IWB	Sprawdzanie prawa Steinera	29.04.2009r.
Ćw. Nr 8

Część teoretyczna.

Ruchem drgającym nazywamy każdy ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań powtarzają się w równych odstępach czasu to ruch taki nazywamy ruchem okresowym.

Najprostszy rodzaj drgań okresowych są drgania harmoniczne.

Okresem drgań harmonicznych nazywamy najmniejszy odstęp czasu, po upływie którego powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących drganie.

Jako przykład drgań harmonicznych można podać niewielkie wahania wahadła fizycznego.

Wahadło fizyczne jest to ciało doskonale sztywne, które pod wpływem własnego ciężaru waha się dookoła osi nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała.

Okres drgań harmonicznych [T] wahadła fizycznego można wyznaczyć korzystając ze związku:

i stąd:

.

Okres drgań harmonicznych nie zależy od kąta wychylenia z położenia równowagi (izochronizm wahań).

Twierdzenie Steinera.

Po przekształceniu wzoru na okres drgań (w/w) otrzymujemy następujące wyrażenie na moment bezwładności:

.

Moment ten jest mierzony względem osi obrotu wahadła.

W praktyce często przydatna jest znajomość momentów bezwładności mierzonych względem osi przechodzącej przez środki ciężkości tych ciał.

Do wyznaczenia momentu bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy ciała korzysta się z twierdzenia Steinera, które brzmi następująco: różnica momentów bezwładności ciała względem dwu równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy, równa jest iloczynowi masy ciała m i kwadratu odległości d między osiami:

.

Dla dwu różnych odległości i od osi przechodzącej przez środek masy ciała mamy:

.

Po podstawieniu poprzedniego wzoru otrzymujemy:

.

Otrzymana doświadczalnie stała wartość powyższych wyrażeń może służyć jako potwierdzenie twierdzenia Steinera.

Stała C pozwala obliczyć moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy:

.

Obliczenia:

L₁= L₂ =L₃ =58,5 cm = 0,585 m

$$\overset{\overline{}}{L} = \frac{1,755}{3} = 0,585$$

R = 0,149 m

r = 0,06 m

m₁ = 0,16258 kg

a= 0,08 m

r_Al =0,05 m m_Al = 0,20689 kg

r_Fe = 0,02 m m_Fe = 0,0782 kg

d(t) = 0, 1s e(t) = 0, 4s

d(R) = d(L) = 0, 1cm

e(R) = e(L) = 0, 1cm

Wartość średnia okresu T:

$${\overset{\overline{}}{T}}_{\text{AL}} = \frac{\sum_{i = 1}^{10}T_{i}}{10} = 1,216\ s$$

$${\overset{\overline{}}{T}}_{2Fe} = 1,539\ s$$

$${\overset{\overline{}}{T}}_{2Fe + Al} = 1,252\ s$$

$${\overset{\overline{}}{T}}_{1Fe} = 1,426\ s$$

$${\overset{\overline{}}{T}}_{\text{tarczy}} = 1,664\ s$$

Moment bezwładności układu:

$$I = \frac{\text{mgRr}}{4\pi^{2}L}T^{2}$$

Układ 1: Pusta tarcza

$$I_{t} = \frac{0,16258*9,8*0,149*0,066}{4*{3,14}^{2}*175,5}*{1,664}^{2} = 0,001566\ kg*m^{2}$$

Układ 2: Z tarczą AL

$$I_{t + Al} = \frac{0,369*9,8*0,149*0,066}{4*{3,14}^{2}*175,5}*{1,216}^{2} = 0,001743\ kg*m^{2}$$

Układ 3 :Z tarczą Fe

$$I_{t + Fe} = \frac{0,241*9,8*0,149*0,066}{4*{3,14}^{2}*175,5}*{1,426}^{2} = 0,001814\ kg*m^{2}$$

Układ 4: 2 tarcze Fe

$$I_{t + 2Fe} = \frac{0,319*9,8*0,149*0,066}{4*{3,14}^{2}*175,5}*{1,564}^{2} = 0,002657\ kg*m^{2}$$

Układ 5: Tarcza Al +2 tarcze Fe

$$I_{\begin{matrix} t + 2Fe + Al \\ \\ \end{matrix}} = \frac{0,525*9,8*0,149*0,066}{4*{3,14}^{2}*175,5}*{1,252}^{2} = 0,002967\ kg*m^{2}$$

$I_{0} = \frac{mr^{2}}{2} = \frac{0,1564 \bullet 0,02^{2}}{2} = 0,00003128$ [kg·m²]

