AUDYT RYZYKA 29.05.2010 WYKŁAD II

ZALICZENIE 5go czerwca 10.45 N

KONCEPCJE POMIARU RYZYKA

2 grupy miar ryzyka

• miary ryzyka - informują o poziomie ryzyka, są to miary w pewnym sensie obiektywne, gdyż nie zależą od użytkownika. Miary te są stosowane w procesie zarządzania ryzykiem.

• miary stosunku decydenta do ryzyka - są to miary zależne od konkretnego podmiotu, który zarządza ryzykiem.

Z formalnego punktu widzenia, wyróżniamy zmienną ryzyka, zmienna ta może przyjmować różne oznaczenia i odzwierciedla ono występujące ryzyko.

Wyróżniamy także inne zmienne, oznaczone jako x_1,x₂,…x_m. Zmienne te mają wpływ na zmienną ryzyka i nazywamy je czynnikami ryzyka.

Jakie zmienne stosowane są w charakterze zmiennych ryzyka?

W przypadku ryzyka traktowanego neutralnie zmiennymi są:

- cena ( wartość) oznaczona jako P

- poziom sprzedaży oznaczony jako Y

- stopa zwrotu instrumentu finansowego oznaczona jako R.

Ryzyko utożsamiane może być z wrażliwością lub ze zmiennością.

Ryzyko jako wrażliwość ceny, poziomu sprzedaży oznacza, że identyfikuje się zależność badanej zmiennej ryzyka od pewnego czynnika (lub czynników) i bada się o ile zmieni się cena, poziom sprzedaży przy zmianie wartości czynnika o jednostkę.

Ryzyko rozumiane jako zmienność ceny, poziomu sprzedaży oznacza, że bada się, jak bardzo zmienia się cena, poziom sprzedaży.

Im większe zmiany tym większe ryzyko.

W negatywnej koncepcji ryzyka, analizujemy te same zmienne co przy neutralnej koncepcji, uwzględniając jedynie ich negatywne aspekty. Takie zmienne to:

- strata oznaczona jako L

- stopa zwrotu ze znakiem ujemnym.

Warto zaznaczyć, że przy wyznaczeniu wartości zmiennej ryzyka niezbędne jest określenie pewnej wartości referencyjnej, do której odnosi się właśnie przyszła wartość zmiennej ryzyka. Wartością tą może być wartość na początku okresu, lub również wartość spodziewana (oczekiwana).

Podstawowa koncepcja jaka jest stosowana w analizie zmiennej ryzyka to rozkład zmiennej losowej.

W statystyce wyróżnia się 2 podstawowe rodzaje zmiennej losowej :

1. zmienna losowa skokowa (dyskretna)

2. zmienna losowa ciągła

Można wyróżnić 3 grupy miar ryzyka zwykłego:

1. mające u podstaw rozkład statystyczny zmiennej ryzyka. Miary ryzyka są różnymi charakterystykami tego rozkładu. Analizie podlega tutaj efekt działania ryzyka, bez próby wnikania w jego przyczyny

- miary zmienności

- kwantyle rozkładu

- wartości dystrybuanty

1. miary wynikające z funkcji zależności zmiennej ryzyka od czynników ryzyka. Analizowana jest tu funkcja zależności zmiennej ryzyka od czynników ryzyka następującej postaci Y= g (x₁, x₂…x_m)

2. miary ryzyka dane w postaci klas ryzyka. W tym przypadku miary dane są w postaci kategorii ryzyka np.:

ryzyka niskie, umiarkowane, wysokie

PROSTA STOPA ZWROTU

$$\mathbf{r}_{\mathbf{t}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{P}_{\mathbf{t}}\mathbf{-}\mathbf{P}_{\mathbf{t}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{D}_{\mathbf{t}}}{\mathbf{P}_{\mathbf{t}\mathbf{-}\mathbf{1}}}$$

D_{t –} przychody z tytułu posiadania akcji ( dywidenda)

LOGARYTMICZNA STOPA ZWROTU

$\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{1}_{\mathbf{n}}\left( \frac{\mathbf{P}_{\mathbf{t}}\mathbf{+}\mathbf{D}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{P}_{\mathbf{t}\mathbf{-}\mathbf{1}}} \right)$ stosuje się w 95% przypadków

NAJWAŻNIEJSZA CHARKTERYSTYKA DOCHODU INWESTYCJII W AKCJĘ - oczekiwana stopa zwrotu

• oczekiwana stopa zwrotu:

dla zmiennej ciągłej E(Y)=∫_−∞^∞Y ∮(Y)d Y

dla zmiennej skokowej $\mathbf{E}\left( \mathbf{Y} \right)\mathbf{= \ }\sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{m}}{{\mathbf{\ }\mathbf{p}}_{\mathbf{i}\mathbf{\ }}\mathbf{Y}_{\mathbf{i}}}$

$\sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{\ }}^{\mathbf{m}}\mathbf{p}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

• oczekiwana stopa zwrotu (dane historyczne):

