Belki na podłożu sprężystym

1. Nieskończenie długą belkę o stałej sztywności na zginanie, spoczywającą na podłożu sprężystym, obciążono parą sił o momencie M₀. Wyznaczyć równanie ugiętej osi belki i zapisać warunki brzegowe. Dane: EI, M₀, k

Zapiszmy równanie różniczkowe osi ugiętej belki:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - \frac{M(x)}{\text{EI}}$$

Dwukrotnie różniczkując i mnożąc przez EI, otrzymamy:

$$\text{EI}\frac{d^{4}y}{dx^{4}} = q\left( x \right) - q_{r}(x)$$

Gdzie:

q_r(x) = ky

k- moduł podłoża sprężystego

Podstawiając:

$$\text{EI}\frac{d^{4}y}{dx^{4}} = q\left( x \right) - ky$$

Podstawmy:

$$\propto = \sqrt[4]{\frac{k}{4EI}}$$

$$\frac{d^{4}y}{dx^{4}} + 4 \propto^{4}y = \frac{q\left( x \right)}{\text{EI}}$$

Otrzymaliśmy R.R linii ugięcia belki na podłożu sprężystym

Rozwiązanie tego R.R będzie typu:

y = e^∝x(C₁cos∝x+C₂sin∝x) + e^{− ∝ x} (C₃cos∝x+C₄sin∝x)+y_sz

Zakładamy że:

1. Jeżeli x dąży do nieskończoności, to C₁=C₂=0 (warunek skończoności ugięcia belki, w przeciwnym wypadku wyrażenie w nieskończoności osiągnęło by wartość nieskończoną, co nie ma sensu)

2. Z racji iż w nieskończoności ugięcie belki y=0, całka szczególna powyższego równania równa się 0

Uwzględniając powyższe założenia, otrzymujemy rozwiązanie R.R o postaci:

y = e^{− ∝ x} (C₃cos∝x+C₄sin∝x)

Zapiszmy warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} dla\ x = 0\ \ y = 0 \\ dla\ x = 0\ M = \frac{1}{2}M_{0} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Co wynika bezpośrednio z rysunku. Podstawiając pierwszy W.B do równania:

0 = e^{− ∝ 0} (C₃cos∝0+C₄sin∝0) ∖ nC₃ = 0

Aby podstawić wartość momentu gnącego, zróżniczkujemy dwukrotnie równanie ugięcia belki

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = - \propto e^{- \propto x\ }\left( C_{3}cos \propto x + C_{4}sin \propto x \right) + e^{- \propto x\ }\left( {- C}_{3} \propto sin \propto x + C_{4} \propto cos \propto x \right)$$

I drugi raz, po przekształceniach:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = {2 \propto}^{2}e^{- \propto x\ }(C_{3}sin \propto x - C_{4}cos \propto x)$$

Podstawiamy do równania z uwzględnieniem 2 W.B:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - \frac{M(x)}{\text{EI}}$$

$$- \frac{\frac{1}{2}M_{0}}{\text{EI}} = {2 \propto}^{2}e^{- \propto 0\ }(C_{3}sin \propto 0 - C_{4}cos \propto 0)$$

Ostatecznie:

$$C_{4} = \frac{M_{0}}{4EI \propto^{2}}$$

Podstawiając stałe całkowania, otrzymujemy równanie linii ugięcia belki:

$$y = e^{- \propto x}(\frac{M_{0}}{4EI \propto^{2}}sin \propto x)$$

1. Nieskończenie długą belkę o stałej sztywności na zginanie, spoczywającą na podłożuy sprężystym, obciążono obciążeniem ciągłym q₀ i momentem M₀. Wyznaczyć równanie ugiętej osi belki i zapisać warunki brzegowe.

Analogicznie, jak w przypadku zadania poprzedniego rozwiązanie R.R, będące równaniem osi ugięcia, będzie postaci:

y = e^{− ∝ x} (C₃cos∝x+C₄sin∝x)+y_sz

Z tą różnicą, że całka szczególna, z racji iż belka obciążona jest obciążeniem ciągłym, będzie równa:

$$y_{\text{sz}} = \frac{q}{k}$$

Więc, rozwiązanie będzie postaci:

$$y = e^{- \propto x\ }\left( C_{3}cos \propto x + C_{4}sin \propto x \right) + \frac{q}{k}$$

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} dla\ x = 0\ \ M\left( x \right) = - M_{0} \\ dla\ x = 0\ \ q\left( x \right) = q_{r}\left( x \right)\text{\ q}\left( x \right) - ky = 0\ \frac{d^{4}y}{dx^{4}} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ $$

Drugi warunek brzegowy wynika z zależności

$$\frac{d^{4}y}{dx^{4}} = \frac{q\left( x \right) + q_{r}(x)}{\text{EI}}$$

Aby podstawić powyższe warunki brzegowe należy przeprowadzić czterokrotne różniczkowanie równania ugięcia osi belki:

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = - \propto e^{- \propto x\ }\left( C_{3}cos \propto x + C_{4}sin \propto x \right) + e^{- \propto x\ }\left( {- C}_{3} \propto sin \propto x + C_{4} \propto cos \propto x \right)$$

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = {2 \propto}^{2}e^{- \propto x\ }(C_{3}sin \propto x - C_{4}cos \propto x)$$

$$\frac{d^{3}y}{dx^{3}} = 2 \propto^{3}e^{- \propto x\ }\lbrack(C_{4} - C_{3})C_{4}sin \propto x + (C_{4} + C_{3})C_{3}cos \propto x$$

$$\frac{d^{4}y}{dx^{4}} = - 4 \propto^{4}e^{- \propto x\ }\left( C_{3}cos \propto x + C_{4}sin \propto x \right)$$

Podstawiając warunki brzegowe, otrzymujemy:

$$\left\{ \begin{matrix} - EI\ {2 \propto}^{2}e^{- \propto 0\ }\left( C_{3}sin \propto 0 - C_{4}cos \propto 0 \right) = - M_{0} \\ \text{EI\ }\left( - 4 \propto^{4}e^{- \propto 0\ }\left( C_{3}cos \propto 0 + C_{4}sin \propto 0 \right) \right) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} C_{4} = \frac{M_{0}}{- 2 \propto^{2}\text{EI}} \\ C_{3} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ostatecznie, równanie ugięcia osi belki przyjmie postać:

$$y = e^{- \propto x\ }\left( \frac{M_{0}}{- 2 \propto^{2}\text{EI}}sin \propto x \right) + \frac{q}{k}$$