Wydział mechaniczny I rok	Amadeusz Sobczak	26.02.2013r.
Ćw. Nr. 7	Sprawdzenie prawa Steinera

1. Wstęp teoretyczny

• Opis zestawu doświadczalnego i rola poszczególnych elementów

Celem doświadczenia było sprawdzenie prawa Steinera. Prawo to mówi, że moment bezwładności ciała I względem dowolnej osi obrotu równa się sumie momentu bezwładności względem równoległej do niej osi środkowej I₀ oraz iloczynu masy ciała m i kwadratu odległości wzajemnych a tych osi: I = I₀ + ma². W doświadczeniu posłużono się specjalnym zestawem pomiarowym, w którym zmierzono długości trzech nici, promień dużej i małej tarczy, odległość między otworami na dużej tarczy, promienie walców: aluminiowego, i żelaznych. Ponadto wyznaczono masę dużej tarczy oraz walców: aluminiowego i żelaznych. Wprawiono układ w drgania i zmierzono czas 10 drgań. Pomiar powtórzono dla każdego rozkładu masy dziesięciokrotnie. Uzupełniono tabelę pomiarów, dokonano obliczenia i opracowano wyniki.

• Wyprowadzenie wzoru.

Zgodnie z II zasadą dynamiki, jeśli na ciało o masie m działa stała, niezrównoważona siła F to ciało porusza się z przyspieszeniem a a= $\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{m}}$ W przypadku ruchu obrotowego zasada ta ma postać : ε = $\frac{\mathbf{M}}{\mathbf{I}}$, gdzie: ε to przyspieszenie kątowe,

M to wypadkowy moment siły,

I to moment bezwładności.

W przypadku punktu materialnego o masie m jego moment bezwładności względem punktu O to iloczyn masy m, punktu i kwadratu odległości punktu materialnego od punktu O

I = mr²,

Dla bryły sztywnej momentem bezwładności względem danej osi obrotu jest suma iloczynów poszczególnych jej części m_i przez kwadraty ich odległości od osi obrotu N_i : I =$\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{m}_{\mathbf{i}}{\mathbf{r}_{\mathbf{i}}}^{\mathbf{2}}}$ , I =∫r²dm

Istnieje zależność między momentem bezwładności ciała względem dowolnej osi, równoległej do osi środkowej, a momentem bezwładności względem osi środkowej. Zależność ta to prawo Steinera : I = I₀ + ma²

W doświadczeniu wykorzystano wzór na moment bezwładności układu: I = $\frac{\mathbf{\text{mgRr}}}{{\mathbf{4}\mathbf{\pi}}^{\mathbf{2\ \ \ L}}}\mathbf{\ }\mathbf{T}^{\mathbf{2}}$, gdzie:

m – masa układu drgającego

g – przyspieszenie ziemskie

R – promień tarczy zawieszonej na trzech symetrycznie rozmieszczonych niciach

r – promień tarczy małej

L – długość nici

T – okres drgań układu.

Moment bezwładności dowolnego ciała umieszczonego na tarczy I_C względem osi środkowej tarczy obliczamy ze wzoru: I_C = I + I_t

By wyznaczyć moment bezwładności ciała względem osi przesuniętej w stosunku do osi środkowej należy dwa jednakowe walce umieścić symetrycznie względem osi środkowej tarczy i skorzystać ze wzoru: I_C = $\frac{\mathbf{I - \ }\mathbf{I}_{\mathbf{t}}}{\mathbf{2}}$ lub I_C = $\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{I}}\mathbf{-}\mathbf{I}_{\mathbf{t + Al}}}{\mathbf{2}}$.

2. Dokonanie pomiarów

Długość nici L₁ = 56,8 cm

L₂ = 56,8 cm L_śr.= 56,76cm = 0,568m

L₃ = 56,7 cm

Promień tarczy dużej R: 14,9 cm = 0,149m

Promień tarczy małej r: 6,7 cm = 0,067m

Odległość a między otworami na dużej tarczy: 15,5 cm = 0,155m

Promień walca aluminiowego r_Al : 5 cm = 0,05m

Promień walca żelaznego r_Fe : 2 cm = 0,02m

Masa dużej tarczy m_t : 162,65g = 0,16265kg

Masa walca m_{Al :} 206,88g = 0,20688kg

Masa walca m_Fe : 78,20g = 0,0782kg

Niepewności pomiarowe:

_dm= 0,1g = 0,0001 kg

_em= 0,2g = 0,0002 kg

_dr = _dR = _dL = 0,1cm = 0,001m

Δer = ΔeR = ΔeL = 0,2 [cm] = 0,002 [m]

