1. WSTĘP

Chaotyczny ruch cieplny cząsteczek umożliwia zaistnienie tzw. zjawisk transportu , związanych z przenoszeniem przez cząsteczki masy , pędu i energii . Do zjawisk tych zaliczamy :

a) dyfuzję (transport masy)

b) przewodnictwo cieplne ( przenoszeniem energii)

c) lepkość ( związaną z poprzecznym transportem pędu ) .

Do opisu zachowania się cząsteczek można stosować jedynie prawa statystyczne , co oznacza , że musimy posługiwać się pojęciem uśrednionej wartości prędkości cząsteczek , średniej drogi swobodnej ( tj. drogi cząsteczki między dwoma kolejnymi zderzeniami ) , średniej liczby zderzeń , średniej energii itp.

Siła lepkości jest opisana wzorem Newtona:

gdzie: η - współczynnik lepkości

Gęstość gazu można wyrazić za pomocą równania stanu gazu doskonałego:

Prędkość średnią obliczamy zgodnie z prawem maxwellowskim rozkładu prędkości:

Jak widać , średnia prędkość cząsteczek zależy od temperatury gazu i jego rodzaju .

Pomiędzy kolejnymi zderzeniami, cząsteczki poruszają się ze stałymi prędkościami wzdłuż linii prostych.

Średnia droga swobodna ( odległość pomiędzy miejscami kolejnych zderzeń) to:

gdzie: n₀ - koncentracja cząsteczek

d - średnica cząsteczki

Po modyfikacji ( z uwzględnieniem rozkładu Maxwella ) mamy:

gdzie:

k - stała Boltzmana (1.381·10^-23 [J·K^-1] )

p - ciśnienie gazu

T - temperatura gazu

Podstawiając n₀ otrzymamy:

Można wykazać że współczynnik lepkości gazu doskonałego nie zależy od ciśnienia.

Z obniżeniem ciśnienia maleje koncentracja i zmniejsza się liczba cząsteczek przekazujących pęd pomiędzy warstwami.

Metoda pomiaru współczynnika lepkości powietrza oparta jest na prawie Poiseuille'a

Ustalającym zależność wydatku V/t płynu przepływającego przez rurkę kapilarną (o promieniu r i długości l ) pod wpływem różnicy ciśnienia Δp na jej końcach

Δp = ρ_w∗g∗Δh

gdzie : ρ_w - gęstość wody w temperaturze otoczenia

g - przyspieszenie ziemskie

Δh - różnica poziomów wody w rurkach manometru

2. PRZEBIEG ĆWICZENIA

1.Napełniamy butlę wodą .

2.Otwieramy zawór butli i ustalamy szybkość wypływu wody odpowiadającą różnicy poziomu wody w manometrze ok. 30 [mm ].

3.Po ustaleniu się prędkości wypływu mierzymy czas odpowiadający wypłynięciu z butli V=250 [cm³] wody .

4. Pomiary powtarzamy 10-krotnie , każdorazowo wlewając wodę z menzurki ponownie do butli w celu zapewnienia stałej w każdym pomiarze prędkości wypływu .

3. OBLICZENIA WIELKOŚCI I BŁĘDÓW

Wyniki pomiarów przedstawiono w tabeli.

Do obliczeń przyjęto następujące wartości stałe :

promień rurki kapilarnej r = 0,1935 [mm]

długość rurki kapilarnej l = 93,50±0,05 [mm]

temperatura otoczenia T = (25 ± 1) [°C]

ciśnienie atmosferyczne p₀ = (980 ± 5) [hPa]

dokładność pomiaru  h = 1 [mm]

Obliczamy współczynnik lepkości powietrza według wzoru :

gdzie:

r - średnica kapilary

l - długość kapilary

ρ_w - gęstość wody w temperaturze otoczenia

g - przyspieszenie ziemskie (9,81 m/s²)

h - różnica poziomów wody w rurkach manometru

V - objętość wypływającej wody

t - czas wypływania wody

ρ_w = 997,05 [kg/m³]

Otrzymujemy następujące wyniki:

₁ = 3,07⋅ 10 ^-5 [kg / m⋅s]

₂ = 3,52 ⋅ 10 ^-5 [kg / m⋅s]

₃ = 3,22 ⋅ 10 ^-5 [kg / m⋅s]

₄ = 3,22 ⋅ 10 ^-5 [kg / m⋅s]

₅ = 3,16 ⋅ 10 ^-5 [kg / m⋅s]

₆ = 2,39 ⋅ 10 ^-5 [kg / m⋅s]

₇ = 2,39 ⋅ 10 ^-5 [kg / m⋅s]

₈ = 3,17 ⋅ 10 ^-5 [kg / m⋅s]

₉ = 3,48 ⋅ 10 ^-5 [kg / m⋅s]

₁₀ = 2,32 ⋅ 10 ^-5 [kg / m⋅s]

Dla potrzeb średniej ważonej obliczamy błędy określenia współczynnika 

Używamy w tym celu metody logarytmicznej. Wzór na określenie błędu ma następującą postać :

Nie znamy błędów określenia średnicy i długości rurki kapilarnej dlatego pomijamy ich wpływ na wielkość błędu.

Błąd odczytu poziomu w u-rurce h = 1 [mm].

