1. Na czym polega redukcja układu sił?

Redukcja układu sił polega na zastąpieniu go innym, prostszym, którego skutek działania na ciało materialne jest identyczny z tym jaki wynika z działania układu niezredukowanego.

1. Tw. o przesuwaniu siły wzdłuż jej prostej działania

Działanie siły na ciało sztywne nie ulegnie zmianie, jeżeli przesunie się siłę wzdłuż jej prostej działania do innego punktu przyłożenia.

1. Do czego redukuje się płaski, dowolny układ sił (w przypadku ogólnym)?

Płaski, dowolny układ sił redukuje się do siły, która jest sumą geometryczną wszystkich sił układu, nazywanej wektorem głównym (${\overrightarrow{W}}_{g})$ oraz pary sił nazywanej momentem głównym układu (${\overrightarrow{M}}_{g})$.

1. Warunkiem koniecznym i ostatecznym równowagi płaskiego dowolnego układu sił jest, aby sumy algebraiczne rzutów sił na każdą z dwóch nierównoległych osi równały się zeru i suma momentów sił względem dowolnie obranego bieguna na płaszczyźnie działania tych sił była równa zeru.

$$\left\{ \begin{matrix} \sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{P}_{\mathbf{\text{ix}}}\mathbf{=}\mathbf{0}} \\ \sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{P}_{\mathbf{\text{iy}}}\mathbf{=}\mathbf{0}} \\ \sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{P}_{\mathbf{i}}\mathbf{d}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\mathbf{0}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

1. Warunki konieczne i wystarczające równowagi dowolnego płaskiego układu sił z uwzględnieniem siły tarcia

$$\mathbf{T}\mathbf{\leq}\mathbf{\text{μN}}\mathbf{\ }\mathbf{i}\mathbf{\ }\left\{ \begin{matrix} \sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{P}_{\mathbf{\text{ix}}}\mathbf{=}\mathbf{0}} \\ \sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{P}_{\mathbf{\text{iy}}}\mathbf{=}\mathbf{0}} \\ \sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{P}_{\mathbf{i}}\mathbf{d}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\mathbf{0}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

1. Tw. o parach sił

• Działanie pary sił na ciało sztywne nie ulegnie zmianie, gdy parę przesuniemy w dowolne położenie w jej płaszczyźnie działania;

• Działanie pary sił na ciało sztywne nie ulegnie zmianie, gdy zmienimy siły pary i jej ramię tak, aby wektor momentu pary został niezmieniony;

• Działanie pary sił na ciało sztywne nie ulegnie zmianie, gdy parę sił przesuniemy na płaszczyznę równoległą do jej płaszczyzny działania;

1. Właściwości siły tarcia statycznego ślizgowego

◊ Siła tarcia statycznego jest to reakcja styczna (styczna składowa całkowitej reakcji), przeciwstawiająca się przesunięciu ciał względem siebie.

Największa wartość siły przesuwającej, która przy danym nacisku jeszcze nie naruszy stanu względnego spoczynku, jest równa co do wartości tzw. rozwiniętej siły tarcia statycznego T_stmax.

gdzie: N – reakcja normalna, μ — współczynnik tarcia statycznego

1. Def. środka ciężkości bryły materialnej

◊ Środkiem ciężkości ciała jest środek sił równoległych $\overrightarrow{Gi}$ przyłożonych do elementarnych cząstek ciała, gdzie $\overrightarrow{Gi}$ to wartość siły ciężkości elementarnej objętości.

Wzory, której wyznaczają położenie środka ciężkości ciała.

1. Def. Momentu siły względem bieguna:

◊ Momentem siły względem bieguna nazywamy wektor ${\overrightarrow{M}}_{0}\left( \overrightarrow{P} \right)$, taki że

${\overrightarrow{M}}_{0}\left( \overrightarrow{P} \right) = \overrightarrow{\rho} \times \overrightarrow{P}$.

Wartość tego wektora jest równa M₀($\overrightarrow{P}$)=P·d, gdzie d=ρ∙sin($\overrightarrow{\rho}$,$\ \overrightarrow{P}$) jest odległością prostej działania siły od punktu.

1. Def. momentu pary sił

◊ Moment pary sił jest to wektor prostopadły do płaszczyzny działania pary, o wartości równej iloczynowi wartości siły i ramienia, o zwrocie takim, aby patrząc od strony strzałki wektora momentu widzieć obrót pary w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (co odpowiada prawoskrętnemu układowi współrzędnych);

lub

◊ Iloczyn wektorowy wektora $\overrightarrow{r}$ i siły $\overrightarrow{F}$ na którą wektor $\overrightarrow{r}$ jest skierowany:

$\overrightarrow{\mathbf{M}}\left( \overrightarrow{\mathbf{F}\mathbf{,}}{\overrightarrow{\mathbf{F}}}^{\mathbf{'}} \right)\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{\times}\overrightarrow{\mathbf{F}}$

1. Torem lub trajektorią punktu nazywamy linię ciągłą, będącą miejscem geometrycznym kolejnych położeń punktu w przestrzeni. Tor może być krzywą płaską lub przestrzenną.

◊ Ruch punktu określa się przez podanie prawa ruchu. Prawo (równanie) ruchu punktu ustala zależność położenia punktu w przestrzeni od czasu.

