Milena Golanowska

Martyna Bieńkowska

GiSzN gr2

zespół nr 3

Sprawozdanie nr 8

Temat:Wyznaczanie momentu bezwładności metodą dynamiczną.

Ciało sztywne to takie ciało, którego poszczególne punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pomimo działania na to ciało sił. Ciało sztywne może wykonywać taki ruch, w którym poszczególne jego części poruszają się zupełnie jednakowo. Ciało sztywne wykonuje także inne ruchy – ruch obrotowy. Ruch ten charakteryzuje się tym, że prędkości ruchu poszczególnych punktów nie będą jednakowe. Ruch ten jest tym bardziej szczególny, że istnieją w ciele punkty, które nie zmieniają położenia w przestrzeni. Prosta, na której leża punkty nieruchome ciała wykonującego taki ruch, nazywa się osią obrotu.

Najczęściej jednak ciało sztywne wykonuje ruch złożony, tzn., będąc w ruchu postępowy odbywa jednocześnie obrót, przy czym jeszcze i oś obrotu może z biegiem czasu zmieniać położenie w obrębie ciała sztywnego. Gdy ciało sztywne obraca się, wtedy poszczególne jego punkty poruszają się po okręgach kół. Punkty leżące na osi obrotu nie zmieniają swojego położenia w przestrzeni, pozostałe jednak punkty wykonują określone ruchy.

Ciało sztywne obracające się wokół stałej osi ma określoną energię kinetyczną. Podzielmy całą bryłę sztywną na n takich elementów, by każdy z nich mógł być rozpatrywany jako punkt masowy mi. Każdy element tego ciała ma prędkość kątową ω oraz określoną prędkość linio­wą v_i Między tymi prędkościami istnieje związek:

v_i=r_iω

gdzie: ri - odległość elementu mi od osi obrotu

Energia kinetyczna ruchu obrotowego danego elementu mi wyraz a się wzorem:

$E = \frac{1}{2}m_{i}r_{i}^{2}\omega^{2}$ 

Całkowita energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi prze­chodzącej przez środek masy równa się sumie energii kinetycznych jego elementów. W ruchu obrotowym ciała sztywnego wszystkie elementy mają taką samą prędkość kątową, natomiast odległości poszczególnych elemen­tów od osi obrotu są różne, wobec tego wyrażenie na całkowitą energięruchu obrotowego zapisujemy w postaci

$$E_{k} = \sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}r_{i}^{2}\omega^{2} = \frac{1}{2}\omega^{2}\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}r_{i}^{2}}$$

Moment bezwładności ciałą I-Suma iloczynów mas poszczególnych elementów ciała przez kwadrat ich odległości od osi obrotu $\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}r_{i}^{2}}$

Wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego przyjmuje postać analogiczną do wyrażenia na energię kinetyczną ruchu postępowego:$E_{k} = \frac{1}{2}I\omega^{2}$

Twierdzenie Steinera

Mówi, że moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami

Jeżeli potrafimy określić moment bezwładności ciała I względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, to - korzystając z twierdzenia Steinera - łatwo jest znaleźć moment bezwładności względem innych osi równoległych do osi przechodzącej przez środek masy. Twierdzenie Steine­ra ma postać:

I=I_S+md²

gdzie:

m - masa ciała,

d - odległość między ww. osiami.

Na podstawie wzoru defmiującego moment bezwładności:

I = ∫r²dm

potrafimy obliczyć jego wartość tylko wtedy, gdy jesteśmy w stanie okre­ślić granice całkowania. Wyrażając element masowy dm przez gęstość p oraz odpowiedni element objętości dV, dm = p dV, wzór przyjmuje postać bardziej praktyczną:

I = ρ∫r²dV

Zakładamy ciągły i równomierny rozkład masy

Przebieg doświadczenia

Kształt ciała badanego w tym ćwiczeniu w małym stopniu reprezentuje przypadki realne, natomiast daje możliwość dokład­niejszego prześledzenia zjawisk oraz zbadania związków między występującymi wielkościami fizycznymi. Nazwijmy to ciało krzyżakiem. Krzyżak jest osadzony na osi, wokół której może się obracać z minimalny­mi oporami ruchu. Na osi krzyżaka jest nawinięty (jedną warstwą) cienki sznurek z podwieszonym ciężarkiem C o masie m. Ciężarek ma względem obranego poziomu odniesienia energię potencjalną:

E=mgh

gdzie:

m – masa ciężarka C

h – wysokość nad wybranym poziomem odniesienia.

