Rok i kierunek studiów: I Inżynieria bezpieczeństwa	Imię i nazwisko: Ewa Grzech	Data: 10.05.2012
Numer ćwiczenia: 7	Temat ćwiczenia: Sprawdzenie prawa Steinera	Ocena:

WSTĘP TEORETYCZNY

Ruch punktu materialnego i ruch postępowy układu punktów materialnych opisują równania:

m a = F

i

mu a = Σ Fu

Wynika z nich jednoznacznie, że za zmiany prędkości v w ruchu postępowym odpowiedzialna jest siła F, zaś miarą bezwładności jest masa punktu m lub masa układu mu.

W dynamice ruchu obrotowego bryły sztywnej obowiązują inne zależności. Siła jest warunkiem koniecznym do wystąpienia zmian prędkości kątowej, nie jest to jednak warunek wystarczający - zmiany wywołane działaniem siły zależą nie tylko od jej wartości, lecz także od punktu przyłożenia i kierunku działania.

Zależność zmian prędkości kątowej w ruchu obrotowym od wymienionych czynników uwzględniamy przyjmując, że za zmiany te odpowiedzialna jest nie siła, lecz moment siły względem osi obrotu. Miara bezwładności jest również inna niż w ruchu postępowym. Nie jest nią całkowita masa bryły, lecz tzw. moment bezwładności, wielkość uwzględniająca rozmieszczenie mas poszczególnych części bryły względem osi obrotu.

CEL I WYKONANIE ĆWICZENIA

1. Mierzymy długość cięgna L, promienie R i r i odległość między otworami na dużej tarczy.

2. Ważymy tarczę dużą i walce.

3. Wprowadzamy tarczę dużą w ruch ( drgania skręcające od 8 do 12° ) mierzymy czas trwania 10 kolejnych drgań i wyznaczamy okres T.

4. Wyznaczamy kolejno ze wzoru :

a) moment bezwładności tarczy.

b) moment bezwładności walca Al względem osi środkowej.

c) moment bezwładności walca Fe względem osi środkowej.

d) moment bezwładności walca Fe przesuniętego względem osi środkowej.

5. Sprawdzamy prawo Steinera ze wzoru :

I_o = I_s + m. a²

6. Obliczamy względny błąd pomiaru:

δ = (I doświadczalne - I teoretyczne)/ I doświadczalne 

TABELA POMIARÓW

Masa układu [kg]	Czas trwania 10 drgań [s]	Okres drgań	Wartość średnia okresu [s]
162,55g	20,28	2,028	2,028
	20,34	2,034
	20,34	2,034
	20,44	2,044
	20,35	2,035
	20,35	2,035
	21,06	2,106
	20,44	2,044
	20,38	2,038
	20,37	2,037
206,78g + 162,55g	14,63	1,463	1,463
	14,50	1,450
	14,63	1,463
	14,59	1,459
	14,57	1,457
	14,66	1,466
	14,50	1,450
	14,59	1,459
	14,68	1,468
	14,63	1,463
2 x 78,15g 162,55g	18,13	1,813	1,813
	18,04	1,804
	18,09	1,809
	18,03	1,803
	17,94	1,794
	18,18	1,818
	18,00	1,800
	18,04	1,804
	17,96	1,796
	18,03	1,803

206,78g 2 x 78,15g 162,55g	14,09	1,409	1,409
	14,85	1,485
	15,10	1,510
	14,90	1,490
	14,78	1,478
	14,84	1,484
	14,88	1,488
	14,94	1,494
	14,87	1,487
	14,85	1,485
78,15g 162,55g	17,00	1,700	1,700
	16,75	1,675
	16,85	1,685
	16,88	1,688
	16,84	1,684
	16,88	1,688
	17,10	1,710
	16,90	1,690
	16,87	1,687
	16,92	1,692

Długość nici:

- L₁ = L₂ = L₃ = 58 cm

Promień:

- tarczy większej: R = 15 cm

- tarczy mniejszej: r = 7 cm

Odległość między otworami na dużej tarczy:

- a = 16 cm

Promienie walców:

- aluminiowego: r_Al = 5 cm

- żelaznych: r_Fe =

Masa:

- tarczy: m_t = 162,55 g

- walca aluminiowego: m_Al = 206,78 g

- walca żelaznego: m_Fe = 78,15 g

Niepewności wzorcowania:

Δ_da = Δ_dL = Δ_dR = Δ_dr = 1 mm

Δ_dr_Al = Δ_dr_Fe = 1 mm

Δ_dm =

Δ_dt = 0,01 s

Niepewności eksperymentatora:

Δ_ea = Δ_eL = Δ_eR = Δ_er = 1 mm

Δ_er_Al = Δ_er_Fe = 1 mm

Δ_em =

Δ_et = 0,5 s

OBLICZENIA

Wyznaczanie „doświadczalnych” wartości dla:

1. momentu bezwładności tarczy,

2. momentu bezwładności walca aluminiowego względem osi środkowej,

3. momentu bezwładności walca żelaznego względem osi środkowej,

ze wzorów:

$$\mathbf{I = \ }\frac{\mathbf{\text{mgRr}}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{L}}\mathbf{\ }\mathbf{T}^{\mathbf{2}}$$

Gdzie:

m – masa układu drgającego,

g – przyspieszenia ziemskie g= 9,81 m/s²,

R- promień dużej tarczy

r – promień małej tarczy

L – długości nici

T – okres drgań układu

π = 3,14

I_c=I −  I_t

Gdzie:

I_c – moment bezwładności dowolnego ciała umieszczonego na tarczy względem osi środkowej

I_t – moment bezwładności samej tarczy

1. $I_{t} = \ \frac{0.16255*9,81*0,15\ *0,07}{4\ \pi^{2}*\ 0,58}*{2,028}^{2} = 0,003011\ \lbrack kg*\ m^{2}\rbrack\ $

2. $I_{\text{Al}} = \ \frac{0,36933*9,81*0,15\ *0,07}{4\ \pi^{2}*\ 0,58}*{1,463}^{2} = \ 0,003559705\ \lbrack kg*\ m^{2}\rbrack$

I_c = 0, 003559705 − 0, 003010463 = 0, 000549 [kg *  m²]

1. $I_{\text{Al}} = \ \frac{0,2411*9,81*0,15\ *0,07}{4\ \pi^{2}*\ 0,58}*{1,7}^{2} = \ 0,00313766\ \lbrack kg*\ m^{2}\rbrack$

I_c = 0, 003559705 − 0, 00313766 = 0, 000422 [kg *  m²]

„Doświadczalną” metodą obliczanie wartości momentu bezwładności walca żelaznego, przesuniętego względem osi środkowej, ze wzorów:

I =  I₀+ma²

$$\mathbf{I}_{\mathbf{c}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{I - \ }\mathbf{I}_{\mathbf{t}}}{\mathbf{2}}$$

I =  0, 078 + 0, 078 *  0, 16² = 0, 079997 [kg *  m²] 

$$I_{c} = \frac{0,079997 - 0,003010463}{2} = 0,0385\ \ \lbrack kg*\ m^{2}\rbrack\ \ \ $$

Obliczanie wartości teoretycznej dla:

1. momentu bezwładności tarczy,

2. momentu bezwładności walca aluminiowego względem osi środkowej,

3. momentu bezwładności walca żelaznego względem osi środkowej,

ze wzorów:

I =  I₀+ma²

I₀=mr²

$$\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$$

1. I_t  = 0, 1625 *  0, 15² = 0, 00366 [kg *  m²] 

2. $I_{\text{Al}} = \frac{0,2068*{0,05}^{2}}{2} = 0,000259\ \lbrack kg*\ m^{2}\rbrack\ \ $

3. $A_{\text{Fe}} = \frac{0,0782*{0,02}^{2}}{2} = 0,000016\ \lbrack kg*\ m^{2}\rbrack\ $

Porównanie wartości doświadczalnych z wartościami teoretycznymi oraz obliczenie niepewności pomiarowej ze wzoru:

$$\mathbf{\delta = \ }\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{doswiadczalne}}\mathbf{- \ }\mathbf{I}_{\mathbf{\text{teoretyczne}}}}{\mathbf{I}_{\mathbf{\text{teoretyczne}}}}$$

Układ	Wartość doświadczalna	Wartość Teoretyczna	Niepewność pomiarowa
Tarcza	0, 003011	0, 00366	0,01
Walec żelazny względem osi środkowej	0, 000549	0, 000259	0,13
Walec aluminiowy względem osi środkowej	0, 000422	0, 000016	0,26

WNIOSKI
Porównując wyniki otrzymane podczas ćwiczenia z wynikami otrzymanymi sprawdzając prawo Steinera widać, że różnią się od siebie. Różnice między nimi mogą wynikać z niedokładności przeprowadzonych pomiarów, przede wszystkim czasu oraz długości niektórych elementów zestawu.