Szeregiem liczbowym nazywamy parę ciągów ({x_n}, {s_n}), gdzie {x_n} jest dowolnym ciągiem, natomiast {s_n} jest ciągiem skonstruowanym według przepisu: ∀nϵN s_n=x₁+x₂+...+x_n. Ciąg {s_n} nazywa się ciągiem sum częściowych szeregu. Suma s_n=x₁+x₂+...+x_n nazywa się n-tą sumą częściową szeregu.

Parę ({x_n}, {s_n}) oznaczamy symbolem: $\sum_{n = 1}^{\infty}x_{n}$. Liczenie sumy szeregu sprowadza się do wyznaczenia granicy ciągu sum częściowych tego szeregu : $\sum_{n = 1}^{\infty}x_{n}$=lim_{n → ∞}s_n

Szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}x_{n}$ nazywamy szeregiem zbieżnym, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny, tzn. gdy ma skończoną granicę.

Szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}x_{n}$ nazywamy szeregiem rozbieżnym, jeżeli ciąg jego sum częściowych nie jest zbieżny, tzn. gdy nie ma skończonej granicy.

Warunek konieczny. Jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}x_{n}$ jest zbieżny to lim_{n → ∞}x_n=0

Majoranta i minoranta szeregu. Niech szeregi $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$, $\sum_{n = 1}^{\infty}m_{n}$, $\sum_{n = 1}^{\infty}M_{n}$ będą szeregami o wyrazach nieujemnych. Jeżeli 0≤m_n≤a_n≤M_n­, to

1) Szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}M_{n}$ nazywamy majorantą szeregu$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$

2) Szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}m_{n}$ nazywamy minorantą szeregu$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$

Wówczas mamy równoważność: [0≤m_n≤a_n≤M_n­, to] ≡ $\sum_{n = 1}^{\infty}m_{n}\ $≤$\ \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}\ }$≤ $\ \sum_{n = 1}^{\infty}M_{n}$

Kryterium porównawcze. Jeżeli majoranta danego szeregu liczbowego jest zbieżna to ten szereg liczbowy jest zbieżny. Jeżeli natomiast minoranta danego szeregu liczbowego jest rozbieżna to ten szereg liczbowy jest rozbieżny.

Kryterium porównawcze w formie ilorazowej. Mamy $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$; a_n≥0 i$\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$; b_n>0. Jeżeli istnieje skończona granica $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}$>0 to obydwa szeregi są jednakowo zbieżne lub rozbieżne.

Kryterium Cauchy’ego. Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) $\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_{n}}$=g to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ o wyrazach nieujemnych jest: 1) zbieżny, gdy g<1 2) rozbieżny, gdy g>1

3) gdy g=1 kryterium nie rozstrzyga ani o zbieżności ani o rozbieżności szeregu

Kryterium d’Alamberta. Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$=g to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ o wyrazach nieujemnych jest: 1) zbieżny, gdy g<1 2) rozbieżny, gdy g>1

3) gdy g=1 kryterium nie rozstrzyga ani o zbieżności ani o rozbieżności szeregu

Szeregiem naprzemiennym nazywamy nieskończoną sumę postaci a₁-a₂+a₃-a₄+...=$\sum_{n = 1}^{\infty}\left( - 1 \right)^{n + 1}a_{n}$, ∀a_n≥0

Kryterium Leibniza. Jeżeli wyrazy a_n szeregu naprzemiennego $\sum_{n = 1}^{\infty}\left( - 1 \right)^{n + 1}a_{n};\ a_{n}$≥0 dążą monotonicznie do 0 tzn. 1) ∀nєN, a_n≥a_n+1 2) lim_{n → ∞}a_n=0 to szereg naprzemienny $\sum_{n = 1}^{\infty}\left( - 1 \right)^{n + 1}a_{n};\ a_{n}$≥0 jest zbieżny.

Kryterium bezwzględnej zbieżności. Dane są $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ o wyrazach dowolnych znaków oraz $\sum_{n = 1}^{\infty}{|a_{n}|}$. Jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{|a_{n}|}$ jest zbieżny to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\ $jest zbieżny

Bezwzględna zbieżność. Szereg liczbowy $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ o wyrazach dowolnych znaków nazywamy bezwzględnie zbieżnym wtedy i tylko wtedy gdy szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{|a_{n}|}$ jest zbieżny

Warunkowa zbieżność. Szereg liczbowy $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ zbieżny o wyrazach dowolnych znaków nazywamy warunkowo zbieżnym wtedy i tylko wtedy gdy szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{|a_{n}|}$ jest rozbieżny.