ΔdrAl = ΔdrFe = 0,05 [mm] = 0,00005 [m]

ΔerAl = ΔerFe = 1 [mm] = 0,001 [m]

Δ_dt = 0,01 [s] Δ_dT = 0,001 [s]

Δ_et = 0,4 [s] Δ_eT = 0,04 [s]

$u\left( T \right) = \sqrt{\frac{{(0,001)}^{2} + {(0,04)}^{2}}{3}} \approx 0,023\ $[s]

3. Obliczenia

a) Obliczono okres T ze wzoru: T = $\frac{t}{10}$

np. czas trwania 10 drgań wynosi 16,72 T= $\frac{16,72}{10}$ = 1.672 [s]

b) Obliczono średnią wartość okresu T_śr.= $\frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n}T_{i}$

np. T_śr. = $\frac{1,672 + 1,632 + 1,631 + 1,662 + 1,638 + 1,650 + 1,702 + 1,666 + 1,700 + 1,668\ }{10}$ = 1,6621 [s]

c) Obliczono doświadczalne wartości momentów bezwładności ze wzoru:

I=$\frac{\text{mgRr}}{4\pi^{2}L}T^{2}$ I=$\left\lbrack \frac{kg \bullet \frac{m}{s^{2}}\ \bullet m \bullet m}{m}\ \bullet \ s^{2} \right\rbrack$=[kg • m²]

gdzie:

m – masa układu drgającego,

g – przyspieszenia ziemskie g= 9,81 m/s²,

R- promień dużej tarczy

r – promień małej tarczy

L – długości nici

T – okres drgań układu

π = 3,14

4

• moment bezwładności tarczy:

m_t = 0,16265kg

I_t =$\frac{0,16265\ \bullet 9,81\ \bullet \ 0,149\ \bullet 0,067\ }{4\ \bullet {(3,14\ )}^{2}\ \bullet 0,568}$ • (1, 672)²= $\frac{0,015929}{22,4010}$ • 2,795= 0,0019 [kg•m²]

• moment bezwładności tarczy i walca Fe :

m_t + m_Fe = 0,16265kg + 0,0782kg = 0,24085kg

I₂= $\frac{0,24085\ \bullet 9,81\ \bullet \ 0,149\ \bullet 0,067}{4\ \bullet ({3,14\ )}^{2}\ \bullet 0,568} \bullet ({1,397\mathbf{)}}^{2}$= $\frac{0,023587}{22,4010}$ •1,951 =0, 0020 [kg•m²]

I_C = I - I_t = I_Fe –I_t = 0,0020 – 0,0019 = 0,0001[kg•m²]

• moment bezwładności tarczy i walca Al :

m_t + m_Al = 0,16265kg + 0,20688kg = 0,36953kg

I_Al = $\frac{0,36953\ \bullet 9,81\ \bullet \ 0,149\ \bullet 0,067}{4\ \bullet ({3,14\ )}^{2}\ \bullet 0,568} \bullet ({1,178\mathbf{)}}^{2}$=$\ \frac{0,036189}{22,4010} \bullet 1,387$ =0, 0022 [kg•m²]

I_C = I - I_t = I_Al – I_t = 0,0022 – 0,0019 = 0,0003[kg•m²]

• moment bezwładności walca żelaznego przesuniętego względem osi środkowej:

m_t + 2m_Fe = 0,16265kg + 0,1564kg = 0,31905kg

I_t+2Fe =$\frac{0,31905\ \bullet 9,81\ \bullet 0,149\ \bullet 0,067}{4\ \bullet ({3,14\ )}^{2}\ \bullet 0,568}\ \bullet ({1,644)}^{2}$= $\frac{0,031245}{22,4010}$ • 2,702 = 0,00376[kg•m² ]

I_C = $\frac{I - \ I_{t}}{2}$ = $\frac{I_{t + 2Fe} - I_{t}}{2}$ = $\frac{0,00376 - 0,0019}{2}$ = 0,00093[kg•m²]

5

• Moment bezwładności tarczy, 2 walców Fe i walca Al :

m_t +2 m_Fe + m_Al = 0,16265kg + 0,1564kg + 0,20688kg = 0,52593kg

I_t+2Fe+Al = $\frac{0,52593\ \bullet 9,81\ \bullet 0,149\ \bullet 0,067}{4\ \bullet ({3,14\ )}^{2} \bullet 0,568}$ • (1, 250) ²= $\frac{0,051506}{22,4010}$ • 1,5625 = 0,0035[kg•m²]

