Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki, Politechnika Łódzka

M5

Badanie dwuwymiarowych modów drgań
metodą figur Chladniego

Wymagania teoretyczne:

•

pojęcie fali mechanicznej,

•

równanie fali,

•

klasyfikacje i własności fal,

•

prędkość rozchodzenia,

•

zjawiska falowe,

•

fala stojąca – warunki powstawania w przypadku jednowymiarowym.

Wstęp

Wzbudzając do drgań jednowymiarowy ośrodek sprężysty (np. słup powietrza zamknięty w rurze) możemy,
poprzez odpowiedni dobór częstotliwości sygnału zaburzającego, wytworzyć w owym ośrodku tzw. falę
stojącą. Mówimy wówczas, że ośrodek został pobudzony rezonansowo, zaś częstotliwość, przy której to
następuje określamy mianem częstotliwości rezonansowej lub własnej układu – mówi się też, że w ośrodku
doszło do wzbudzenia pewnego tzw. modu drgań. Ośrodek, w którym powstała fala stojąca, charakteryzuje się
tym, że amplituda w pewnych jego punktach zwanych węzłami wynosi zawsze zero, a same węzły
rozmieszczone są wzdłuż niego równomiernie. Falę stojącą powstającą w słupie powietrza można wizualizować
z wykorzystaniem dobrze znanej ze szkolnych eksperymentów tzw. rury Kundta.
Znacznie ciekawszy, choć bez porównania trudniejszy w opisie matematycznym, jest przypadek rozchodzenia
się fal w ośrodku dwuwymiarowym (np. w metalowych płytach, o różnych kształtach, pobudzanych do drgań
smyczkiem przez przeciąganie go po ich krawędzi). Częstotliwościom rezonansowym towarzyszy tym razem
pojawianie się w ośrodku bardzo niekiedy skomplikowanych układów linii węzłowych (w miejsce punktów
węzłowych z ośrodka jednowymiarowego). Rozkład owych linii zależy jak się okazuje nie tylko od
częstotliwości rezonansowej, ale również np. od grubości płytki, jej gęstości, miejsca „dostarczania” drgań itpd.
Metodę obrazowania drgań własnych metalowych płyt pobudzanych smyczkiem (napiętą struną) opracował w
1787 roku, uważany za „ojca duchowego” akustyki, pochodzący z Saksonii Ernest Florens Friedrich Chladni.
Rozsypując drobnoziarnisty piasek na powierzchni wzbudzonej rezonansowo płyty uzyskiwał oryginalne wzory
linii węzłowych, które to wzory „namiętnie” katalogował i poddawał próbom klasyfikacji.
Pokazy swoich doświadczeń przeprowadzał Chladni w wielu ówczesnych „instytucjach” naukowych
wzbudzając zachwyt widzów, w tym również koronowanych głów (m.in. samego Napoleona, który osobiście
zlecił prowadzenie dalszych badań zmierzających do matematycznego zinterpretowania „figur” Chladniego)

Eksperyment przeprowadzany w naszej pracowni stanowi powtórzenie eksperymentów Chladniego, przy czym
do pobudzania metalowych płyt wykorzystuje się specjalnej konstrukcji głośnik wibrujący z częstościami
akustycznymi, co gwarantuje większą stabilność i powtarzalność obserwowanych obrazów.

Opis układu pomiarowego

Zestaw do obserwacji figur Chladniego składa się z następujących komponentów:

•

generator/wzmacniacz częstości akustycznych

•

wzbudnica fal mechanicznych

(sterowana generatorem) będąca w istocie głośnikiem, z którego

membrany drgania są odbierane za pośrednictwem specjalnej przystawki zakończonej otworem
dopasowanym do wtyków „bananowych”

•

metalowe płyty

(aktualnie dostępne kołowa i kwadratowa) mocowane poprzez wtyk „bananowy” do

wzbudnika

•

przypominający solniczkę

dozownik piasku

•

przezroczysta osłona akustyczna

służąca do przykrywania badanej płyty wraz ze wzbudnikiem (u jej

spodu znajduje się wycięcie umożliwiające przełożenie przewodów sterujących wzbudnikiem)

•

całość (poza generatorem) ustawiona jest w płytkim

pojemniku/kuwecie

zabezpieczającym przed

rozsypywaniem się piasku

W toku eksperymentu metalowa tarcza zamocowana do wzbudnika jest wprawiana w drgania rezonansowe
poprzez ustawienie odpowiedniej częstotliwości. Osiągnięciu stanu rezonansu towarzyszy silny wzrost
natężenia emitowanego dźwięku. Jeśli drgającą rezonansowo tarczę posypiemy piskiem wówczas zostanie on
zrzucony z drgających jej fragmentów i zatrzyma się na liniach węzłowych. Należy zaznaczyć, że wzory
uzyskiwane dla poszczególnych częstości własnych są niepowtarzalne, choć można zaobserwować pewne
prawidłowości.