1. Sposoby określania ruchu punktu

• wektorowy – podanie dla każdej chwili czasu t wektora – promienia wodzącego $\overrightarrow{r}$. Zależność $\overrightarrow{r}$ od czasu t może być przedstawiona w postaci wektorowego równania ruchu: $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{r}(t)$. Promień wodzący można wyrazić przez współrzędne kartezjańskie i wektory jednostkowe $\overrightarrow{i}$,$\ \overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ osi współrzędnych:

$$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{i}x + \overrightarrow{j}y + \overrightarrow{k}z$$

• przez podanie współrzędnych kartezjańskich jako funkcji czasu, czy tzw. równań skończonych ruchu :

$$\left\{ \begin{matrix} x = f_{1}\left( t \right) \\ y = f_{2}\left( t \right) \\ z = f_{3}(t) \\ \end{matrix} \right.\ $$

• naturalny – przez podanie toru i współrzędnej krzywoliniowej wzdłuż toru, określającej sposób poruszania się punktu po torze

• przez podanie innych współrzędnych krzywoliniowych jako funkcji, np. biegunowych, walcowych i sferycznych

1. Klasyfikacja ruchu punktu.

Ze względu na tor ruch punktu można podzielić na:

• ruch prostoliniowy

• ruch krzywoliniowy (płaski lub przestrzenny)

Ze względu na sposób poruszania się po torze ruch punktu można podzielić na:

• ruch jednostajny

• ruch jednostajnie zmienny

• ruch zmienny

• ruch okresowy

1. Co to są stopnie swobody bryły?

Liczbę niezależnych współrzędnych, potrzebnych do określenia położenia punktu bryły w przestrzeni, nazywamy liczbą stopni swobody. Liczbę stopni swobody określa się następująco:

S=3n-k, gdzie k- liczba równań niezależnych, a n- liczba punktów układu.

1. Rodzaje ruchów bryły:

• postępowy

• obrotowy

• płaski

• kulisty

• dowolny

1. Def. prędkości i przyspieszenia punktu.

◊ Przyrost wektora $\overrightarrow{r}$ do przedziału czasu t, w czasie którego nastąpiło przemieszczenie punktu, jest wektorem prędkości średniej ${\overrightarrow{V}}_{sr}$

${\overrightarrow{V}}_{sr} = \frac{\overrightarrow{r}}{t}$.

Wektor prędkości punktu w danej chwili jest równy pochodnej wektora promienia wodzącego względem czasu:

$\overrightarrow{V} = \operatorname{}\frac{\overrightarrow{r}}{t} = \frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}$.

◊ Przyrost prędkości $\overrightarrow{v}$ do t nazywamy przyspieszeniem średnim.

${\overrightarrow{a}}_{sr} = \frac{\overrightarrow{v}}{t}$.

Przyspieszenie chwilowe punktu jest równe pierwszej pochodnej prędkości lub drugiej pochodnej wektora promienia wodzącego względem czasu.

$\overrightarrow{a} = \operatorname{}\frac{\overrightarrow{v}}{t} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \frac{d^{2}\overrightarrow{r}}{\text{dt}}$.

1. II prawo dynamiki Newtona:

Jeżeli na swobodny punkt materialny działa siła, to nadaje mu ona przyspieszenie proporcjonalne do wartości tej siły, o tym samym kierunku i zwrocie.

$$\overrightarrow{P} = m \bullet \overrightarrow{a}$$

$\overrightarrow{P}$ – działająca siła, $\overrightarrow{a}$- przyspieszenie punktu

1. Dynamiczne równanie ruchu punktu materialnego we współrzędnych kartezjańskich:

$$m \bullet \overrightarrow{a} = \sum_{i = 1}^{n}{\overrightarrow{P_{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{matrix} \text{\ m}\ddot{\text{x\ }}\ = \sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{P_{\text{ix}}} \\ m\ddot{\text{y\ }}\ = \sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{P_{\text{iy}}} \\ m\ddot{\text{z\ }}\ = \sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{P_{\text{iz}}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ }}$$

Gdzie $\overrightarrow{P_{\text{ix}}}$,$\ \overrightarrow{P_{\text{iy}}}\ \overrightarrow{P_{\text{iz}}}$ , $\ddot{\text{x\ }}\ddot{\text{y\ }}\ddot{\text{z\ }}$ są odpowiednio miarami rzutów siły P i przyspieszenia a na osie współrzędnych prostokątnych.

1. Zasada d’Alemberta:

W czasie ruchu dowolnego układu punktów materialnych siły rzeczywiste działające na punkty tego układu równoważą się z odpowiednimi siłami bezwładności.

1. Zasada pędu i popędu:

$$\int_{V_{1}}^{V_{2}}{d\left( m\overrightarrow{V} \right) = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\overrightarrow{P}}\text{\ dt}$$

$$mV_{2} - mV_{1} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\overrightarrow{P}\text{\ dt\ }$$

Przyrost geometryczny pędu w pewnym czasie równa się popędowi sił działających w tym czasie.

1. Zasada zachowania pędu:

Jeżeli $\overrightarrow{P} = 0$ to mV₂ = mV₁ tzn. jeżeli układ sił działających na punkt materialny pozostaje w równowadze to pęd punktu jest stały.

1. Def. pracy siły

◊ Praca siły $\overrightarrow{P}$ stałej co do wartości i kierunku na przemieszczeniu $\overrightarrow{S}$ wynosi $L = \overrightarrow{\text{P\ }} \bullet \overrightarrow{S}$. Jest to iloczyn wektora siły i wektora przesunięcia punktu jej przyłożenia.

1. Def. energii kinetycznej:

◊ Wyrażenie $\frac{1}{2}mv^{2}$ nazywamy energią kinetyczną punktu materialnego o masie m i poruszającego się z prędkością$\overrightarrow{\text{\ v}}$.

1. Zasada równowartości energii i pracy:

Przyrost energii kinetycznej w pewnym przedziale czasu t jest równy sumie siły zewnętrznych (czynnych i reakcji) działających w tym czasie.