodzaju .
Pomiędzy kolejnymi zderzeniami, cząsteczki poruszają się ze stałymi prędkościami wzdłuż linii prostych.
Średnia droga swobodna ( odległość pomiędzy miejscami kolejnych zderzeń) to:
gdzie: n0 - koncentracja cząsteczek
d - średnica cząsteczki
Po modyfikacji ( z uwzględnieniem rozkładu Maxwella ) mamy:
gdzie:
k - stała Boltzmana (1.381·10-23 [J·K-1] )
p - ciśnienie gazu
T - temperatura gazu
Podstawiając n0 otrzymamy:
Można wykazać że współczynnik lepkości gazu doskonałego nie zależy od ciśnienia.
Z obniżeniem ciśnienia maleje koncentracja i zmniejsza się liczba cząsteczek przekazujących pęd pomiędzy warstwami.
Metoda pomiaru współczynnika lepkości powietrza oparta jest na prawie Poiseuille'a
Ustalającym zależność wydatku V/t płynu przepływającego przez rurkę kapilarną (o promieniu r i długości l ) pod wpływem różnicy ciśnienia Δp na jej końcach
Δp = ρw∗g∗Δh
gdzie : ρw - gęstość wody w temperaturze otoczenia
g - przyspieszenie ziemskie
Δh - różnica poziomów wody w rurkach manometru
2. PRZEBIEG ĆWICZENIA
1.Napełniamy butlę wodą .
2.Otwieramy zawór butli i ustalamy szybkość wypływu wody odpowiadającą różnicy poziomu wody w manometrze ok. 30 [mm ].
3.Po ustaleniu się prędkości wypływu mierzymy czas odpowiadający wypłynięciu z butli V=250 [cm3] wody .
4. Pomiary powtarzamy 10-krotnie , każdorazowo wlewając wodę z menzurki ponownie do butli w celu zapewnienia stałej w każdym pomiarze prędkości wypływu .
3. OBLICZENIA WIELKOŚCI I BŁĘDÓW
Wyniki pomiarów przedstawiono w tabeli.
Do obliczeń przyjęto następujące wartości stałe :
promień rurki kapilarnej r = 0,1935 [mm]
długość rurki kapilarnej l = 93,50±0,05 [mm]
temperatura otoczenia T = (25 ± 1) [°C]
ciśnienie atmosferyczne p0 = (980 ± 5) [hPa]
dokładność pomiaru h = 1 [mm]
Obliczamy współczynnik lepkości powietrza według wzoru :
gdzie:
r - średnica kapilary
l - długość kapilary
ρw - gęstość wody w temperaturze otoczenia
g - przyspieszenie ziemskie (9,81 m/s2)
h - różnica poziomów wody w rurkach manometru
V - objętość wypływającej wody
t - czas wypływania wody
ρw = 997,05 [kg/m3]
Otrzymujemy następujące wyniki:
1 = 3,07⋅ 10 -5 [kg / m⋅s]
2 = 3,52 ⋅ 10 -5 [kg / m⋅s]
3 = 3,22 ⋅ 10 -5 [kg / m⋅s]
4 = 3,22 ⋅ 10 -5 [kg / m⋅s]
5 = 3,16 ⋅ 10 -5 [kg / m⋅s]
6 = 2,39 ⋅ 10 -5 [kg / m⋅s]
7 = 2,39 ⋅ 10 -5 [kg / m⋅s]
8 = 3,17 ⋅ 10 -5 [kg / m⋅s]
9 = 3,48 ⋅ 10 -5 [kg / m⋅s]
10 = 2,32 ⋅ 10 -5 [kg / m⋅s]
Dla potrzeb średniej ważonej obliczamy błędy określenia współczynnika
Używamy w tym celu metody logarytmicznej. Wzór na określenie błędu ma następującą postać :
Nie znamy błędów określenia średnicy i długości rurki kapilarnej dlatego pomijamy ich wpływ na wielkość błędu.
Błąd odczytu poziomu w u-rurce h = 1 [mm].
Błąd pomiaru czasu przyjęto na t = 0,2 [s] ze względu na niejednoznaczność określenia momentu zrównania się poziomu wody w menzurce z cechą 250 [cm3].
Błąd pomiaru objętości cieczy przyjęto jako V = 1 [cm3].
Po podstawieniu danych do powyższego wzoru otrzymujemy:
1 = 2,54⋅ 10-6 [kg / m⋅ s]
2 = 2,80 ⋅ 10-6 [kg / m⋅ s]
3 = 2,80 ⋅ 10-6 [kg / m⋅ s]
4 = 2,63 ⋅ 10-6 [kg / m⋅ s]
5 = 2,59 ⋅ 10-6 [kg / m⋅ s]
6 = 2,29 ⋅ 10-6 [kg / m⋅ s]
7 = 2,27 ⋅ 10-6 [kg / m⋅ s]
8 = 2,87 ⋅ 10-6 [kg / m⋅ s]
9 = 3,32 ⋅ 10-6 [kg / m⋅ s]
10 = 1,83 ⋅ 10-6 [kg / m⋅ s]
Obliczamy średnią ważoną współczynnika lepkości powietrza oraz błąd jej wyznaczenia.
|
|
|
wi |
wi |
wi |
|
x 10-5 |
x 10-5 |
x 10-5 |
x 10-9 |
x 10-10 |
1 |
3,07 |
0,254 |
0,0155 |
4,76 |
3,94 |
2 |
3,52 |
0,280 |
0,0128 |
4,49 |
3,57 |
3 |
3,22 |
0,280 |
0,0128 |
4,11 |
3,57 |
4 |
3,22 |
0,263 |
0,0145 |
4,66 |
3,80 |
5 |
3,16 |
0,259 |
0,0149 |
4,71 |
3,86 |
6 |
2,39 |
0,259 |
0,0149 |
3,56 |
3,86 |
7 |
2,39 |
0,227 |
0,0194 |
4,64 |
4,41 |
8 |
3,17 |
0,287 |
0,0121 |
3,85 |
3,48 |
9 |
3,48 |
0,332 |
0,0091 |
3,16 |
3,01 |
10 |
2,32 |
0,183 |
0,0299 |
6,93 |
5,46 |
|
|
|
0,1558 |
44,86 |
38,97 |
Średnią ważoną obliczamy według wzoru:
Wynosi ona :
=2,88⋅10-2 [kg/ms]
Obliczamy błąd średniej ważonej według wzoru:
Błąd wynosi:
=0,25·10-2 [kg/ms]
Ostatecznie więc wartość współczynnika lepkości wynosi:
= (2,88±0,25) ⋅ 10-2 [kg/ms]
Obliczamy średnią drogę swobodną cząsteczek powietrza :
gdzie ρp - gęstość powietrza.
Średnia prędkość :
gdzie:
= 28.83 [kg/kmol],
R = 8.31 [J/mol K].
Otrzymane wartości wstawiamy do wzoru na średnią drogę swobodną cząsteczek powietrza i otrzymujemy :
Po wstawieniu danych otrzymujemy:
= 1,483 ·10-2[m]
Obliczamy średnicę efektywną cząsteczek powietrza ze wzoru:
Po podstawieniu wartości otrzymujemy :
d = 75,78 ⋅ 10-10 [m]
Obliczamy błąd wyznaczenia średniej drogi swobodnej oraz średnicy efektywnej cząsteczek powietrza korzystając z metody pochodnej logarytmicznej:
1.Obliczamy błąd określenia gęstości powietrza stosując wzór:
2.Obliczamy błąd określenia prędkości średniej cząsteczek powietrza stosując wzór:
lnv = 1/2 lnT
= 0,8
Wartości błędów względnych gęstości powietrza i prędkości średniej cząsteczek podstawiamy do wzoru:
= 1,0467 ·10-2
Otrzymany błąd względny mnożymy przez wartość średniej drogi swobodnej i otrzymujemy:
= 0,021 ·10-10 [m]
3. Korzystając z pochodnej logarytmicznej wyznaczamy błąd obliczenia średnicy efektywnej :
Otrzymany błąd mnożymy przez wartość średnicy efektywnej i otrzymujemy błąd bezwzględny :
d = 0,193 ⋅ 10-10 [m]
Obliczamy liczbę Reynoldsa korzystając ze wzoru:
Re=352±12
5. WYNIKI:
Wykonane pomiary i obliczenia dały następujące wyniki:
- lepkość powietrza:
= (2,88 ± 0,25) ⋅ 10-5 [kg/ms],
- długość średniej drogi swobodnej cząsteczek powietrza :
= (1,48 ± 0,02) ⋅ 10-2 [m]
- średnica cząsteczek powietrza :
d = (7,58 ± 0,02) ⋅ 10-9 [m]
- gęstość powietrza:
ρp= 1,142 ± 0,010 [kg/m3]
- średnia prędkość cząsteczek:
v= 467,8 ± 0,8 [m/s]
- liczba Reynoldsa:
Re=352±12
Dane tablicowe:
- lepkość powietrza: =1,82·10-5 kg/m·s
- gęstość powietrza: ρp=1,185 kg/m3
- średnia prędkość cząsteczek powietrza v= 485 m/s
6. WNIOSKI.
Celem ćwiczenia było obliczenie lepkości powietrza. Otrzymane wyniki różnią się nieco od danych tablicowych, jest to spowodowane niedokładnością pomiaru ilości wypływającej cieczy, odczyt różnicy poziomów w manometrze oraz pomiaru czasu wypływu cieczy.