I =  I₀ + ma²

I = 0, 00003128 + 0, 1564 • 0, 055² = 0, 0050439 [kg·m²]

$$I_{c} = \frac{I - I_{t}}{2}$$

I_{Fe przesuniete} = 0, 0008 kg * m²

I_c = I − I_t

I_Al = 0, 000317 kg * m²

I_Fe = 0, 000048 kg * m²

$$I_{\text{teoretyczne}} = \frac{mr^{2}}{2}$$

$$I_{\text{Al}} = \frac{0,20689*{0,05}^{2}}{2} = 0,000261$$

$$I_{\text{Fe}} = \frac{0,0782*{0,020}^{2}}{2} = 0,0000177$$

$$I_{t} = \frac{0,16258*{0,148}^{2}}{2} = 0,001481$$

I_{teor.Fe  przesuniete} = I₀ + ma² = 0, 000494

Względna niepewność pomiarowa:

$$\delta = \frac{|I_{doswiadczalne} - I_{\text{teoretyczne}}|}{I_{\text{teoretyczne}}}$$

$$\delta_{\text{Al}} = \frac{\left| 0,000317 - 0,000261 \right|}{0,000261} = 0,2146$$

$$\delta_{\text{Fe}} = \frac{\left| 0,000048 - 0,0000177 \right|}{0,0000177} = 0,7119$$

$$\delta_{t} = \frac{\left| 0,001804 - 0,001781 \right|}{0,001781} = 0,0129$$

$$\delta_{Fe\ przesuniete} = \frac{\left| 0,0008 - 0,000494 \right|}{0,000494} = 0,6194$$

Wyznaczam niepewność pomiarową tarczy:

u(m)=0,05g u(R)=0,001m u(r)=0,001m u(t)=0,01s u(L)=0,001m

$$U_{c}\left( I_{\text{tarczy}} \right) = \sqrt{\begin{matrix} \left( \frac{mgRr2T}{4\pi^{2}L}*d\left( T \right) \right)^{2} + \left( \frac{\text{mgr}T^{2}}{4\pi^{2}L^{2}}*d\left( L \right) \right)^{2} + \left( \frac{\text{mgr}T^{2}}{4\pi^{2}L}*d\left( R \right) \right)^{2} + \\ \left( \frac{\text{mgR}T^{2}}{4\pi^{2}L}*d\left( r \right) \right)^{2} + \left( \frac{\text{gRr}T^{2}}{4\pi^{2}L}*d\left( m \right) \right)^{2} \\ \end{matrix}}$$

$$U_{c}\left( I_{\text{tarczy}} \right) = \sqrt{\begin{matrix} \left( \frac{9,8 \bullet 0,15 \bullet 0,066}{4 \bullet {3,14}^{2} \bullet {1,755}^{2}} \bullet {1,664}^{2} \bullet 0,05 \right)^{2} + \left( \frac{162,85 \bullet 9,8 \bullet ,066}{{3,14}^{2} \bullet 4 \bullet 1,755} \bullet {1,664}^{2} \bullet 0,001 \right)^{2} + \\ \left( \frac{9,8 \bullet 0,15 \bullet 162,85}{4 \bullet {3,14}^{2} \bullet 1,755} \bullet {1,664}^{2} \bullet 0,001 \right)^{2} + \\ \left( \frac{2 \bullet 162,58 \bullet 9,8 \bullet 0,15 \bullet 0,066}{4 \bullet {3,14}^{2}} \bullet {1,664}^{2} \bullet 0,01 \right)^{2} + \left( - \frac{162,58 \bullet 9,8 \bullet 0,15 \bullet 0,066}{4 \bullet {3,14}^{2} \bullet {1,755}^{2}} \bullet {1,664}^{2} \bullet 0,001 \right)^{2} \\ \end{matrix}}$$

$$u\left( I \right) = \sqrt{0,000000045074 + 0,00001776 + 0,000098 + 0,00005815 + 0,0000001272} = 0,0000001447$$

I_t = 0, 00000631 ± 0, 0000001447

Wnioski:

Wyniki uzyskane doświadczalnie są zbliżone do wyników otrzymanych z równania właściwego dla prawa Steinera. Nie są one idealne z powodu niepewności eksperymentatora oraz urządzeń pomiarowych. Mimo tych niewielkich różnic pomiędzy wynikami obliczonymi w dwojaki sposób można przyjąć, że są one bardzo podobne, dlatego możemy stwierdzić, że sprawdzenie prawa Steinera wyszło pozytywnie i moment bezwładności ciał. Dzięki prawie Steinera możemy zaoszczędzić czasu, przy obliczaniu bezwładności ciał.