Na podstawie średniej arytmetycznej $\overset{\overline{}}{\mathbf{Y}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{N}}\mathbf{\text{\ \ }}\sum_{\mathbf{t}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{N}}{\mathbf{\ }\mathbf{Y}}_{\mathbf{t}}$

Średniej geometrycznej ${\overset{\overline{}}{\mathbf{Y}}}_{\mathbf{G}}\mathbf{= \ }\left( \frac{\mathbf{Y}_{\mathbf{N}}}{\mathbf{Y}_{\mathbf{0}}} \right)^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{N}}}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{=}{\mathbf{(Y}\mathbf{-}\mathbf{N/0)\ )}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{N}}}\mathbf{-}\mathbf{1}$

Y_N- ostatnia obserwacja

Y₀- pierwsza obserwacja

W charakterze miary ryzyka może występować dowolna miara zmienności rozkładu. Klasyczną miarą jest wariancja

Rozkład ciągły: σ²= ∫[Y−E(Y)]²∮(Y)dY

Semiwariancja stopy zwrotu: ${\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\sigma}}_{\mathbf{\text{sem}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }{\sum_{\mathbf{t}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{m}}{\mathbf{p}_{\mathbf{i}}\left\lbrack \left( \mathbf{Y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{E}\left( \mathbf{Y} \right)^{\mathbf{-}} \right) \right\rbrack}}^{\mathbf{2}}$ podstawowa miara ryzyka negatywnego

$\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\left( \mathbf{Y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{E}\mathbf{(}\mathbf{Y}\mathbf{)} \right)^{\mathbf{-}}\mathbf{=}\left\{ \begin{matrix} \mathbf{Y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{E}\mathbf{(}\mathbf{Y}\mathbf{)}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\text{gdy}}\mathbf{\ }\mathbf{Y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{E}\mathbf{(}\mathbf{Y}\mathbf{)} < 0 \\ \mathbf{0}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\text{gdy}}\mathbf{\ }\mathbf{Y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{E}\mathbf{(}\mathbf{Y}\mathbf{)}\mathbf{\geq}\mathbf{0} \\ \end{matrix} \right.\ $

Oraz semiodchylenie standardowe: $\mathbf{\sigma}_{\mathbf{\text{sem}}}\mathbf{= \ }\sqrt{\mathbf{\sigma}_{\mathbf{\text{sem}}}^{\mathbf{2}}}$

Czasem stosuje się miary relatywne wielkości ponoszonego ryzyka

$$\mathbf{\text{WZ}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{S}}{\overset{\overline{}}{\mathbf{Y}}}\mathbf{*}\mathbf{100}\mathbf{\%}$$

ile jednostek ryzyka przypada na jednostkę doboru (dowodu??)

inne miary zmienności (nie pisaliśmy!)

KWANTYLE ROZKŁADU w przeciwieństwie miar zmienności sam kwantyl jest miarą ryzyka.

W pomiarze za pomocą kwantyli rozkładu wykorzystuje się następujący wzór: P(Y≤Y_α)=α

Gdzie: Y – zmienna ryzyka, Y_α- kwantyl rozkładu, P- prawdopodobieństwo, α- liczba bliska 0 np.: 0,05 0,01

Wartość prawdopodobieństwa jest dana, natomiast wyznaczany jest właśnie kwantyl rozkładu.

Z pojęcia kwantyla rozkładu wywodzi się miara ryzyka zwana wartością zagrożoną

(VaR- Value at Risk) poziom bezpieczeństwa

WARTOŚCI DYSTRYBUANTY

Formalnie korzysta się z ogólnego wzoru:

P(Y≤Y_α)=α

Y – zmienna ryzyka, Y_α- ustalona wartość zmiennej ryzyka, P- prawdopodobieństwo, α- wartość dystrybuanty

Im wyższe wartości dystrybuanty, tym wyższe ryzyko.

Klasy ryzyka mogą być wyróżnione co najmniej na jeden z 2 sposobów:

1. bierzemy pod uwagę rozkład statystyczny zmiennej ryzyka oraz miar mających u podstaw ten rozkład, a następnie wyróżnieniu różnych przedziałów wartości tych miar i utożsamieniu każdego przedziału z klasą ryzyka.

I grupa: $\mathbf{Q}_{\mathbf{i}}\mathbf{\leq}\overset{\overline{}}{\mathbf{Q}}\mathbf{- 1}\mathbf{,}\mathbf{5*}\mathbf{S}_{\mathbf{Q}}$ bardzo wysokie ryzyko

II grupa $\mathbf{Q}_{\mathbf{i}}\mathbf{\in \lbrack}\overset{\overline{}}{\mathbf{Q}}\mathbf{- 1}\mathbf{,}\mathbf{5*}\mathbf{S}_{\mathbf{Q}}\mathbf{;\ }\overset{\overline{}}{\mathbf{Q}}\mathbf{- 0}\mathbf{,}\mathbf{5*}\mathbf{S}_{\mathbf{Q}}$] wysokie ryzyko

1. drugi sposób polega na wykorzystaniu koncepcji funkcji zależności zmiennej ryzyka od czynników ryzyka. W tym przypadku znane są jedynie wartości czynników ryzyka natomiast analiza ryzyka polega na wyznaczeniu zmiennej ryzyka (jej wartości) Następnie wartości zmiennej ryzyka dzielone są na przedziały odpowiadające klasom ryzyka.

