POLITECHNIKA KOSZALIŃSKA

WYDZIAŁ MECHANICZNY

Katedra

Mechaniki Technicznej i Wytrzymałości Materiałów

LABORATORIUM MECHANIKI TECHNICZNEJ

Wyznaczanie momentów bezwładności ciał stałych o dowolnym rozkładzie masy względem dowolnej osi na przykładzie wału korbowego i korbowodu.

doc. dr inż. M. Fligiel

Koszalin- 2008

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest określenie metodą drgań skrętnych momentu bezwładności wału korbowego, względem osi obrotu z.

Wprowadzenie teoretyczne.

W ogólnym przypadku moment bezwładności ciał materialnych względem stałego punktu O (rys.1) nazywamy granicę, do której dąży suma

z

dm

m

ρ

z

O y

x

y

x

Rys.1.

wszystkich iloczynów mas elementarnych dm, na które podzieliliśmy ciało przez kwadrat odległości ρ tych elementów od punktu, gdy liczba elementów dąży do nieskończoności przy jednoczesnym dążeniu do zera wszystkich ich wymiarów;

J_o = [kgm²],

gdzie: dm – elementarna masa, ρ - odległość elementarnej masy dm od punktu O.

Momentem bezwładności rozważanego ciała względem dowolnie obranej osi nazywamy granicę, do której dąży suma wszystkich iloczynów mas elementarnych dm, na które podzieliliśmy ciało przez kwadrat odległości tych elementów h_z od wspomnianej osi, gdy liczba elementów dąży do nieskończoności przy jednoczesnym dążeniu do zera wszystkich ich wymiarów:

gdzie: γ - masa właściwa, h_z²=x²+y²:

Momentem bezwładności względem osi równy jest sumie momentów bezwładności względem dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej osi.

Biegunowy moment bezwładności równy jest sumie momentów bezwładności względem trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przecinających się w biegunie lub połowie sumy momentów bezwładności względem trzech prostopadłych do siebie osi poprowadzonych z bieguna:

.

Moment bezwładności w odróżnieniu od momentu statycznego jest zawsze wielkością dodatnią, a staje się zerem tylko w przypadku szczególnym, gdy wszystkie punkty leżą na prostej obranej za oś momentu.

Aby obliczyć moment bezwładności ciała względem osi równoległej do osi poprze chodzącej przez środek masy ciała musimy skorzystać z TWIERDZENIA STEINERA, które mówi, że: moment bezwładności ciała materialnego względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy ciała, równy jest sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami.

J_z1 = J_z+md²

Rys. 2

Z równania tego wynika, że przy wyznaczeniu momentu bezwładności ciała materialnego względem osi do siebie równoległych, najmniejszy moment bezwładności otrzymujemy względem osi przechodzącej przez środek masy. Oś przechodząca przez środek masy ciała nazywać będziemy osią centralną. Ogólnie można stwierdzić, że z wszystkich do siebie równoległych osi, oś centralna jest tą, względem, której moment bezwładności ciała jest najmniejszy.

Przebieg ćwiczenia:

1. Określenie momentu bezwładności uchwytu – J₁

Rys. 3

- moment skręcający, - kąt skręcenia

- kąt skręcania (prawo Hooke’a dla skręcania)

moduł sprężystości postaciowej

[Nm/rad]- współczynnik sprężystości przy skręcaniu pręta

[m⁴]- powierzchniowy moment bezwładności przekroju pręta skręcanego.

[Nm]

Równanie dynamiczne ruchu obrotowego.

moment skręcający, - przyspieszenie kątowe uchwytu

[Nm]

[Nm]

- częstość kołowa drgań

/²

- moment bezwładności uchwytu [kgm²]

1. Określenie momentu bezwładności wału korbowego – J₂

z

Rys. 4

Równanie dynamiczne uchwytu i wału korbowego

[Nm]

[Nm]

/:

, - częstość kołowa drgań własnych uchwytu i wału korbowego

- moment bezwładności wału korbowego [kgm²]