1.Podać aksjomaty mechaniki klasycznej. Przytoczyć trzy zasady Newtona.

1. Jeśli na punkt materialny nie działa żadna siła lub działa układ sił równoważny zeru, to punkt ten porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowy.

2. Przyspieszenie punktu materialnego jest wprost proporcjonalne do siły działającej na ten punkt, a współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność masy punktu.

3. Dwa punkty materialne oddziałują na siebie siłami o kierunku łączącym te punkty, o tej samej wartości i przeciwnych zwrotach.

4. Oddziaływanie mechaniczne może być siłą traktowaną, jako wektor przesuwny związany z prostą lub momentem traktowanym, jako wektor swobodny.

5. Przestrzeń, w której ma miejsce ruch, traktowana jest, jako przestrzeń euklidesowa ogólnie trójwymiarowa.

2. Przy jakich warunkach środek geometryczny, środek ciężkości i środek masy nie pokrywają się?

Środek masy (CM) nie pokrywa się ze środkiem ciężkości, gdy pole grawitacyjne, w którym

się ciało znajduje, jest niejednorodne, to znaczy nie jest w każdym punkcie takie samo.

3. Reguły Pappusa-Guldilna.

Pierwsza reguła: Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstającej przez obrót krzywej płaskiej względem osi leżącej w jej płaszczyźnie i nieprzecinającej jej równa się iloczynowi długości krzywej przez długość okręgu, jaki zatacza przy obrocie jej środek masy.

Druga reguła: Objętość bryły obrotowej powstającej przez obrót figury płaskiej względem osi leżącej w płaszczyźnie figury i nieprzecinającej jej równa się iloczynowi pola powierzchni figury i długości okręgu, jaki w czasie obrotu zatacza jej środek masy.

4. Sformułować twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności.

Moment bezwładności bryły względem dowolnej osi (Ox, Oy, Oz) równa się sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej osi i przechodzącej przez środek masy (Cx, Cy, Cz) oraz iloczynu masy bryły przez kwadrat odległości obu osi.

Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami. Np. IZ1=IZ+md2 IZ=?x2dm dm=(m/l)dx

5. Ile wynosi moment bezwładności kwadratu o krawędzi a względem osi przechodzącej przez środek pod kątem alfa do krawędzi?

6. Co rozumiemy pod pojęciem ciała kulistego?

Ciało kuliste jest to ciało, którego środek jest równooddalony od każdego punktu znajdującego się na obwodzie.

7. Co to jest promień bezwładności ciała? Ile wynosi on dla kuli o promieniu r względem średnicy?

Jest to stosunek momentu bezwładności danego ciała względem osi lub płaszczyzny i masy tegoż ciała k=I/m. Znając moment bezwładności kuli względem jej środka, możemy obliczyć moment bezwładności kuli względem płaszczyzny przechodzącej przez jej środek. Moment bezwładności względem środka kuli wyraża się wzorem: IC=(4/5)r5=(m3r2)/5. Natomiast moment bezwładności względem średnicy wyraża się wzorem IX=(2/3)IC

8. Co to jest macierz bezwładności ciała w punkcie? Podać jej dowolną postać dla sześcianu o masie m i krawędzi a.

9. Kierunki główne i główne momenty bezwładności bryły w punkcie.

Układ osi prostokątnych, w którym wszystkie momenty dewiacji się zerują, czyli macierz bezwładności jest diagonalna, nazywamy układem osi głównych. Elementy macierzy diagonalnej w układzie osi głównych nazywamy głównymi momentami bezwładności bryły w punkcie.

10. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił.

Sprowadza się ona do tego, iż zastępujemy dany układ wektorów, równoważnym układem prostszym. Warunkiem równoważności jest, aby wektor główny i moment główny porównywanych układów były jednakowe. Toteż redukcję przeprowadzamy w ten sposób, że obieramy dowolny biegun i wyznaczamy wektor główny i moment główny układu. Z danym układem porównujemy układ złożony z dwóch najprostszych układów podstawowych: jednego wektora i pary wektorów. Układ ten jest równoważny danemu, jeżeli wspomniany wektor jest równy wektorowi głównemu układu, a moment pary wektorów jest równy momentowi głównemu układu. Tak, więc każdy układ wektorów może być zastąpiony przez trzy wektory S, a -a. Redukcja może być przeprowadzona na nie skończenie wiele sposobów, zależnie od obioru bieguna redukcji. Jeżeli za biegun redukcji obierzemy punkt osi centralnej, to w wyniku redukcji układ zastąpiony zostaje skrętnikiem.