WARTOŚĆ ZAGROŻONA (Value at Risk) - VaR (wartość narażona na ryzyko)

Jest to tak strata wartości rynkowej portfela, że prawdopodobieństwo osiągnięcia jej lub przekroczenia w zadanym przedziale czasowym jest równa zadanemu poziomowi tolerancji.

- VaR nie mówi nam o stratach maksymalnych

+ jakie będą straty równe lub większe przy danym poziomie tolerancji; 1% i 1 dzień

Im niższy poziom tolerancji tym wyższy poziom VaR.

Im dłuższy rozpatrywany jest przedział czasowy tym wyższa wartość VaR.

Formalnie VaR to :

P(W≤W₀− VaR)=α

Gdzie:  W₀−obecna wartosc portfela

W−wartosc portfela na koncu okresu,  jest to zmienna losowa

α − poziom tolerancji

Oznaczamy kwantyl rozkładu wartości odpowiadający zadanemu prawdopodobieństwu prze W_α, mamy wtedy:

P(W≤W_α)=α

Oznaczamy kwantyl rozkładu stóp zwrotu odpowiadający zadanemu prawdopodobieństwu przez R_α

P(R≤R_α)=α

Po podstawieniu tego wzoru do równania (*):

VaR= −R_α W₀ , dla prostej stopy zwrotu

VaR=  W₀(1−e^R∝) , dla kapitalizacji ciągłej czyli logarytmicznej stopy zwrotu

Z powyższego wzoru wynika, że podstawową charakterystyką niezbędną do określenia VaR jest kwantyl rozkładu stóp zwrotu.

Często zakłada się normalność rozkładu stóp zwrotu

R_α=μ−cσ

μ − srednia rozkladu stopy zwrotu

α − odchylenie standardowe rozkladu stopy zwrotu

c − stala odczytana z tablic dystrybuanty rozkladu normalnego,  zalzna od prawdopodobienstwa

Np.: gdy 1-α=0,95 to c=1,64 gdy 1-α=0,99 to c= 2,33

Założenie:

Wielowymiarowy rozkład stóp zwrotu portfela jest wielowymiarowym rozkładem normalnym o wektorze średnich i macierzy kowariancji

$\mathbf{\mu}\mathbf{=}\left\{ \begin{matrix} \mathbf{\mu}_{\mathbf{1}} \\ \mathbf{u}_{\mathbf{2}} \\ \mathbf{.} \\ \mathbf{.} \\ \mathbf{\mu}_{\mathbf{n}} \\ \end{matrix} \right.\ $ $\mathbf{\sigma}\mathbf{=}\begin{bmatrix} \begin{matrix} \mathbf{\sigma}_{\mathbf{11}} & \mathbf{\sigma}_{\mathbf{12}} \\ \end{matrix} & \mathbf{\cdots} & \mathbf{\sigma}_{\mathbf{1}\mathbf{n}} \\ \begin{matrix} \mathbf{\sigma}_{\mathbf{21}} & \mathbf{\sigma}_{\mathbf{22}} \\ \end{matrix} & \mathbf{\ldots} & \mathbf{\sigma}_{\mathbf{2}\mathbf{n}} \\ \begin{matrix} \mathbf{\sigma}_{\mathbf{n}\mathbf{1}} & \mathbf{\sigma}_{\mathbf{n}\mathbf{2}} \\ \end{matrix} & \mathbf{\cdots} & \mathbf{\sigma}_{\mathbf{\text{nn}}} \\ \end{bmatrix}$

• Zależności łączące średnią i odchylenie standardowe rozkładu stopy zwrotu portfela oraz rozkładów stóp zwrotu składowych instrumentów finansowych są następujące:

$$\mathbf{\mu}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{W}_{\mathbf{i}\mathbf{\ }}\mathbf{\mu}_{\mathbf{i}}}$$

$$\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\sigma}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{W}_{\mathbf{i}}{\mathbf{\text{\ \ }}\mathbf{W}}_{\mathbf{j}}{\mathbf{\ }\mathbf{\sigma}}_{\mathbf{\text{ij}}}}}$$

! jednak założenie normalności w praktyce nie zawsze jest spełnione. Wiele rozkładów stóp zwrotu, nawet jeśli są to rozkłady symetryczne, charakteryzujące się tzw. „grubymi ogonami”.

Wynika z tego, że jeśli dla rzeczywistych danych rozkład ma „grubsze ogony” niż rozkład normalny, to przyjęcie założenia normalności spowoduje niedoszacowanie VaR.

Backtesting- wsteczne testowanie wartości VaR (sprawdzanie, czy ten VaR co wyznaczyliśmy jest dobry).

Można zastosować m.in. następujące podejście do szacowania VaR

1. Podejście wariancji –kowariancji

2. Symulacja historyczna

3. Symulacja typu Monte Carlo

4. Estymacja kwantylu dowolnego rozkładu

5. Metody bazujące na teorii wartości ekstremalnych.