Temat : 4

Zastosowanie równania ciągłości przepływu i równania Bernoulliego.

Ciecze rzeczywiste charakteryzują się bardzo małą ściśliwością, natomiast lepkość czasami mają dość znaczną. Niektóre ciecze rzeczywiste, między innymi wodę, można w warunkach powolnego przepływu traktować z pewnym przybliżeniem jako ciecze doskonałe, czyli takie substancje ciekłe, które nie wykazują zjawiska ściśliwości i lepkości.

Ze strumieniem laminarnym mamy do czynienia, gdy w dowolnym punkcie prędkość płynu nie zależy od czasu. Oznacza to, że w dowolnym punkcie strumienia stacjonarnego prędkość każdej przepływającej cząstki płynu jest zawsze taka sama.

Przepływ cieczy określają dwa podstawowe prawa :

• prawo Bernoulliego

• prawo ciągłości strugi

Zasadniczym prawem, z którym mamy do czynienia przy przepływie laminarnym (warstwowym) cieczy doskonałych, jest prawo Bernoulliego. Przy przepływie cieczy przez przewód poziomy, równanie to ma postać:

gdzie:

p - ciśnienie statyczne wywierane przez ścianki naczynia,

ρV²/2 - ciśnienie dynamiczne cieczy,

ρ - gęstość cieczy,

V – prędkość przepływu cieczy.

Równanie to określa, że suma ciśnienia statycznego i dynamicznego w każdym miejscu przewodu jest stała i równa ciśnieniu całkowitemu, jakie panuje w strumieniu płynącej cieczy. Ciśnienie statyczne to ciśnienie wywierane na ścianki boczne naczynia przez płynącą ciecz, a ciśnienie dynamiczne związane jest z ruchem cieczy. Bernoulli stworzył to równanie przy założeniu, że przepływ jest stały, laminarny i płyn jest nieściśliwy( tzn. że nie doznaje zmian gęstości), a lepkość ( ma rolę analogiczna do tarcia w ruchu ciał stałych)jest tak mała, że możemy ją pominąć.

Równanie Bernoulliego możemy wyprowadzić z prawa zachowania energii

E_p + E_k + E_w = const

Wówczas równanie to może być zapisane w formie:

Gdy ciecz doskonała płynie przez przewód o zmiennym przekroju, to z nieściśliwości cieczy wypływa warunek wyrażony równaniem:

V₁ S₁ = V₂ S₂ – równanie ciągłości strugi

Prawo ciągłości przepływu

Prędkość przepływu jest w danym przekroju odwrotnie proporcjonalna do wielkości jego pola. Im większy jest przekrój, przez który przepływa powietrze, tym mniejsza jest jego prędkość i na odwrót. Każde zmniejszenie pola przekroju powoduje, że prędkość przepływu powiększa się. Ten przyrost prędkości, w miarę pomniejszania się światła otworu, bierze się stąd, że taka sama objętość powietrza musi przepłynąć przez każdy dowolny przekrój tego przewodu. Znaczy to, że jeżeli przepływ w przewodzie o niezmiennym przekroju ustalił się na poziomie np. 5 l/s, to po zwężeniu przewodu objętość przepływającego powietrza nie zmieni się. Wzrośnie natomiast prędkość przepływu, aby zrekompensować zmniejszenie pola przekroju przewodu (rys.3). 

Rys.3

Oznacza ono, że szybkości przepływu cieczy doskonałej w różnych miejscach przewodu są odwrotnie proporcjonalne do przekrojów tych miejsc.

Zastosowanie równania Bernoulliego

Równaniem Bernoulliego opisuje wiele na co dzień obserwowanych zjawisk, zależności, a także zasad działania licznych urządzeń technicznych:

• paradoks hydrodynamiczny – jeżeli w rurze, przez którą przepływa płyn występuje zwężenie to w zwężeniu ciśnienie statyczne jest niższe niż przed i za zwężeniem.

• zjawisko zrywania dachów, gdy wieje silny wiatr

• zasada działania rurki Pitota – urządzenie do pomiaru prędkości płynu np.w rzece

• zasada działania rurki Prandtla -

• zasada działania zwężki Venturiego

• zasada działania palnika Bunsena

• pośrednio zasady powstawania siły nośnej w skrzydle samolotu

• pośrednio w powstawaniu efektu Magnusa

• przyczyna osiadania statków w ruchu na płytkim akwenie.

Aby otrzymać równanie Bernoulli’ego przeprowadzimy prostą analizę energii i pracy dla strumienia płynu w płynącego w rurze. Aby analiza miała cechy ogólności, rura ma zmienny przekrój i nie jest położona poziomo. W ciągłym strumieniu płynu (cieczy lub gazu) wybieramy dwa dowolne jego odcinki zawierające tę samą masę m płynu. Środki masy obu odcinków znajdują się na wysokościach h₁ i h₂, zaś pola przekrojów poprzecznych strumieni, ciśnienia i prędkości płynu wynoszą na tych odcinkach odpowiednio A₁ i A₂, p₁ i p₂ oraz v₁ i v₂ .

 

 

 

Suma energii kinetycznej, energii potencjalnej i pracy wykonanej przez płyn jest jednakowa na każdym z tych odcinków

 

 

czyli

 

 

Ponieważ odcinki zostały wybrane dowolnie, to ta suma musi być stała w dowolnym miejscu przekroju. Zatem

 

 

Na podstawie równania ciągłości za masę m przyjmujemy m = ρV i dzielimy równanie przez V. W rezultacie znajdujemy równanie Bernoulliego w postaci

 

 

opisujące ciśnienia na każdym przekroju strumienia. Na podstawie zasady, że nie można dodawać stokrotek do kóz, każdy ze składników sumy musi mieć ten sam wymiar. Tutaj wyrazy mają wymiar ciśnienia; pierwszy reprezentuje ciśnienie dynamiczne, drugi - hydrostatyczne, a trzeci - ciśnienie statyczne.

 

Rzadko kiedy zdarza się sytuacja, w której istotną rolę odgrywa wysokość h. Dlatego zazwyczaj wystarcza stosować prostą formę równania Bernoulli’ego: