MECHANIKA TECHNICZNA – TEORIA

ZAKRES PRZEDMIOTU MECHANIKI TECHNICZNEJ

Mechanika techniczna

obejmuje dwa zasadnicze działy:

mechanikę ogólną i wytrzymałość materiałów.

Mechanika ogólna, zwana również mechaniką teoretyczną, zajmuje się ustalaniem
ogólnych praw ruchu i równowagi ciał materialnych oraz zastosowaniem tych praw do
pewnych wyidealizowanych schematów ciał materialnych, takich jak: punkt materialny i
ciało doskonale sztywne.

Wytrzymałość materiałów jest nauką stosowaną, zajmującą się badaniem zjawisk
występujących w ciałach rzeczywistych (odkształcalnych). Głównym jej zadaniem jest
określenie wytrzymałości i sztywności urządzenia, konstrukcji lub elementu maszyny, czyli
określenie odporności na zniszczenie.

Mechanikę ogólną można podzielić na kinematykę i dynamikę. Kinematyka

zajmuje się ilościowym badaniem ruchu ciał, bez uwzględniania czynników fizycznych,
wywołujących ten ruch, jest więc pewnego rodzaju geometrią ruchu w czasie. W
dynamice rozważa się zachowanie ciał materialnych w zależności od działających na nie
sił.
Dynamika dzieli się na statykę i kinetykę. Statyka jest szczególnym przypadkiem
dynamiki polegającym na tym, że siły działające na ciało materialne znajdują się w
równowadze, co oznacza, że ciało jest w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym.
Kinetyka jest tym działem dynamiki, który ustala prawa zachowania się ciał materialnych,
na które działa niezrównoważony układ sił. Ciała materialne znajdują się wtedy w ruchu.

Mechanika ogólna jest podstawową dyscypliną do badania stanu równowagi lub

ruchu ciała doskonale sztywnego (nieodkształcalnego). Mechaniką ciał stałych
odkształcalnych zajmują się takie działy mechaniki technicznej, jak wytrzymałość
materiałów, teoria sprężystości, teoria plastyczności, reologia. Podobnie badaniem ruchu
cieczy i gazów zajmuje się mechanika płynów, która w ramach hydromechaniki zajmuje
się badaniem ruchu cieczy, a w ramach aeromechaniki - badaniem ruchu gazów.

ZARYS HISTORII MECHANIKI

Mechanika jako nauka ścisła powstała w Grecji i Egipcie w IV wieku p.n.e. Jej twórcami
byli Arystoteles (384 - 322 p.n.e.) i Archytas z Tarentu (IV wiek p.n.e.). Prace ich dotyczyły
maszyn prostych, stosowanych w technice uzbrojenia i budownictwie. Punktem zwrotnym
w rozwoju mechaniki były prace Archimedesa (287 - 212 p.n.e.). Ustanowił on prawa
składania i rozkładania sił równoległych, teorię dźwigni oraz określił środki ciężkości
różnych figur geometrycznych i brył. Od Ptolemeusza - Klaudiusza (II wiek n.e.) aż do
czasów Leonarda da Vinci (1452 - 1519) wystąpił pewien zastój w rozwoju mechaniki.
Leonardo da Vinci zajmował się zagadnieniami dotyczącymi równi pochyłej, tarcia i
bloków. Jemu należy przypisywać sformułowanie prawa równoległoboku i wprowadzenie
pojęcia momentu siły.
Nowe problemy układów odniesienia w mechanice postawił polski astronom Mikołaj
Kopernik (1473 - 1543), autor słynnego dzieła "De Revolutionibus Orbitum Coelestium" i
twórca zasady równoważności ruchów względnych w układzie heliocentrycznym. Dalszy
postęp w rozwoju mechaniki jest związany z Galileuszem (1564 - 1642), który wprowadził
pojęcie przyspieszenia, opracował prawo bezwładności, prawa ruchu w polu ciężkości,
zasady zachowania prac w maszynach prostych, rozwiązał problem wahadła etc.