Eksperyment – wariant 1

UWAGA !!!
Wzbudnica fal mechanicznych wyposażona jest w blokadę ramienia przenoszącego drgania membrany.
Przemieszczanie wzbudnicy, zakładanie bądź zdejmowanie tarczy może się odbywać jedynie w pozycji
zablokowanej (LOCK).
Aby umożliwić zablokowania ramienia obciążonego tarczą należy delikatnie popchnąć tę ostatnią do góry
(milimetry!!!).
W razie jakichkolwiek trudności poprosić prowadzącego lub dyżurnego specjalistę o pomoc.

1. Umocować wybraną tarczę do ramienia wzbudnicy wciskając końcówkę „bananową” w widoczny w jej

ramieniu otwór.

2. Posypać równomiernie powierzchnię tarczy piaskiem (posłużyć się „solniczką”).
3. Odblokować ramię wzbudnicy (pozycja UNLOCK)
4. Przykryć tarczę wraz ze wzbudnicą osłoną akustyczną tak aby nie dotykała ona tarczy a przewody

sterujące głośnikiem wzbudnicy przechodziły przez nacięcie w dolnej części osłony.

5. Upewnić się, że pokrętło AMPLITUDE generatora znajduje się w pozycji MIN.
6. Włączyć generator (przycisk z tyłu urządzenia). Nie zmieniać zakresu ani typu oscylacji, chyba że

prowadzący zadysponuje inaczej. Na ekranie ciekłokrystalicznym wyświetlana jest wartość nastawionej
częstotliwości. Do jej zmiany służy pokrętło ADJUST. Można nim kręcić w obie strony. Powolne
obracanie powoduje równie powolne zmiany częstotliwości. Gwałtowny obrót nawet o ten sam kąt da w
efekcie zmianę silniejszą.

7. Przeczesać wskazany przez prowadzącego zakres częstotliwości w poszukiwaniu modów drgań

własnych tarczy. W tym celu ustawić pokrętło amplitudowe między MIN i MAX a następnie zmieniać
powolnie częstotliwość sygnału sterującego wzbudnicą aż do wystąpienia wyraźnego wzmocnienia
dźwięku. Bezładnie do tej pory rozsypany po całej tarczy piasek zacznie wyraźnie drgać i zsunie się do
pozycji węzłowych.

8. Zanotować częstotliwość i przerysować lub sfotografować otrzymany „piaskowy” obraz.
9. Powtórzyć eksperyment dla drugiej tarczy (OPCJONALNIE)
10. Zsypać piasek z tarczy na podstawę, a z niej poprzez lejek ponownie do „solniczki”.

UWAGA!!!
Maksima rezonansowe są bardzo wąskie, zatem zmiany częstotliwości muszą się odbywać płynnie i powoli.

Opracowanie sprawozdania

W sprawozdaniu powinny znaleźć się obrazy figur Chladniego wraz z częstotliwościami, przy których je
uzyskano.
Należy zastanowić się, czy kształty tych figur podlegają jakimś prawidłowościom – jakim?
Można pokusić się o próbę pogrupowania obrazów w pewne kategorie – czy występują tu jakieś korelacje
częstotliwościowe?

Eksperyment – wariant 2 – sprawdzanie prawa Chladniego

Postępując jak w wariancie 1 przebadać tarczę kołową pod kątem występowania figur w postaci układów
koncentrycznych okręgów – zakres częstotliwości od ok.100Hz do 10kHz.

Prawo Chladniego

Figury Chladniego otrzymywane w przypadku tarczy kołowej można w większości zaklasyfikować do jednej z
trzech poniższych kategorii:

1. mody średnicowe (m=4, m=6, m=8)

2. mody radialne (n=2, n=3, n=4, n=5)

3. mody mieszane (2,2), (4,2), (6,2), (2,3), itd.

Szczególnie łatwe do zaobserwowania i zidentyfikowania są mody radialne.
Zgodnie z sugestią Chladniego częstotliwości, przy jakich otrzymuje się powyższe mody powinny być
proporcjonalne do (m+2n)

2

, gdzie m jest podwojoną liczbą średnic, zaś n liczbą pól, na jakie tarcza jest

podzielona przez powstałe okręgi węzłowe (tj. liczba okręgów + 1). Dla przypadku czystych modów radialnych
prawo Chladniego przyjmie zatem postać:

2

0

)

2

( n

f

f

⋅

=

gdzie f

0

to pewna charakterystyczna częstotliwość pełniąca rolę współczynnika proporcjonalności.

Opracowanie wyników

Na podstawie otrzymanych w toku eksperymentu danych dotyczących modów radialnych sporządzić wykres
zależności częstotliwości rezonansowej f od (2n)

2

.

Obliczyć metodą najmniejszych kwadratów współczynnik f

0

w prawie Chladniego (jest to jednocześnie

współczynnik kierunkowy prostej reprezentującej naniesiony na wykres układ punktów).
Obliczyć błąd

∆

f

0

oraz współczynnik korelacji (bliska 1 wartość współczynnika korelacji będzie stanowić

potwierdzenie słuszności prawa Chladniego dla badanego przypadku).
Wynik końcowy podać w postaci f

0

±

∆

f

0

.