MATEMATYKA – ĆWICZENIA.

Ćwiczenia z dnia 21.01 i 22.01.2011 r.

Macierz to takie odwzorowanie, które każdej parze liczb naturalnych przyporządkowuje każdej parze liczb dokładnie jedną parę liczb rzeczywistych.

Macierz zapisujemy w postaci uporządkowanej tablicy o m-w małych wierszach i n- kolumnach tak aby na przecięciu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny umieszczony był element aij.

Zapis:

A_{m x n} = [ aij ] _{m x n} =

Przykład.

Macierz B opisuje stan zaopatrzenia w danym dniu 4 sklepów o tym samym asortymencie towarów.

Wiersz takiej macierzy opisuje stan zaopatrzenia danego sklepu, kolumna opisuje stan danego artykułu w danym sklepie. Zinterpretuj:

a₁₄ – w I sklepie występuje w danym dniu są 3 jednostki czwartego towaru.

a₄₅ – w IV sklepie skończyły się zapasy 5 towaru

a₂₁ – w II sklepie brakuje 2 jednostek 1 towaru

Rodzaje macierzy:

1. Ze względu na wymiar.

• Macierz jednowierszowa

np.

• Macierz jednokolumnowa

np.

• Macierz prostokątna

np.

• Macierz kwadratowa, gdy m = n

np.

główna przekątna

1. Ze względu na wartość elementów

• Macierz zerowa

np:

• Macierz diagonalna

Macierz kwadratowa w której elementy nie zerowe występują jedynie na głównej przekątnej.

np:

• Macierz jednostkowa

To taka macierz kwadratowa która ma na głównej przekątnej tylko jedynki, pozostałe elementy są zerami.

Działania na macierzach.

1. Transponowanie macierzy.

2. Dodawanie macierzy o elementach.

3. Mnożenie macierzy przez liczbę.

Niech α ϵ R

α ∙ A_{m x n} = B = [bij] _{m x n}

1. Odejmowanie macierzy.

A = [aij] _{m x n} , B = [bij] _{m x n}

A – B = A + (-1) ∙ B

1. Mnożenie macierzy.

Warunek wykonalności mnożenia macierzy.

Iloczyn dwóch macierzy można wyznaczyć tylko wtedy , gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy.

Mnożenie wykonuje się według reguły:

Element Cik jest wynikiem odpowiedniego pomnożenia i- tego wiersza macierzy A przez k tą- kolumnę macierzy B, to znaczy na k- tą kolumnę macierzy B nakładamy i- ty wiersz macierzy A, elementy leżące na sobie mnożymy zaś iloczyn dodajemy.

Przykład.

1. =

(3 x 2) ∙ (2 x 3) = (3 x 3)

(2 x 2) ∙ (2 x 2) = (2 x 2)

(2 x 3) ∙ (2 x 2) = nie wykonalne

Przykład:

Wyznacz a² jeżeli :

Zad. 1

Niech dane będą macierze:

Wykonaj (jeżeli to możliwe) poniższe działania :

1. A + 2B

=

1. A – B^T

2. A + C

Niewykonalne działanie

1. A ∙ C

(2 x 2) ∙ (2 x 3) = (2 x 3)

A ∙ C =

1. A ∙ C^T

Niewykonalne działanie

1. C ∙ D

2. D ∙ C

Niewykonalne działanie

1. (A – B) ∙ C

2. A² ∙ B

3. A ∙ B ∙ C

4. D² ∙ C^T

5. D³

Przekształcenia demonstralne macierzy .

Wyróżniamy 3 typy elementarne macierzy:

1. Przestawienie miejscami dwóch dowolnych wierszy i kolumn

Np.:

1. Pomnożenie wszystkich elementów danego wiersza (kolumny) przez dowolną liczbę ≠ 0 .

Np.:

1. Dodanie do jednego wiersza (kolumn) innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez stałą.

Np.:

Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez użycie przekształceń elementarnych to mówimy, że a i b są macierzami równoważnymi A ~ B

Przekształcenia elementarne macierzy są wykorzystywane do:

• Wyznaczania postaci bazowej (kanonicznej) macierzy

• Do wyznaczania rzędu macierzy

• Wyznaczania macierzy odwrotnej

• Rozwiązywania układów równań liniowych

Postępowanie, które pozwala wyróżnić danej macierzy jej podmacierze lub łączyć macierze tworząc nowe nazywa się tworzeniem macierzy blokowej.

Np.: