Temat: Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia

1. Teoria

Pod działaniem sił zewnętrznych ciała ulegają odkształceniom, tzn. zmieniają swój kształt i swoje wymiary. Zmianę odległości międzycząsteczkowych powoduje siła odkształcająca, której przeciwstawiają się siły wewnętrzne. Wypadkowa tych sił w pewnym zakresie, zwanym zakresem sprężystości, jest proporcjonalna do makroskopowych zmian wymiarów ciała.

Odkształcenia sprężyste są nietrwałe i znikają gdy przestają działać siły zewnętrzne, ciało powraca do pierwotnego kształtu i objętości. Po przekroczeniu granicy sprężystości odkształcenia są trwałe i utrzymują się po zaprzestaniu działania sił zewnętrznych. W zakresie sprężystym zjawisko odkształcenia ujmuje ilościowo prawo Hooke`a opisane wzorem:

	p = k * α	(1)

Gdzie:

p – naprężenie (ciśnienie),

α - odkształcenie względne,

K – współczynnik proporcjonalności zw. modułem sprężystości (wielkość stała dla danego rodzaju materiał).

Najprostsze odkształcenie wywołane jest podłużnym rozciąganiem lub jednostronnym ściskaniem. Moduł sprężystości tym wypadku jest modułem Younga i oznaczamy symbolem E. Dla odkształcenia (rozciąganie ściskanie) prawo Hooke`a można zapisać w postaci:

	$$\frac{F_{n}}{S} = E\ \frac{L}{L}$$	(2)

Gdzie:

S – jest przekrojem poprzecznym pręta,

L – zmianą długości pręta, wywołaną działaniem siły F_n

L – długością pręta w przypadku braku działania sił zewnętrznych.

Moduł Younga E można określić jako wielkość liczbowo równą naprężeniu, które wywołałoby względną zmianę długości równą 1.W rzeczywistości większość materiałów ulega zerwaniu przy wydłużeniach znacznie mniejszych i dlatego nie osiąga się naprężeń równych liczbowo modułowi Younga.

W przypadku grubych korzysta się z efektu zginania - odkształcenia o charakterze złożonym, którego miarą jest tzw. strzałka ugięcia s. Dokładna analiza matematyczna ujmuje związek między E i s w postaci zależności:

	$$E = \frac{F*I^{3}}{3SI_{S}}$$	(3)

Gdzie: I_S - jest to powierzchniowy moment bezwładności

1. Tabele pomiarów

Rodzaj pręta [nr]	Numer pomiaru [nr]	Długość pręta l [mm]	Wartość średnia długości l [mm]	Wysokość h [mm]	Wartość średnia wysokości h [mm]	Szerokość a [mm]	Wartość średnia szerokości a [mm]
1	1. 2. 3.	1048 1047 1048	1048	10 9 10	10	8 8 8	8
2	1. 2. 3.	1004 1005 1003	1004	8 8 9	8	8 8 7	8

Numer pręta	Numer pomiaru	Obciążenie P [N]	Strzałka ugięcia [mm * 10^−2]	Stosunek	Moduł E [GPs]
			dociążanie	odciążanie
1.	1	0,49	3,9	7,2	8829
	2	0,98	9,8	11,9	9032
	3	1,47	14,9	18,9	8698
	4	1,96	20	23,9	8929
	5	2,45	26	30,3	8703
	6	2,94	31,7	35,4	8763
	7	3,43	37,3	41,6	8695
	8	3,92	42,8	47,3	8701
	9	4,41	49,8	53	8579
	10	4,9	54,6	54,6	8974
2.	1	0,49	11,9	42,3	180,8
	2	0,98	40,6	71,6	174,7
	3	1,47	69,9	101,6	171,4
	4	1,96	101	129,4	170,1
	5	2,45	131,6	161,2	167,3
	6	2,94	163,2	190,2	166,4
	7	3,43	190,9	216	168,6
	8	3,92	219,6	248,1	167,6
	9	4,41	251,6	277,9	166,6
	10	4,9	282,7	282,7	173,3

1. Obliczenia

Moduł Younga: Strzałka ugięcia:

Dla pierwszego pręta:

$E_{1} = 3,22*10^{11}\lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack$

Dla drugiego pręta:

$$E_{2} = 1,76*10^{11}\lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack$$

1. Analiza błędów

Średni arytmetyczny błąd stosunku$\ \frac{P}{H}\ $:

	$$\left( \frac{P}{H} \right) = \frac{\sum_{i = 1}^{6}{(\frac{P}{H})i}}{6}\text{\ \ }$$	(4)

Dla pierwszego pręta:

$$\left( \frac{P}{H} \right) = \frac{- 38,7 - 241,7 + 92,3 - 138,7 + 87,3 + 27,3 + 95,3 + 89,3 + 211,3 - 183,7}{6} = 0$$

Dla drugiego pręta:

$$\left( \frac{P}{H} \right) = \frac{- 10,12 - 4,02 - 0,72 + 0,58 + 3,38 + 4,28 + 2,08 + 3,08 + 4,08 - 2,6}{6} = 0,002$$

1. Wnioski

Wyznaczony moduł Younga, kolejno dla każdego pręta wynosi:

$$E_{1} = 3,22*10^{11}\lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack$$

$${\backslash t\ \ \ \ \ \ \ E}_{2} = 1,76*10^{11}\lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack$$

Wielkości modułu Younga zmierzone dla poszczególnych prętów wskazują na to, że były wykonane one ze stali.

Błędy mogą wynikać w dużej mierze z powodu:

1. z niedokładności punktu 0 na śrubie mikrometrycznej;

2. ze wstrząsów pochodzenia zewnętrznego;

3. z niedokładności odczytu przyrządów;

4. z powodu niedoskonałości wycechowania odważników;

5. zaokrąglenia poszczególnych wartości.