1. Wstęp

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie częstotliwości rezonansowych poprzecznych fal stojących, wzbudzanych w napiętej lince (sznurku) przy zmiennym naprężeniu tej linki oraz wyznaczenie prędkości fal poprzecznych w lince w zależności od różnych częstotliwości wzbudzeń.

W jednowymiarowym ośrodku sprężystym (naprężonej lince) pobudzonym do drgań możemy wytworzyć dzięki odpowiedniemu doborowi częstotliwości sygnału zaburzającego falę stojącą. Częstotliwość, przy której fala ta powstaje nazywa się częstotliwości rezonansową (lub własną układu). Fala stojąca charakteryzuje się tym, że amplituda w równomiernie rozmieszczonych węzłach jest równa zero.

Częstotliwość rezonansową dla naprężonej linki można wyznaczyć z poniższego wzoru:

$$f = \frac{\text{Nv}}{2L}\text{\ \ \ \ \ }$$

   gdzie :        L − jest to odleglosc pomiedzy skrajnymi wezlami

N − liczba przestrzeni miedzy wezlami 

                                v − predkosc rozchodzenia sie fali poprzecznej w lince  

Prędkość fali poprzecznej w naprężonej lince obliczamy za pomocą wzoru:

$$v = \sqrt{\frac{F}{\rho}}\text{\ \ }$$

gdzie :           F − sil napinajaca linke

                           ρ − gestosc liniowa linki   

1. Metody pomiaru i układ pomiarowy.

Dokonaliśmy łącznie dwudziestu pięciu pomiarów częstotliwości rezonansowej w zależności od obciążenia(Tabela 1). Dla każdego z obciążeń przeprowadziliśmy po pięć pomiarów częstotliwości rezonansowej, zaczynając od ustawienia częstotliwości własnej odpowiadającej jednej przestrzeni międzywęzłowej do częstotliwości własnej, przy której tworzyło się pięć przestrzeni międzywęzłowych na danej długości linki, której pomiar dokonaliśmy miarką (uwzględniając przy tym, że przy większych liczb przestrzeni międzywęzłowych jeden ze skrajnych węzłów powstawał za wrzecionem, do którego przymocowana była linka).

1. Opracowanie wyników pomiaru.

Częstotliwość rezonansową odczytywaliśmy z ekranu generatora częstotliwości z dokładnością do czwartej liczby znaczącej.

Wartość obciążenia odczytaliśmy z powierzchni obciążników, natomiast długości mierzone miarką były z dokładnością ΔL=1cm.

Tabela

m [kg]	f [Hz]	L [m]	N
0,15	10,08	2,22	1
	17,70	2,22	2
	27,86	2,25	3
	40,02	2,24	4
	45,33	2,37	5
0,25	11,26	2,22	1
	24,21	2,22	2
	36,08	2,28	3
	49,25	2,22	4
	61,35	2,22	5
0,35	13,97	2,22	1
	28,77	2,22	2
	44,22	2,22	3
	62,31	2,20	4
	75,02	2,20	5
0,45	16,52	2,22	1
	34,44	2,22	2
	50,64	2,22	3
	66,30	2,20	4
	79,09	2,30	5
0,55	18,39	2,22	1
	36,99	2,22	2
	54,85	2,22	3
	72,28	2,20	4
	90,86	2,25	5

Na podstawie wzoru na częstotliwość rezonansową można wywnioskować, że współczynnik kierunkowy prostej będzie równy prędkości fali dla danego naprężenia.

y = ax + b

$$f = v \cdot \frac{N}{2L} + b$$

$$\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack \cdot \frac{1}{2} \cdot \left\lbrack \frac{1}{m} \right\rbrack + \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Zależność częstotliwości rezonansowej f od $\frac{N}{2L}$ dla różnych obciążeń przedstawia poniższy wykres wykonany metodą najmniejszych kwadratów w programie Logger Pro.

Na podstawie wzoru na prędkość fali poprzecznej w naprężonej lince możemy zauważyć, że współczynnik kierunkowy jest równy odwrotności gęstości liniowej linki:

y = ax + b

$$v^{2} = \frac{1}{\rho} \cdot mg + b$$

$$\left\lbrack \frac{m^{2}}{s^{2}} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{\text{kg}} \right\rbrack \cdot \left\lbrack \frac{\text{kgm}}{s^{2}} \right\rbrack + \left\lbrack \frac{m^{2}}{s^{2}} \right\rbrack$$

Wykres zależności v² od mg przedstawia poniższy wykres, wartość przyspieszenia ziemskiego w obliczeniach w przybliżeniu przyjęliśmy za równą$\ g \approx 9,81\frac{m}{s^{2}}$. Wykres ten również został wykonany metodą najmniejszych kwadratów w programie Logger Pro.

Współczynnik kierunkowy wynosi $m = 1148,00 \pm 81,97\frac{m}{\text{kg}}$ z tego wynika że, $m \in \left\langle 1066,02\frac{m}{\text{kg}}\ ;\ 1229,97\frac{m}{\text{kg}} \right\rangle$.

$$\rho = \frac{1}{m}$$

$$\rho_{1} = \frac{1}{1229,97} \approx 0,00081\frac{\text{kg}}{m}$$

$$\rho_{2} = \frac{1}{1066,02} \approx 0,00094\frac{\text{kg}}{m}$$

Korzystając z metody Studenta – Fishera w programie OPRA7 obliczyliśmy wartość średnią gęstości liniowej linki,

$Srednia\ wartosc\ x = 0,000875\frac{\text{kg}}{m}$

x = Sx  ⋅ k_α dla α = 0, 95

$\Delta x = 0,00001 \cdot 2,16 = 0,000024\frac{\text{kg}}{m}$

Podsumowując $\rho = \left( 8,75 \pm 0,24 \right) \cdot 10^{- 4}\frac{\text{kg}}{m}$

1. Wnioski

Wartość gęstości sznurka mieści się w wartości tablicowej podanej przy stanowisku zestawu pomiarowego. Doświadczenie spełniło oczekiwanie teoretyczne wynikające ze wzorów. Z dokonanych pomiarów widzimy, że na prędkość fali stojącej w sznurku wpływa wiele czynników m.in.: naprężenie tego sznurka, (które w naszym przypadku zależało od dołączanych na jego końcu ciężarków), długość tego sznurka, na której powstaje ta fala, gęstość linki, (na którą niestety nie mamy wpływu) oraz przede wszystkim wartość częstotliwość, jaką będziemy naszą linkę pobudzać.