 

Pod wpływem siły ciężkości P ciężarka C krzyżak będzie się obracał ruchem jednostajnie przyspieszonym, zyskując energię kinetyczną ruchu obrotowego E1

$$E_{1} = \frac{1}{2}I\omega^{2}$$

gdzie:

I - moment bezwładności,

w - prędkość kątowa.

Również ciężarek zyskuje energię kinetyczną, lecz ruchu postępowego E2

$$E_{2} = \frac{1}{2}mv^{2}$$

gdzie:

v - prędkość liniowa.

 

Układ zyskuje energię kinetyczną (E1 + E2) kosztem malejącej energii potencjalnej E ciężarka. Przyjmując założenie, że opory ruchu są do pominięcia, możemy przed­stawić zasadę zachowania energii w tym układzie równaniem:

E = E₁ + E₂

 

Po podstawieniu odpowiednich wzorów otrzy­mujemy równanie:

$$\text{mg}h = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}I\omega^{2}$$

Zasada zachowania energii, wyrażona powyższym wzorem, jest spełniona dla każdej chwili t ruchu całego układu, w szczególności dla chwili końcowej ruchu układu, a więc w momencie całkowitego rozwinięcia się sznurka z osi O.

Moment bezwładności I krzyżaka nie da się obliczyć bezpośrednio z powyższego równania, ponieważ wartości chwilowe v oraz w są trudne do zmierzenia bezpośredniego. Możemy je jednak wyrazić przez wielkości łatwo mierzalne - drogę (h) oraz czas (t).

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego bez prędkości początkowej mamy wzór na prędkość:

v = a t

gdzie:

a - przyspieszenie,

t - czas trwania ruchu

oraz wzór na drogę s:

$$s = \frac{at^{2}}{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }h = \frac{gt^{2}}{2}$$

Z powyższego wzoru i wzoru:    v = a t    otrzymujemy:

$$v = \frac{2h}{t}$$

Znamy też związek między v i w:

$$\omega = \frac{v}{r}$$

Gdzie

   r - promień (średnicy)

              w - prędkość kątowa krzyżaka (jednakowa dla wszystkich punktów, gdyż jest to bryła sztywna)

              v - prędkość liniowa czyli obwodowa osi O równa prędkości opadania ciężarka.

 

Podstawiając dwa powyższe równania do równania $\text{mgh} = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}I\omega^{2}\ $otrzymujemy:

$$I = \frac{mr^{2}(gt^{2} - 2h)}{2h}$$

Moment bezwładności występuje również we wzorach:

$$\varepsilon = \frac{M}{I}$$

Mt = Iω₂ − Iω₁

$$E = \frac{1}{2}I\omega^{2}$$

tabela do zapisu wyników:

Lp	L+R (m)	m (kg)	r (m)	h (m)	t (s)	I (kg m^2)
1	0.1825	0,2	0,005	0.72	19,96	0.0070
2	0.1725				17.03	0.0051
3	0.1625				16.40	0.0047
4	0.1525				14.75	0.0038
5	0.1425				14.34	0.0036
6	0.1325				13.88	0.0034
7	0.1225				13.09	0.0030
8	0.1125				11.66	0.0024
9	0.1025				11.37	0.0023
10	0.0925				9.79	0.0017
11	0.0825				9.66	0.0016
12	0.0725				9.16	0.0015
13	0.0625				8.50	0.0013
14	0.0525				7.78	0.0011
15	0.0425				7.44	0.00097

niepewności:

WNIOSKI:

Moment bezwładności jest proporcjonalny do kwadratu ich odległości do osi obrotu.