I_C = I - I_t = I_t+2Fe+Al – I_t = 0,0035 – 0,0019 = 0,0016[kg•m²]

d) Obliczono teoretyczne wartości momentów bezwładności ze wzorów:

I = I₀ + ma², I₀ = $\frac{\text{mr}^{2}}{2}$ a = 0,155m 1/2a = 0,08m

• Moment bezwładności tarczy I_t = $\frac{{0,16265 \bullet (0,149)}^{2}}{2}$ = 0,0018 [kg•m²]

• Moment bezwładności walca aluminiowego

I_Al = $\frac{{0,20688 \bullet (0,05014)}^{2}}{2}$ = 0,00026 [kg•m²]

• Moment bezwładności walca żelaznego

I_Fe = $\frac{{0,0782 \bullet (0,01957)}^{2}}{2}$ = 0,000149 [kg•m²]

• Moment bezwładności walca żelaznego przesuniętego względem osi środkowej

I₀ = 0,0000149 [kg·m²] I = I₀ + ma²

I = 0,000149 + 0,0782 · (0,08)² = 0,000649 [kg· m²]

• Moment bezwładności 2 walców żelaznych i walca aluminiowego

I₀ = 2•I_Fe + I_Al = 2 • 0,000649 + 0,00026 = 0,00156 [kg•m²]

I = I₀ + ma² = 0,00156 + 0,0782 • (0,08)² = 0,00206 [kg•m²]

6

• Porównanie wartości doświadczalnych z teoretycznymi:

Moment bezwładności	Wartość doświadczalna [kg•m^2]	Wartość teoretyczna [kg•m^2]
It	0,0019	0,0018
IAl	0,0003	0,00026
IFe	0,0001	0,000149
I2Fe	0,00093	0,000649
I2Fe+Al	0,0016	0,00206

a) Obliczono względną niepewność pomiarową ze wzoru:

$\delta = \ \frac{\left| I_{doswiadczalne\ } - I_{\text{teoretyczne}} \right|}{I_{\text{teoretyczne}}}$ * 100%

δ_t = $\frac{\left| 0,0019 - 0,0018 \right|}{0,0018}$ * 100% = 0,056 * 100% = 5,6%

δ_Al = $\frac{\left| 0,0003 - 0,00026 \right|}{0,00026}$ * 100% = 0,153 * 100% = 15,3%

δ_Fe = $\frac{\left| 0,0001 - 0,000149 \right|}{0,000149}$ * 100% = 0,32 * 100% = 32%

δ_2Fe = $\frac{\left| 0,00093 - 0,000649 \right|}{0,000649}$ * 100% = 0,43 * 100% = 43%

δ_2Fe + Al = $\frac{\left| 0,0016 - 0,00206 \right|}{0,00206}$ * 100% = 0,22 * 100% = 22%

7

b) Obliczono niepewność pomiarową zgodnie z regułami dla pomiarów pośrednich nieskorelowanych funkcji wielu zmiennych.

$U\left( m_{t} \right) = \sqrt{\frac{{(_{d}m)}^{2} + {(_{e}m)}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{{(0,0001)}^{2} + {(0,0002)}^{2}}{3}} \approx 0,00013$[kg]

$U\left( R \right) = U\left( r \right) = U\left( L \right) = \sqrt{\frac{{(0,001)}^{2} + {(0,002)}^{2}}{3}} \approx 0,0013$[kg]

$U\left( T_{t} \right) = \sqrt{\frac{{(0,2)}^{2} + {(0,4)}^{2}}{3}} \approx 0,258\ $[kg]

U_c(I_t) = $\sqrt{\left\lbrack \frac{{\partial I}_{t}}{{\partial m}_{t}}\ \bullet {U(m}_{t}) \right\rbrack^{2} + \ \left\lbrack \frac{{\partial I}_{t}}{\partial R}\ \bullet U\left( R \right) \right\rbrack^{2} + \ \left\lbrack \frac{{\partial I}_{T}}{\partial r}\ \bullet U\left( r \right) \right\rbrack^{2} +}\sqrt{\left\lbrack \frac{{\partial I}_{t}}{\partial L}\ \bullet U(L) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{{\partial I}_{t}}{{\partial T}_{t}}\ \bullet U(T_{t})\ \right\rbrack^{2}\ }$

