METODA STYCZNYCH (NEWTONA)
PRZYKŁAD: Znaleźć metodą Newtona przybliżoną wartość najmniejszego pierwiastka równania x^3 − 2x − 5 = 0 dla x0 = 0 , wykonując trzy kroki iteracji
x^3−2x − 5 = 0 x0=2
f^′(x)=3x^2−2
f(x0)=f(2) = 2^3 − 2 • 2 − 5 = −1 f^′(x0)=f^′(2) = 3 • 2^2 − 2 = 10 $$\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{x}_{\mathbf{0}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{f}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{0}} \right)}{\mathbf{f}^{\mathbf{'}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{0}} \right)} = \mathbf{2} - \frac{- 1}{10} = \mathbf{2,1}$$
f(x1)=f( 2,1 ) = 2, 1^3 − 2 • 2, 1 − 5 = 0, 061 f^′(x1)=f^′(2,1) = 3 • 2, 1^2 − 2 = 11, 23 $$\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{f}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{1}} \right)}{\mathbf{f}^{\mathbf{'}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{1}} \right)} = \mathbf{2,1} - \frac{0,061}{11,23} = \mathbf{2,}\mathbf{094568}$$
f(x2)=f( 2,09 ) = 2,09^3 − 2 • 2,09 − 5 = −0, 05 f^′(x2)=f^′(2,09) = 3 • 2,09^2 − 2 = 11, 10 $$\mathbf{x}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{f}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{1}} \right)}{\mathbf{f}^{\mathbf{'}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{1}} \right)} = \mathbf{2,}\mathbf{09} - \frac{- 0,05}{11,10} = \mathbf{2,}\mathbf{094505}$$