11. Podać określenie skrętnika i osi centralnej.

Zmiana bieguna redukcji z punktu O do punktu C, przy której wyeliminowana jest składowa Mn momentu, prowadzi do najprostszego układu oddziaływań mechanicznych, zwanego skrętnikiem. Skrętnikiem, zatem nazywamy układ wektorów-sumy geometrycznej sił oraz sumy geometrycznej momentów- mający tę właściwość, że obydwa wektory lezą na tej samej prostej. Prostą tę nazywamy osią skrętnika

Skrętnik - jest to płaszczyzna zawierająca parę sił, która jest prostopadła (płaszczyzna z parą sił) do siły równej wektorowi głównemu R. Linia działania siły R wchodzącej w skład skrętnika nazywa się osią centralną

12. Podać analityczne warunki równowagi dowolnego układu sił. Przedyskutować przypadki szczególne.

Sprowadza się do trzech równań rzutów sił na dowolne trzy nierównoległe do jednej płaszczyzny osie. Po przyjęciu rzutowania na osie prostokątnego układu współrzędnych Oxyz otrzymamy następujące równania równowagi

   

13. Warunek kratownicy płaskiej i warunek statycznej wyznaczalności.

Warunek statycznej wyznaczalności kratownic płaskich, Aby kratownica była statycznie wyznaczalna, to musi mieć (2*ilość węzłów-3) prętów.

14. Podać geometryczne warunki równowagi płaskiego układu sił.

Aby układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyźnie znajdował się w równowadze, wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu musi być zamknięty.

15. Opis tarcia suchego. Prawo Coulomba.

W przypadku tarcia suchego Coulomba stosunek siły tarcia rozwiniętego do siły nacisku normalnego jest liczbą stałą równą współczynnikowi tarcia rozwiniętego.

16. Co to jest stożek tarcia? Jak wygląda ten stożek dla powierzchni anizotropowych?

Jest to stożek powstały z obrotu wektora R wokół prostej działania reakcji normalnej N, którego tworząca zawiera z osią kąt? Dla powierzchni anizotropowych stożek ten nie jest stożkiem kołowym. W przypadku równowagi ciał chropowatych, reakcja całkowita R jednego ciała na drugie musi leżeć wewnątrz stożka tarcia, a w przypadku tarcia całkowicie rozwiniętego - na powierzchni stożka tarcia.

17. Wymienić zjawiska związane z występowaniem tarcia w układach mechanicznych.

18. Opisać zjawisko zakleszczania w układach z tarciem.

Maksymalne obciążenie w stanie równowagi jest nieograniczone, nazywamy układem zakleszczającym się.

19. Tarcie opasania. Przenoszenie napędu w przekładniach pasowych.

Tarcie opasania Jest to tarcie występujące w czasie opasania bębna przez cięgno. Kąt opasania jest to kąt odpowiadający łukowi, wzdłuż którego cięgno przylega do bębna. Tarcie to zmienia stosunek między siłami przyłożonymi do obu końców cięgna. Stosunek siły przyłożonej do cięgna i ciężaru zawieszonego na drugim jej końcu wyraża się wzorem: Q/P=e gdzie ? - kąt opasania, ? - współczynnik tarcia.

20. Prędkość i przyspieszenie punktu we współrzędnych biegunowych.

Zakładamy, iż pkt. A porusza się w płaszczyźnie OXY i że jego położenie określamy, za pomocą współrzędnych biegunowych "r" i "?". Prędkość "v" tego punktu rozłożymy na dwie składowe "vr" i "v?". Pierwsza z tych składowych skierowana jest wzdłuż promienia "r", a druga w kierunku prostopadłym do tego promienia, w stronę odpowiadającą wzrostowi kąta "

21. Porównać składowe prędkości i przyspieszenia punktu w układzie kartezjańskim, biegunowych i naturalnym.

Zakładamy, iż pkt. A porusza się w płaszczyźnie OXY i że jego położenie określamy, za pomocą współrzędnych biegunowych "r" i "?". Prędkość "v" tego punktu rozłożymy na dwie składowe "vr" i "v?". Pierwsza z tych składowych skierowana jest wzdłuż promienia "r", a druga w kierunku prostopadłym do tego promienia, w stronę odpowiadającą wzrostowi kąta "?". Tak więc: . Natomiast przyspieszenie wyraża się jako:
Przyspieszenie punktu we w układzie naturalnym możemy rozłożyć na dwie składowe: styczną do toru oraz skierowaną wzdłuż normalnej (promienia) do środka. Przyspieszenie normalne liczymy: pN=v2/r - gdzie r - promień krzywizny, przyspieszenie styczne wyraża się jako: . Znając dwie składowe można określić wartość przyspieszenia: p=?(pT2+pN2), oraz kąt jaki tworzy ono z torem: tg?=pN/pT
Ruch obrotowy prędkość w ruchu obrotowym

22. Równania ruchu punktu są: x(t)=cost, y(t)=sint, z(t)=2t Jaki jest promień krzywizny toru?

Promień krzywizny toru wyznaczamy ze wzoru na przyspieszenie normalne. W tym celu należy najpierw wyznaczyć prędkość punktu, przyspieszenie styczne i przyspieszenie całkowite. Ponieważ prędkość jest stała, więc przyspieszenie styczne jest równe zeru, zaś przyspieszenie całkowite równe jest przyspieszeniu normalnemu. Przyspieszenie to jest stałe. Tor punktu ma więc stałą krzywiznę.