Błąd pomiaru czasu przyjęto na t = 0,2 [s] ze względu na niejednoznaczność określenia momentu zrównania się poziomu wody w menzurce z cechą 250 [cm³].

Błąd pomiaru objętości cieczy przyjęto jako V = 1 [cm³].

Po podstawieniu danych do powyższego wzoru otrzymujemy:

 ₁ = 2,54⋅ 10^-6 [kg / m⋅ s]

 ₂ = 2,80 ⋅ 10^-6 [kg / m⋅ s]

 ₃ = 2,80 ⋅ 10^-6 [kg / m⋅ s]

 ₄ = 2,63 ⋅ 10^-6 [kg / m⋅ s]

 ₅ = 2,59 ⋅ 10^-6 [kg / m⋅ s]

 ₆ = 2,29 ⋅ 10^-6 [kg / m⋅ s]

 ₇ = 2,27 ⋅ 10^-6 [kg / m⋅ s]

 ₈ = 2,87 ⋅ 10^-6 [kg / m⋅ s]

 ₉ = 3,32 ⋅ 10^-6 [kg / m⋅ s]

 ₁₀ = 1,83 ⋅ 10^-6 [kg / m⋅ s]

Obliczamy średnią ważoną współczynnika lepkości powietrza oraz błąd jej wyznaczenia.

			wi	wi 	wi 
	x 10^-5	x 10^-5	x 10^-5	x 10^-9	x 10^-10
1	3,07	0,254	0,0155	4,76	3,94
2	3,52	0,280	0,0128	4,49	3,57
3	3,22	0,280	0,0128	4,11	3,57
4	3,22	0,263	0,0145	4,66	3,80
5	3,16	0,259	0,0149	4,71	3,86
6	2,39	0,259	0,0149	3,56	3,86
7	2,39	0,227	0,0194	4,64	4,41
8	3,17	0,287	0,0121	3,85	3,48
9	3,48	0,332	0,0091	3,16	3,01
10	2,32	0,183	0,0299	6,93	5,46
			0,1558	44,86	38,97

Średnią ważoną obliczamy według wzoru:

Wynosi ona :

=2,88⋅10^-2 [kg/ms]

Obliczamy błąd średniej ważonej według wzoru:

Błąd wynosi:

=0,25·10^-2 [kg/ms]

Ostatecznie więc wartość współczynnika lepkości wynosi:

 = (2,88±0,25) ⋅ 10^-2 [kg/ms]

Obliczamy średnią drogę swobodną cząsteczek powietrza :

gdzie ρ_p - gęstość powietrza.

Średnia prędkość :

gdzie:

 = 28.83 [kg/kmol],

R = 8.31 [J/mol K].

Otrzymane wartości wstawiamy do wzoru na średnią drogę swobodną cząsteczek powietrza i otrzymujemy :

Po wstawieniu danych otrzymujemy:

 = 1,483 ·10^-2[m]

Obliczamy średnicę efektywną cząsteczek powietrza ze wzoru:

Po podstawieniu wartości otrzymujemy :

d = 75,78 ⋅ 10^-10 [m]

Obliczamy błąd wyznaczenia średniej drogi swobodnej oraz średnicy efektywnej cząsteczek powietrza korzystając z metody pochodnej logarytmicznej:

1.Obliczamy błąd określenia gęstości powietrza stosując wzór:

2.Obliczamy błąd określenia prędkości średniej cząsteczek powietrza stosując wzór:

lnv = 1/2 lnT

= 0,8

Wartości błędów względnych gęstości powietrza i prędkości średniej cząsteczek podstawiamy do wzoru:

= 1,0467 ·10^-2

Otrzymany błąd względny mnożymy przez wartość średniej drogi swobodnej i otrzymujemy:

  = 0,021 ·10^-10 [m]

3. Korzystając z pochodnej logarytmicznej wyznaczamy błąd obliczenia średnicy efektywnej :

Otrzymany błąd mnożymy przez wartość średnicy efektywnej i otrzymujemy błąd bezwzględny :

d = 0,193 ⋅ 10^-10 [m]

Obliczamy liczbę Reynoldsa korzystając ze wzoru:

Re=352±12

5. WYNIKI:

Wykonane pomiary i obliczenia dały następujące wyniki:

- lepkość powietrza:

 = (2,88 ± 0,25) ⋅ 10^-5 [kg/ms],

- długość średniej drogi swobodnej cząsteczek powietrza :

 = (1,48 ± 0,02) ⋅ 10^-2 [m]

- średnica cząsteczek powietrza :

d = (7,58 ± 0,02) ⋅ 10^-9 [m]

- gęstość powietrza:

ρ_p= 1,142 ± 0,010 [kg/m³]

- średnia prędkość cząsteczek:

v= 467,8 ± 0,8 [m/s]

- liczba Reynoldsa:

Re=352±12

Dane tablicowe:

- lepkość powietrza: =1,82·10^-5 kg/m·s

- gęstość powietrza: ρ_p=1,185 kg/m³

- średnia prędkość cząsteczek powietrza v= 485 m/s

6. WNIOSKI.

Celem ćwiczenia było obliczenie lepkości powietrza. Otrzymane wyniki różnią się nieco od danych tablicowych, jest to spowodowane niedokładnością pomiaru ilości wypływającej cieczy, odczyt różnicy poziomów w manometrze oraz pomiaru czasu wypływu cieczy.

---