3. Prędkość punktu jako pochodna promienia-wektora

Położenie poruszającego się w przestrzeni punktu A określamy za pomocą promienia-wektora r poprowadzonego z nieruchomego punktu, np. z początku O obranego układu współrzędnych (rys. 11.7). Ponieważ promień-wektor r ulega zmianie z upływem czasu, przeto jest on pewną wektorową funkcją czasu t. Na rysunku 11.7 przedstawiony został promień-wektor r(t) wyznaczający położenie punktu A w chwili t oraz promień-wektor r(t+Δt) odpowiadający chwili t+Δt, ■» poruszający się punkt zajmuje położenie A1. Na rysunku tym przez Δr oznaczono geometryczny Δr promienia-wektora w przedziale czasu Δr, czyli Δr=r(t+Δt)-r(t). Dzieląc Δr przez odpowiedni przyrost czasu Δt, otrzymujemy nowy wektor Δr/Δt ktory jak na rys. 11.7 skierowany jest wzdłuż cięciwy AA1. Łatwo zaznaczyć, że wektor ten byłby równy prędkości badanego punktu, w przypadku gdyby punkt ten w przedziale od t do t+Δt poruszał się ruchem jednostajnym wzdłuż wspomnianej cięciwy. Z tego powoduu nazwiemy wektor (b) prędkością średnią punktu A w przedziale czasu Δt. Vsr=Δr/Δt

Z powyższego wynika, że pochodna promienia-wektora r względem czasu t ma taki sam kierunek i taką samą wartość bezwzględną jak zdefiniowana w poprzednim paragrafie prędkość v punktu A w chwili t. Oba te wektory, tj. v i dr/dt są wobec tego sobie równe, czyli V=dr/dt=r(t) Tak więc prędkość punktu równa jest pochodnej geometrycznej względem czasu promienia wektora r(t) tego punktu.

4. Przyspieszenie punktu

Gdy punkt A porusza się w przestrzeni, jego prędkość v zmienia w ogólnym przypadku ruchu swą wartość i swój kierunek, czyli jest pewną wektorową funkcją czasu t. Na rysunku 11.11 przedstawione zostały dwa położenia poruszającego się punktu, odpowiadające chwilom t i t1 = t + Δt. Prędkości rozpatrywanego punktu w tych chwilach oznaczone zostały odpowiednio przez v i v1.

Od chwili t do chwili t1, tzn. w ciągu czasu Δt, prędkość punktu doznała pewnego przyrostu geometrycznego Δv, przy czym Δv = v1 —v . Dla wyznaczenia tego przyrostu wektory v i v1 przesunięte zostały równolegle tak, że ich początki znalazły się w początku O nieruchomego układu współrzędnych. Końce tych wektorów leżą na linii oznaczonej na rys. 11.11 przez l, która jest hodografem prędkości badanego punktu A.

5. Para sił i moment pary sił

Rysunek 3.4 przedstawia dwie równoległe i przeciwnie skierowane siły P i P' o równych wartościach liczbowych. Mamy więc z założenia P' = P, czyli P’ =-P. Takie dwie siły będziemy nazywać parą sil. Zgodnie z poprzednim, siły tworzące parę nie mają wypadkowej, ale i nie równoważą się, gdyż nie działają wzdłuż jednej pro-tej. Para sił działając na ciało materialne wywołuje jego obrót. Na rysunku 3.4 oznaczono przez a odległość między liniami działania sił tworzących parę. Odległość ta nosi nazwę ramienia pary sił.

Wprowadzimy teraz pojęcie momentu pary sil, określającego działanie obrotowe pary na ciało materialne. Otóż momentem pary sił P i — P nazwiemy wektor M, którego wartość bezwzględna równa jest iloczynowi wartości liczbowej jednej z sił tworzących parę oraz ramienia tej pary. Wektor M poprowadzimy z punktu O (rys. 3.5) prostopadle do płaszczyzny tej pary, tj. płaszczyzny, w której leżą linie działania sił P i — P. Wektor M skierowany jest w ten sposób, aby dla obserwatora patrzącego z jego końca na płaszczyznę pary kierunek obrotu, który stara się wywołać dana para sił, był przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Zgodnie z powyższym mamy M = Pa. (3.7) gdzie a oznacza ramię pary sił. Ponieważ w tym rozdziale rozpatrywać będziemy pary sił działające tylko w jednej płaszczyźnie, wektory przedstawiające momenty tych par będą do siebie wszystkie równoległe. Dla pełnego określenia momentu pary sił M wystarczy w tym przypadku podanie jego miary względem osi z prostopadłej do płaszczyzny pary (rys. 3.5). Jeżeli przez M ozna-czymy wspomnianą miarę względną, to M=±Pa. (3.8)

Znak plus lub minus w powyższym wzorze należy wybrać w zależności od tego czy wektor M jest zgodnie, czy też przeciwnie skierowany do obranej osi z.

6. Moment siły względem punktu

Na rysunku 2.29 przedstawiona jest siła P przyłożona do pewnego ciała materialnego. Ramieniem silyP względem dowolnie obranego punktu O nazwiemy odległość h linii działania l tej siły od punktu O. Z określenia tego wynika, że ramię siły względem punktu jest równe zeru wtedy, gdy linia działania siły przechodzi przez dany punkt. Wprowadzimy teraz pewne nowe pojęcie związane z pojęciem siły, a mianowicie pojęcie momentu siły względem punktu. Otóż momentem siły względem punktu O nazwiemy wektor, którego wartość bezwzględna równa jest iloczynowi wartości liczbowej siły P i ramienia tej siły względem punktu O. Wektor ten, który oznaczymy przez M0, poprowadzimy z punktu O prostopadle do płaszczyzny przesuniętej przez linię działania siły oraz przez punkt O i skierujemy w ten sposób, aby dla obserwatora patrzącego z jego końca na tę płaszczyznę kierunek obrotu, który siła P stara się wywołać względem punktu O, był przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara (rys. 2.30). Zgodnie z wyżej podanym określeniem, moment siły nie zależy od punktu przyłożenia siły na jej linii działania, a wartość bezwzględną momentu określa wzór |M0| = Ph, z którego wynika, że moment siły jest równy zeru wtedy, gdy P = 0 lub h = 0, tzn. gdy siła ;e>t równa zeru lub gdy jej linia działania przechodzi przez punkt O, względem którego wyznaczamy moment.

7. Przyspieszenie Coriolisa

Zajmiemy się teraz szczegółowiej przyspieszeniem Coriolisa. Jak wynika z pc=2w x vr, przy-spieszenie to jest prostopadłe do prędkości względnej vr punktu A oraz do prędkości kątowej co układu ruchomego (rys. 15.13a). Iloczyn wektorowy wo x vr może być interpretowany jako prędkość końca D wektora vr w ruchu obrotowym tego wektora wokół osi przechodzącej przez jego początek. Prędkość kątowa tego ruchu równa jest prędkości kątowej ruchomego układu odniesienia (rys. 15.13b). Z interpretacji tej wynika praktyczna wskazówka, z której można korzystać przy wyznaczaniu kierunku przyspieszenia Coriolisa. Obracamy mianowicie myślowo — w sposób wyżej opisany — wektor prędkości względnej vp i ustalamy, w jakim kierunku porusza się wówczas koniec tego wektora. Ten sam kierunek ma również przyspieszenie Coriolisa pc, które jak wynika ze wzoru (15.20) równe jest podwojonej prędkości końca wektora vr.

Oznaczmy przez a kąt, który prędkość względna vr tworzy z prędkością kątową co układu ruchomego (rys. 15.13). Na podstawie pc=2w x vr znajdujemy (15.22) pc=2w vr sin α

Z powyższego wzoru wynika, że gdy prędkość kątowa co ruchomego układu odniesienia równa jest zeru, czyli gdy układ ten porusza się ruchem postępowym, wówczas przyspieszenie Coriolisa także równa się zeru. Opierając się więc na ogólnym równaniu (15.21) możemy stwierdzić, co następuje: W przypadku gdy ruchomy układ odniesienia znajduje się w ruchu postępowym, przy-spieszenie Coriolisa równe jest zeru i przyspieszenie bezwzględne punktu równe jest wówczas sumie geometrycznej przyspieszenia unoszenia i przyspieszenia względnego. Ze wzoru (15.22) wynika, iż przyspieszenie Coriolisa równe jest także zeru gdy vr=0 lub gdy α = 0. W pierwszym z tych przypadków prędkość punktu względem układu ruchomego równa jest zeru, a w drugim prędkość ta jest równoległa do prędkości kątowej co.

8. Pęd, czyli ilość ruchu punktu materialnego. Impuls siły

Równaniu dynamicznemu wynikającemu z drugiego prawa Newtona, tj. mp=P, można nadać nieco inną postać. Przyspieszenie p punktu materialnego równe jest pochodnej geometrycznej względem czasu prędkości v, czyli p=dv/dt Biorąc to pod uwagę mamy m dv/dt=P Ponieważ masa m jest wielkością stałą, tj. niezależną od czasu, możemy wprowadzić ją pod znak pochodnej. Otrzymujemy wówczas d(mv)/dt=P

Występujący w powyższym równaniu wektor mv, tj. wektor równy iloczynowi masy i prędkości, nazwiemy pędem albo ilością ruchu punktu materialnego. Z równania (5.1) wynika więc, że pochodna geometryczna względem czasu pędu równa jest sile działającej na dany punkt materialny.

Pęd mv jest wektorem mającym ten sam kierunek co prędkość punktu materialnego czyli wektorem skierowanym wzdłuż stycznej do toru (rys. 5.1). Składowe tego wektora w prostokątnym układzie współrzędnych są równe odpowiednio mvx , mvy, i mvz. Z równania wektorowego (5.1) otrzymujemy trzy następujące równania dotyczące tych składowych d/dt (mvx) = PX d/dt (mvy,) = P, , d/dt (mvz,) = Pz.

Z powyższych równań wynika, że pochodna względem czasu składowej pędu wzdłuż dowolnej nieruchomej osi równa jest składowej siły P wzdłuż tej samej osi. Gdy na punkt materialny nie działa żadna siła lub działają siły równoważące się, wówczas z równania d(mv)/dt=P wynika, że pęd tego punktu jest wielkością stałą. Mamy wówczas mv=const. Podobnie, gdy siła P jest prostopadła do pewnej nieruchomej osi, np. do osi Ox, wtedy Px=0 i z pierwszego równania (5.2) otrzymujemy mvx = const, Co oznacza, że składowa pędu punktu materialnego wzdłuż osi Ox nie ulega zmianie.

9.Energia kinetyczna pkt materialnego

T=1/2mv²= 1/2m(vx²+vy²+vz²) W powyższym wzorze v_x, v_y i v_z oznaczają składowe prostokątne prędkości v. Biorą pod uwagę, że Pcos αds=dL, gdzie dL oznacza elementarną pracę siły P, równanie (4.41) przedstawić możemy w nastepującej postaci: d(mv²/2)= dL Tak więc elementarny przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w czasie dt jest elementarnej pracy wypadkowej sil działających na ten punkt. To= mv₀²/2 Z lewej strony równania występuje przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w czasie od t₀ do t, a z prawej strony praca, którą wykonuje wypadkowa wszystkich sił działających na rozpatrywany punkt materialny w tym samym czasie. Ponieważ praca siły wypadkowej równa jest sumie prac poszczególnych sił działających na rozpatrywany punkt materialny, przeto z równania wynika następujące twierdzenie, zwane twierdzeniem o energii kinetycznej: Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym przedziale czasu równy jest sumie prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt.

10. Moment pędu. czyli kręt punktu materialnego

Rozważmy punkt materialny o masie m, który porusza się z prędkością równą v. Na rysunku 5.5 przedstawiono wektor pędu mv tego punktu oraz zaznaczono pewien nieruchomy biegun O. Utwórzmy wektor K₀ równy momentowi względem bieguna O pędu mv rozpatrywanego punktu materialnego. Moment ten zdefiniujemy podobnie jak siły, tzn. jako wektor prostopadły do płaszczyzny przesuniętej przez biegun O oraz przez wektor pędu mv. Kierunek wektora K₀ obierzemy w ten sposób, aby dla obserwatora, patrzącego od strony końca tego wektora, ruch rozważanego punktu odbywał się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Jeżeli idzie o wartość bezwzględną wektora Ko, to przyjmiemy ją jako równą iloczynowi wartości bezwzględnej pędu mv i ramienia h tego ostatniego wektora względem bieguna O (rys. 5.5). Mamy więc

(5.11)

\Ko\ = \mv\h.

Określony w wyżej podany sposób wektor Ko nazwiemy momentem pędu albo krótko krętem punktu materialnego względem bieguna O.

Ocierając się na wynikach dotyczących momentu siły, możemy stwierdzić od razu, że kręt Ko równy jest iloczynowi wektorowemu promienia-wektora r poprowadzonego z bieguna O do rozpatrywanego punktu materialnego i pędu mv (rys. 5.5). Zgodnie z powyższym otrzymujemy: Ko = rxmv.