23. Zagadnienie odwrotne- opisać ruch punktu pod wpływem siły zależnej od położenia, prędkości i czasu.

Ruch punktu pod wpływem siły zależnej od położenia, prędkości i czasu Ruch pod działaniem siły zależnej od czasu: x=?[?(1/m)F(t)dt]dt+VOXt+XO
Ruch pod działaniem siły zależnej od prędkości t=?dx/(((2/m)/?F(x)dx+C1))+C2

24. Prawo zmienności pędu punktu materialnego.

Iloczyn wektora prędkości i masy nazywamy pędem punktu materialnego. B=mv. Prawo pędu w postaci różniczkowej może służyć do układania różniczkowych równań ruchu na równi z drugim prawem Newtona. W przypadku siły stałej prawo pędu pozwala na szybkie rozwiązanie szczególnych zadań dynamiki bez konieczności pełnego rozwiązywania równań ruchu.

25. Prawo zmienności krętu punktu materialnego.

Prawo zmienności krętu punktu materialnego względem punktu ruchomego. Rozważamy punkt materialny o masie m, który porusza się z prędkością równą "v". Kręt KO równy jest iloczynowi wektorowemu promienia-wektora r poprowadzonego z bieguna O do rozpatrywanego punktu materialnego i pędu mv. Zgodnie z tym otrzymujemy: KO=r x mv. Momentem pędu lub krętem względem osi nazwiemy moment rzutu pędu mv na dowolną płaszczyznę prostopadłą do osi względem punktu O, w którym oś ta przebija wspomnianą wyżej płaszczyznę.
Gdy moment względem pewnego nieruchomego bieguna wypadkowej sił działających na punkt materialny jest równy zeru, wówczas kręt punktu materialnego wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały.

26. Zdefiniować potencjał i energię potencjalną.

Przestrzeń, w której na każdy znajdujący się w niej punkt materialny działa siła nazywa się polem sił. Potencjał pola jest to funkcja odwrotna do funkcji sił. Zarówno funkcja sił jak i potencjał są określone z dokładnością do stałej

27. Prawo zmienności energii kinetycznej punktu materialnego w potencjalnym polu sił.

Prawo zmienności energii w potencjalnym polu sił. Pracę, jaką siły pola wykonują przy przemieszczeniu się punktu materialnego z dowolnego położenia do pewnego obranego położenia zerowego nazywamy energią potencjalną.
Zakładamy iż pkt. materialny przemieści się w polu potencjalnym z położenia A do położenia B. Na pkt. ten działa tylko siła pola potencjalnego. Praca siły równa jest: LAB=EpA-EpB. Na podstawie prawa zmienności energii kinetycznej możemy napisać: LAB=EkB-EkA. Po przyrównaniu stronami otrzymujemy warunek: E=Ek+Ep=const, oznacza to iż sumę energii kinetycznej i potencjalnej punktu materialnego nazywamy energią mechaniczną pkt. i oznaczamy jako E. Jest to zapis matematyczny prawa zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna punktu poruszającego się w polu potencjalnym ma wartość stałą.

28. Zasada zachowania energii mechanicznej punktu materialnego.

Ep = mgh - energia potencjalna

Ek =0.5*mV 2

- energia kinetyczna

Ep1 + Ek1 = Ep2 + Ek2 - podczas ruchu w polu potencjalnym energia mechaniczna (suma

e. potencjalnej i e. kinetycznej) punktu materialnego zachowuje stał warto Zasada stosowana dla punktu materialnego poruszającego się w polu potencjalnym. Pole sił nazywa się potencjalnym, jeżeli praca w polu sił nie zależy od drogi przejścia, a zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego. Uwaga: Jeżeli występuje tarcie, to ruch nie odbywa się w polu potencjalnym!

29. Zasada zachowania położenia środka masy układu punktów materialnych.

Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak, jakby w tym punkcie była skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie siły zewnętrzne. W szczególnym przypadku, gdy na układ nie działają żadne siły zewnętrzne, środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku.

30. Prawo zmienności pędu układu punktów materialnych.

Pochodna pędu układu punktów materialnych względem czasu jest równa sumie sił zewnętrznych czynnych i reakcji działających na ten układ.