$$U_{c}\left( I_{t} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial I_{t}}{\partial m_{t}} \bullet U\left( m_{t} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial I_{t}}{\partial R} \bullet U\left( R \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial I_{t}}{\partial r} \bullet U\left( r \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial I_{t}}{\partial L} \bullet U\left( L \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial I_{t}}{\partial T_{t}} \bullet U\left( T_{t} \right) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{\text{gRr}T_{t}^{2}}{4\pi^{2}L} \bullet U\left( m_{t} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{m_{t}\text{gr}T_{t}^{2}}{4\pi^{2}L} \bullet U\left( R \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{- m_{t}\text{gRr}T_{t}^{2}}{2\pi^{3}L^{2}} \bullet U\left( L \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{{2m}_{t}\text{gRr}T_{t}}{4\pi^{2}L} \bullet U\left( T_{t} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{m_{t}\text{gR}T_{t}^{2}}{4\pi^{2}L} \bullet U\left( r \right) \right\rbrack^{2}}$$

=$\sqrt{\begin{matrix} \left\lbrack \frac{9,81 \bullet 0,149 \bullet 0,067 \bullet \left( 1,677 \right)^{2}}{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,568} \bullet 0,00013 \right\rbrack^{2} + \ \left\lbrack \frac{9,81 \bullet 0,067 \bullet 0,16265 \bullet {1,677}^{2}}{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,568} \bullet 0,0013 \right\rbrack^{2} \\ + \left\lbrack \frac{- 0,16265 \bullet 9,81 \bullet 0,149 \bullet \left( 1,677 \right)^{2}}{2 \bullet \left( 3,14 \right)^{3} \bullet \left( 0,568 \right)^{2}} \bullet 0,0013 \right\rbrack^{2} \\ + \ \left\lbrack \frac{2 \bullet 0,16265 \bullet 9,81 \bullet 0,149 \bullet 0,067 \bullet 1,677}{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,568} \bullet 0,258 \right\rbrack^{2}\ + \left\lbrack \frac{0,16265 \bullet 9,81 \bullet 0,149 \bullet 0,067 \bullet \left( 1,677 \right)^{2}}{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,568} \bullet 0,0013 \right\rbrack^{2}\ \\ \end{matrix}}$

= $\sqrt{\begin{matrix} \left( \frac{0,275}{22,4010} \bullet 0,00013 \right)^{2} + \left( \frac{0,3006}{22,4010} \bullet 0,0013 \right)^{2} + \left( \frac{- 0,0448}{19,976} \bullet 0,0013 \right)^{2} \\ + \left( \frac{0,0534}{22,4010} \bullet 0,258 \right)^{2} + \left( \frac{0,668}{22,4010} \bullet 0,0013 \right)^{2} \\ \end{matrix}}$=

= $\sqrt{{2,5281}^{- 12} + {3,0432}^{- 10} + {8,1967}^{- 12} + {37,8225}^{- 8} + {15,023}^{- 10}}$ ≈0,000616[kg•m²]

5. Wniosek

Celem doświadczenia było wyznaczenie momentów bezwładności walców: aluminiowego i żelaznych oraz sprawdzenie prawa Steinera. Można było zaobserwować, że na szybkość drgań miała wpływ waga układu, im była ona większa tym drgania harmoniczne były szybsze.

Wyniki zamieszczono w tabeli.

Moment bezwładności	Wartość doświad -czalna [kg•m^2]	Wartość teoretyczna [kg•m^2]	Względna niepewność pomiarowa [kg•m^2]
It	0,0019	0,0018	0,056
IAl	0,0003	0,00026	0,153
IFe	0,0001	0,000149	0,32
I2Fe	0,00093	0,000649	0,43
I2F +Al	0,0016	0,00206	0,22

Z tabeli wynika, że momenty bezwładności walców wyliczone doświadczalnie i teoretycznie są do siebie zbliżone np. w przypadku I_t wartość doświadczalna wynosi 0,0019 [kg•m²], a wartość teoretyczna 0,0018 [kg•m²], jednak dla I_Al te różnice są znaczne wartość doświadczalna wynosi 0,0003 [kg•m²], zaś teoretyczna 0,00026 [kg•m²], jednak mieszczą się one w zakresie niepewności względnych i to potwierdza prawdziwość prawa Steinera. Różnice te mogą być spowodowane błędami w odczycie promieni, długości linii, wyznaczaniu czasu trwania wahnięć, czy zaokrąglaniu wartości liczbowych w trakcie obliczeń. Dodatkowo wyznaczono niepewność pomiarową zgodnie z regułami dla pomiarów pośrednich nieskorelowanych funkcji wielu zmiennych dla tarczy, która wynosi I_t = 0,0019 ± 000616 [kg•m²]