Nr 20 + 30 = 50
Opracowanie odległości skośnych pomierzonych z centrów.
Zad. 1
Dana jest odległość skośna S= 2401,652 m. Poziom punktu początkowego Hp = 150,700 m, końcowego Hk= 230,310 m. Wysokość instrumentu i= 12,600 wysokość lustra w= 8,120 m. Przyjąć
R= 6382 km. Obliczyć:
- rzut odległości skośnej na poziom odniesienia (d);
- rzut odległości skośnej na poziom instrumentu (D).
$\mathbf{d = \ }\sqrt{\left( \mathbf{S}^{\mathbf{2}}\mathbf{- \ }\mathbf{h}^{\mathbf{2}} \right)\left( \mathbf{1 -}\frac{\mathbf{}\mathbf{h}}{\mathbf{R}} \right)}$
hp=Hp+i=150, 700 + 12, 600=163,300
hk=Hk+w=230, 310 + 8, 120=238, 430
h=hk−hp=238, 430 − 163, 300=75, 130
Σh = hk+hp=238, 430 + 163, 300=401,730
$$\mathbf{d} = \ \sqrt{\left( {2401,652}^{2} - \ {75,130}^{2} \right)\left( 1 - \frac{401,730}{6382000} \right) =}\backslash n$$
=2400, 401
D = $\sqrt{\left( \mathbf{S}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{h}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{\ }\left( \mathbf{1 -}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{R}} \right)}$
$$\mathbf{D} = \ \sqrt{\left( {2401,652}^{2} - \ {75,130}^{2} \right)\left( 1 - \frac{75,130}{6382000} \right) =}$$
$= \sqrt{\left( 5767932,33 - 5644,517 \right)\left( 0,999988227 \right)} =$
=2400, 462
Zad. 2
Rzut odległości skośnej na poziom odniesienia wynosi d= 8161,630 m. Poziom punktów geodezyjnych mają wartość Hp= 730,700 m, końcowego Hk= 251,120 m, wąskość stanowiska wynosi i= 1,400m, a lustra w= 10,150 m. Przyjąć R= 6382 km. Obliczyć
- odległość S między dalmierzem i lustrem;
- odległość Sc centrów punktów geodezyjnych.
$$\mathbf{S =}\sqrt{\mathbf{}\mathbf{h}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{1 -}\frac{\mathbf{\Sigma}\mathbf{h}}{\mathbf{R}} \right)\mathbf{*}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}$$
hp=Hp+i=730, 700 + 1, 400=732, 100
hk=Hk+w=251, 120 + 10, 150=261, 270
h=hk−hp=261, 270 − 732, 100= − 470, 830
Σh = hk+hp=261, 270 + 732, 100=993, 370
$$\mathbf{S =}\sqrt{\left( - 470,830 \right)^{2} + \left( 1 + \frac{993,370}{6382000} \right)\mathbf{*}{8161,630}^{\mathbf{2}}}$$
$$\sqrt{221680,889 + 66622572,570}\mathbf{= 8175,834}$$
$$\mathbf{S}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{}\mathbf{H}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{\text{ΣH}}}{\mathbf{R}} \right)\mathbf{*}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}$$
H=Hk−Hp=251, 120−730, 700 = −479, 580
Σ=Hk+Hp=251, 120+730, 700 = 981, 820
$$\mathbf{S}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\sqrt{\left( - 479,580 \right)^{2} + \left( 1 + \frac{981,820}{6382000} \right)\mathbf{*}{8161,630}^{\mathbf{2}}}$$
$$\sqrt{229920,250 + 66622452,020}\mathbf{= 8176,330}$$
Zad. 3
Poziom punktu geodezyjnego P wynosi Hp= 135,920 m. Na wysokości i= 10,250 m nad tym punktem ustawiono centrycznie dalmierz i pomierzono nim odległość S= 7620,435 m do lustra znajdującego się na wysokości w= 8,420 m nad punktem K. Kąt pionowy αob.= 4°25’38’’ zaobserwowano z poziomu instrumentu do lustra, przy czym współczynnik refrakcji wynosi
k= 0,13. Przyjąć R= 6382km. Obliczyć:
- rzut odległości skośnej na poziom odniesienia (d),
- rzut odległości skośnej na poziom instrumentu (D),
- rzut centrów punktów geodezyjnych (Sc).
$$\mathbf{\Delta}\mathbf{h = S*}\sin{\mathbf{\alpha}^{\mathbf{\text{ob}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{S}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{R}}\left( \mathbf{1 - k} \right)\mathbf{-}\frac{\left( \mathbf{S*}\sin\mathbf{\alpha}^{\mathbf{\text{ob}}} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{R}}}$$
$$\mathbf{h} = 7620,435\ *\sin{425'38''*\left( 1 - 0,13 \right) - \frac{\left( 7620,435*\sin{425'38''} \right)}{2*6382000}^{2}}$$
$$= 7620,435*0,077192736*0,87 - \frac{346028,92}{12764000}$$
=511, 77 − 0, 03 = 511, 740
hp=Hp+i=135, 920 + 10, 250=146, 170
h=hk−hp
hk=h+hp=511, 740 + 146, 170 = 657,910
Σh = hk+hp=657, 910 + 146, 170=804,080
$$\mathbf{d = \ }\sqrt{\left( \mathbf{S}^{\mathbf{2}}\mathbf{- \ }\mathbf{h}^{\mathbf{2}} \right)\left( \mathbf{1 -}\frac{\mathbf{}\mathbf{h}}{\mathbf{R}} \right)}$$
$$\mathbf{d} = \ \sqrt{\left( {7620,435}^{2} - \ {511,740}^{2} \right)\left( 1 - \frac{804,080}{6382000} \right)}$$
$$= \sqrt{\left( 58071029,590 - 261877,828 \right)\left( 0,999874008 \right)} =$$
=7602, 754
D = $\sqrt{\left( \mathbf{S}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{h}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{\ }\left( \mathbf{1 -}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{R}} \right)}$
$$\mathbf{D} = \ \sqrt{\left( {7620,435}^{2} - \ \ {511,740}^{2} \right)\left( 1 - \frac{511,740}{6382000} \right) =}$$
$= \sqrt{\left( 58071029,590 - 261877,828 \right)\left( 0,999919815 \right)} =$
=7602, 928
$$\mathbf{S}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{}\mathbf{H}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{\text{ΣH}}}{\mathbf{R}} \right)\mathbf{*}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}$$
hk=Hk+w
Hk=hk−w=657, 910 − 8, 420 = 649,490
H=Hk−Hp=649, 490−135, 920 = 513, 570
Σ=Hk+Hp=649, 490+135, 920 = 785,410
$$\mathbf{S}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\sqrt{\left( 513,570 \right)^{2} + \left( 1 + \frac{785,410}{6382000} \right)\mathbf{*}{7602,754}^{\mathbf{2}}}$$
$$\sqrt{263754,145 + 57808981,850}\mathbf{= 7620,54}\mathbf{7}$$