Trwałe miejsce w historii mechaniki mają również: Johan Kepler (1571 - 1630), który
sformułował trzy prawa ruchu planetarnego i Kartezjusz (1596 - 1650), który wprowadził
prostokątny układ osi współrzędnych, zasadę prac wirtualnych i rozwiązania rachunkowe
zagadnień statycznych. Natomiast zasługą Christiana Huygensa (1629 - 1695) jest
określenie pojęcia reakcji, opracowanie teorii wahadła fizycznego i rewersyjnego,
przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym oraz uderzenia sprężystego.
Wielką postacią mechaniki jest Isaac Newton (1642 - 1727), który zebrał i
uporządkował naukę mechaniki w epokowym dziele pt. "Philosophiae naturalis principia
mathematica", dając podstawy mechaniki klasycznej, opartej ściśle na faktach
doświadczalnych. Odkrył prawa powszechnego ciążenia i klasycznej dynamiki. Jego
rozwiązania dotyczą mechaniki punktu i układu swobodnego.
Uczonym, który w zasadzie zakończył opracowanie praw statyki, był Pierre Varignon
(1654 - 1722). Pojęcie energii kinetycznej i metody jej zastosowania wprowadził Jan
Bernoulli (1667 - 1748). Inni wybitni uczeni to: Michał Łomonosow (1711 - 1765) - twórca
zasady zachowania masy, Leonard Euler (1707 - 1783) - wprowadził analityczne metody
rozwiązywania zagadnień ruchu, mechaniki ciała sztywnego, obrotu ciała sztywnego wokół
punktu nieruchomego etc., Jean D'Alembert (1717 - 1783) - odniósł prawa statyki do
dynamiki, Ludwig Lagrange (1737 - 1813) - twórca mechaniki analitycznej, Pierre Laplace
(1743 - 1827) - zajmował się mechaniką ciał niebieskich, Michał Ostrogradski (1801 -
1861) i William Hamilton (1805 - 1865) - twórcy zasad wariacyjnych.
Uzupełnieniem mechaniki jest mechanika kwantowa, którą zapoczątkowali: Max
Planck (1858 - 1947), Erwin Schrödinger (1887 - 1961) i Paul Dirac (ur. 1902). Twórcą
mechaniki relatywistycznej, opartej na teorii względności, jest Albert Einstein (1879 -
1955).
Spośród polskich uczonych szczególnie zasłużonych w rozwoju mechaniki należy
wymienić: Maksymiliana Tytusa Hubera i Stefana Banacha.

Zasady statyki

Statyka jako dział mechaniki ogólnej wykorzystuje następujące zasady (aksjomaty),
których się nie udowadnia, a przyjmuje jako pewniki.

Zasada pierwsza (zasada równoległoboku). Działanie dwóch sił

P

1

i

P

2

można zastąpić

działaniem jednej siły

R

, działającej na ten sam punkt, będącej przekątną równoległoboku

ABCD

zbudowanego na wektorach sił

P

1

i

P

2

.

Wypadkową

R

wyznaczamy ze wzoru

W przypadku, gdy siły

P

1

i

P

2

działają wzdłuż jednej prostej i są zgodnie skierowane,

wartość wypadkowej wynosi

Natomiast, gdy siły są przeciwnie skierowane i

P

2

=

P

1

, to

Zasada druga. Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły, to równoważą się one tylko wtedy,
gdy mają tę samą linię działania, te same wartości liczbowe i przeciwne zwroty. Aby siły te
równoważyły się, muszą być spełnione zależności

Zasada trzecia. Skutek działania dowolnego układu sił przyłożonego do ciała nie zmieni
się, jeśli do tego układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił,
czyli tzw. układ zerowy. Wynika stąd następujący wniosek: każdą siłę działającą na ciało
sztywne można przesunąć dowolnie wzdłuż jej linii działania.

Zasada czwarta (zasada zesztywnienia). Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w
równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w równowadze
ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne), identyczne z poprzednim, pod działaniem
tego samego układu sił. Wynika stąd wniosek, że warunek konieczny i wystarczający do
równowagi ciała sztywnego jest tylko warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym do
równowagi ciała odkształcalnego.

Zasada piąta (zasada działania i przeciwdziałania). Każdemu działaniu towarzyszy
równe co do wartości, o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej
przeciwdziałanie.

Zasada szósta (zasada oswobodzenia od więzów). Każde ciało nieswobodne można
myślowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozważać
jako ciało swobodne znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych (reakcji
więzów).

Stopnie swobody,
więzy i ich oddziaływanie

Każde ciało doskonale sztywne mogące poruszać się w przestrzeni nazywamy ciałem
swobodnym.
Stopniem swobody nazywa się możliwość wykonania ruchu ciała niezależnego od innych
ruchów.
Punkt materialny ma na płaszczyźnie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody.
Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyźnie trzy, a w przestrzeni sześć stopni swobody.

Trzy stopnie swobody ciała sztywnego na płaszczyźnie oznaczają możliwość dwóch
przesunięć niezależnych w kierunku osi

x

i

y

oraz możliwość obrotu ciała w płaszczyźnie

Oxy

. Sześć stopni swobody ciała w przestrzeni oznaczają możliwość trzech niezależnych

przesunięć w kierunku osi

x

,

y

i

z

oraz możliwość niezależnego obrotu ciała wokół tych osi.

Więzami nazywamy warunki ograniczające ruch ciała w przestrzeni.

Wprowadzenie więzów jest równoznaczne z działaniem na ciało sił biernych, czyli reakcji.
Najczęstszymi sposobami podparcia ciał sztywnych są: przegub walcowy, przegub kulisty,
podpora przegubowa stała, zawieszenie na cięgnach wiotkich, oparcie o gładką i
chropowatą powierzchnię, utwierdzenie całkowite, podparcie na prętach zamocowanych
przegubowo na obu końcach.

Przegub walcowy.

Ciało sztywne jest osadzone na walcowym sworzniu przechodzącym przez kołowy otwór
wykonany w tym ciele. Po pominięciu siły tarcia jako małej w porównaniu z siłą normalną

R

do powierzchni styku linia działania tej reakcji będzie przechodziła przez oś sworznia.

Występujące dwie reakcje

R

x

i

R

y

stanowią dwie niewiadome i umożliwiają wyznaczenie

wartości reakcji

R

i jej kierunku.

Przegub kulisty.

W celu unieruchomienia punktu podparcia w przestrzeni stosuje się przeguby kuliste,
które krępują swobodę przesunięć, ale umożliwiają obrót wokół dowolnej osi. Ich
zakończenie jest wykonane w kształcie kuli, która jest osadzona w łożysku kulistym. W
wyniku pominięcia sił tarcia w przegubie kulistym powstaje reakcja

R

o dowolnym kierunku

w przestrzeni, przechodząca przez środek kuli i mająca trzy niezależne składowe

R

x

,

R

y

i

R

z

.

Podpora przegubowa przesuwna (rolkowa).

Ponieważ opór przy przesuwaniu takiej podpory w kierunku poziomym jest bardzo mały,
przyjmuje się, że linia działania reakcji jest prostopadła do płaszczyzny poziomej
(przesuwu).

Podpora przegubowa stała.

W przypadku zastosowania podpory przegubowej stałej koniec podparcia ciała sztywnego
może się obracać dookoła osi przegubu, ale nie może się przemieszczać w dwóch
kierunkach. Przy założeniu, że w przegubie nie ma tarcia, linia działania reakcji

R

przechodzi przez punkt

A

. Powstają dwie niezależne od siebie składowe reakcje

R

x

i

R

y

.

Rozważając podporę przegubową stałą w przestrzeni należy zauważyć, że koniec
podparcia

B

nie może się przemieszczać w trzech kierunkach i dlatego występują trzy

niezależne składowe reakcje

R

x

,

R

y

i

R

z

.

Zawieszenie na cięgnach wiotkich.

Podwieszenie ciała za pomocą wiotkich cięgien stwarza tzw. podpory kierunkowe

jednostronne, bo cięgna mogą być tylko rozciągane. Reakcje

S

1

i

S

2

działają na ciało

wzdłuż tych cięgien, zgodnie z rysunkiem.
Oparcie o gładką i chropowatą powierzchnię.

W przypadku oparcia ciała o gładką powierzchnię (styk punktowy) występuje jedna
reakcja

R

A

, prostopadła do powierzchni styku. Jeżeli powierzchnia będzie chropowata, to

wystąpią dwie składowe reakcji

R

A

: normalna do powierzchni

N

i styczna siła tarcia

T

.

Utwierdzenie całkowite.

Gdy chodzi o zupełne unieruchomienie ciała, wtedy stosuje się utwierdzenie całkowite.
Ciało sztywne na płaszczyźnie ma trzy stopnie swobody, a więc wystąpi reakcja

R

o

dwóch składowych

R

x

i

R

y

oraz moment utwierdzenia

M

. Rozważając całkowite

unieruchomienie ciała w przestrzeni, należy zastosować takie utwierdzenie, które
przedstawia sześć więzów. Wystąpi wtedy reakcja

R

o trzech składowych

R

x

,

R

y

i

R

z

oraz

moment utwierdzenia

M

o trzech składowych

M

x

,

M

y

i

M

z

.

Ciało podparte na prętach zamocowanych przegubowo na obu końcach (prętach
przegubowych).

Ciało sztywne można także unieruchomić przez podparcie na prętach zakończonych
przegubami. Jeżeli pominiemy ciężary własne prętów i tarcie w przegubach, to reakcje na
ciało będą działać wzdłuż tych prętów

S

A

,

S

B

i

S

C

, zgodnie z rysunkiem.

Zbieżny układ sił

Układy sił, w których linie działania przecinają się w jednym punkcie nazywamy zbieżnymi
układami sił. Takie układy mogą być płaskie lub przestrzenne.

Płaski układ sił zbieżnych P

1

, P

2

,..., P

n

przyłożonych do punktu

O

można zastąpić siłą

wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie

O

.

W analitycznym sposobie wyznaczania wypadkowej korzystamy z twierdzenia o rzucie
sumy wektorów, według którego rzut sumy geometrycznej wektorów na dowolną oś jest
równy sumie rzutów tych wektorów na tę samą oś. Przyjmując układ współrzędnych

Oxy

,

oznaczamy odpowiednio przez



1

,



2

,...,



n

kąty nachylenia poszczególnych sił do osi

Ox

.

Wypadkowa tych sił działa wzdłuż prostej

l

przechodzącej przez punkt

O

i nachylonej do

osi

Ox

pod kątem

.

Składowe wypadkowej P

x

i P

y

mają postać

Wartość liczbową wypadkowej P i kąt

, który tworzy ona z osią

Ox

, wyznaczamy ze

wzorów

W geometrycznym sposobie wyznaczania wypadkowej należy zbudować wielobok sił, w
którym wektory sił odkładamy równolegle do ich linii działania. Z punktu

O

odkładamy

wektor P

1

, a z jego końca wektor P

2

i tak kolejne wektory aż do P

n

.

Wektor poprowadzony z początku wektora P

1

do końca wektora P

n

jest wypadkową

rozpatrywanego układu sił zbieżnych.

Przestrzenny układ sił zbieżnych P

1

, P

2

,..., P

n

przyłożonych do punktu

O

można zastąpić

siłą wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie

O

Analityczny sposób wyznaczenia wypadkowej przestrzennego układu sił zbieżnych polega
na wyznaczeniu składowych wypadkowej P

x

, P

y

i P

z

w prostokątnym układzie

współrzędnych

Oxyz

Wartość liczbową wypadkowej P oraz jej cosinusy kierunkowe wyznaczamy ze wzorów

W geometrycznym sposobie wyznaczania wypadkowej należy zbudować wielobok sił, w
którym wektory sił odkładamy równolegle do ich linii działania. Wektor poprowadzony z
początku wektora P

1

do końca wektora P

n

jest wypadkową rozpatrywanego układu sił

zbieżnych.

Równowaga płaskiego i przestrzennego
układu sił zbieżnych

Analityczny warunek równowagi (metoda analityczna) płaskiego układu sił zbieżnych
(czynnych i reakcji więzów) brzmi następująco: aby siły zbieżne leżące w jednej
płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych
muszą być równe zeru

Geometryczny warunek równowagi (metoda geometryczna) płaskiego układu sił
zbieżnych brzmi: aby układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyźnie znajdował się
w równowadze, wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu musi być zamknięty.

Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów ciała sztywnego poddanego
działaniu płaskiego układu sił zbieżnych:

a. wydzielić ciało sztywne, którego równowagę rozpatrujemy,

b. narysować siły czynne i reakcje więzów,

c. sprawdzić, czy układ sił jest statycznie wyznaczalny,

d. obrać układ współrzędnych

Oxy

, napisać równania równowagi według powyższych

wzorów i rozwiązać je ze względu na niewiadome (metoda analityczna),

e. narysować zamknięty wielobok sił utworzony ze wszystkich sił rozpatrywanego układu i

wyznaczyć poszukiwane niewiadome (metoda geometryczna).

Analityczny warunek równowagi (metoda analityczna) przestrzennego układu sił
zbieżnych sprowadza się do trzech równań rzutów sił na dowolne trzy nierównoległe do
jednej płaszczyzny osie. Po przyjęciu rzutowania na osie prostokątnego układu
współrzędnych

Oxyz

otrzymamy następujące równania równowagi

Geometryczny warunek równowagi (metoda geometryczna) przestrzennego układu sił
zbieżnych jest spełniony, gdy wypadkowa tych sił będzie równa zeru. Wielobok sił jest
wtedy zamknięty i ma zgodny obieg wektorów sił.

Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów ciała sztywnego poddanego
działaniu przestrzennego układu sił zbieżnych są podobne jak w przypadku płaskiego
układu sił zbieżnych.

Redukcja płaskiego
układu sił

Dowolny układ sił, działających na ciało sztywne, o liniach działania leżących w jednej
płaszczyźnie możemy zastąpić wektorem głównym R, przyłożonym do dowolnie
wybranego środka redukcji

O

oraz momentem głównym M

o

względem środka redukcji

O

.

Wektor główny R jest równy sumie geometrycznej wszystkich sił układu

Wartość wektora głównego oraz kąt

, jaki wektor ten tworzy z osią

Ox

, wyznaczamy

ze wzorów

Moment główny M

o

względem środka redukcji

O

jako początku układu współrzędnych

Oxy

jest równy sumie momentów danych sił układu względem punktu

O

Wektor momentu głównego M

o

jest wektorem o jednej składowej w kierunku wersora k,

czyli prostopadły do płaszczyzny

Oxy

i wektora głównego R.

Wyrażenie

gdzie

F

jest siłą działającą wzdłuż prostej

l

,

a

r

jej ramieniem nazywamy momentem siły

względem dowolnego punktu

O

.

Jest to wektor mający następujące cechy:

·

wartość liczbową równą iloczynowi (

F

·

r

) wartości siły

F

i jej ramienia

r

·

Kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez linię działania siły oraz biegun

·

Zwrot momentu przyjmujemy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej

Wzór na moment główny w prostszej postaci przedstawia się następująco:

gdzie

M

1

,

M

2

,

,

M

n

to poszczególne momenty sił.

Parą sił nazywamy układ dwóch sił równej wartości i równoległych (o jednakowych
kierunkach), lecz o przeciwnych zwrotach.

Iloczyn wartości jednej z sił i ramienia pary nazywamy momentem pary sił.

Warunek równowagi par sił.
Dowolna liczba par sił działających w jednej płaszczyźnie lub w płaszczyznach
równoległych jest w równowadze wtedy, gdy algebraiczna suma ich momentów jest równa
zeru.

Każdą parę sił możemy zastąpić wektorem momentu sił i odwrotnie

 każdy wektor

momentu sił możemy zastąpić parą sił, jeśli tylko iloczyn wartości siły i odległości między
siłami wynosi M.

Moment pary sił uważamy za dodatni, jeżeli para dąży do obrócenia swego ramienia w
stronę przeciwną do ruchu wskazówek zegara. Jeżeli para dąży do obrócenia swego
ramienia w stronę zgodną z ruchem wskazówek zegara, to jej moment uważamy za
ujemny.

Równowaga dowolnego płaskiego układu sił

Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów wszystkich sił na
osie układu są równe zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu

O

płaszczyzny działania sił jest równy zeru.

Jeżeli moment układu sił względem dwóch punktów

A

i

B

jest równy zeru oraz rzut sił na

oś nieprostopadłą do odcinka

AB

łączącego te punkty jest równy zeru, to płaski układ sił

jest w równowadze

Dla równowagi płaskiego układu sił sumy momentów wszystkich sił względem trzech
punktów nie leżących na jednej prostej muszą być równe zeru

Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów ciała sztywnego poddanego
działaniu dowolnego płaskiego układu sił:

a. wydzielić ciało sztywne, którego równowagę rozpatrujemy,

b. narysować siły czynne i reakcje więzów,

c. sprawdzić, czy układ sił jest statycznie wyznaczalny,

d. w metodzie analitycznej napisać równania równowagi i rozwiązać je ze względu na

niewiadome,

e. w metodzie geometrycznej narysować zamknięty wielobok sił, utworzony ze wszystkich

sił rozpatrywanego układu i wyznaczyć poszukiwane niewiadome.

Szczególnym przypadkiem dowolnego płaskiego układu sił jest płaski układ sił
równoległych. Zatem płaski równoległy układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli
spełnione są dwa równania równowagi

Zagadnieniami statycznie wyznaczalnymi nazywamy takie zagadnienia, które dotyczą
równowagi układu sił działających w jednej płaszczyźnie na jedno lub kilka ciał sztywnych
(układ mechaniczny), w których istnieje możliwość wyznaczenia niewiadomych sił.
Niewiadome siły stanowią zwykle reakcje podpór albo siły wzajemnego oddziaływania
wewnątrz rozważanego układu mechanicznego.

W przypadku układu statycznie wyznaczalnego liczba reakcji zastępujących działanie
więzów jest równa liczbie równań równowagi. Jeżeli więzów jest za mało, to dany układ
mechaniczny jest niesztywny. Równowaga takiego układu może być zapewniona w
przypadku spełnienia dodatkowych warunków, które zapewniają układowi odpowiednią
postać geometryczną.

Gdy więzów jest więcej niż potrzeba do unieruchomienia danego układu
mechanicznego, dany układ jest przesztywniony. Wówczas niewiadomych reakcji jest
więcej niż mamy równań równowagi i dlatego niektórych reakcji nie można wyznaczyć
metodami stosowanymi w statyce. Zagadnienia takie nazywamy zagadnieniami statycznie

niewyznaczalnymi.

Do obliczenia niewiadomych sił należy uwzględnić odkształcenia i przemieszczenia
prętów. Uzyskane w ten sposób dodatkowe równania współzależności odkształceń
stanowią zależności o charakterze geometrycznym.

Tarcie
ślizgowe

Tarciem nazywa się zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał.

W przypadku ciała pozostającego w spoczynku na chropowatej powierzchni zależność
między siłą tarcia

T

a naciskiem normalnym

N

wyraża się następująco

gdzie

 współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego).

Jeżeli siła tarcia osiąga swą graniczną wartość, co oznacza, że tarcie jest całkowicie
rozwinięte, to siła tarcia przedstawia się następująco

Kierunek siły tarcia

T

, działającej na ciało znajdujące się w spoczynku, jest przeciwny

do kierunku ruchu, który zaistniałby, gdyby tarcia nie było.
Kąt tarcia jest to maksymalny kąt

, o jaki może się odchylić linia działania całkowitej

reakcji

R

od kierunku normalnej do powierzchni styku i zachodzi następująca zależność

W przypadku ciała ślizgającego się po chropowatej powierzchni siła tarcia jest
skierowana przeciwnie do kierunku ruchu, a jej wartość jest określona zależnością

gdzie



k

 współczynnik tarcia ślizgowego (kinetycznego).

Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów ciał sztywnych poddanych
działaniu płaskich układów sił z tarciem

a. wydzielić ciało sztywne, bądź ciała sztywne, których równowagę rozpatrujemy,

b. narysować siły czynne, reakcje więzów obciążających te ciała i siły tarcia,

c. sprawdzić, czy układ sił jest statycznie wyznaczalny i obrać układ współrzędnych

Oxy

,

d. napisać równania równowagi,

e. napisać równania tarcia,

f. rozwiązać układ równań zestawionych w dwóch ostatnich punktach oraz wyznaczyć

wielkości niewiadome.

Tarcie
toczenia

Tarcie toczenia powstaje przy usiłowaniu przetoczenia walca o ciężarze

G

po poziomej

płaszczyźnie.

Siła tarcia tocznego musi spełniać warunki (przy równowadze walca)

W przypadku toczenia walca wartość siły tarcia tocznego

T

musi być mniejsza od

wartości siły tarcia ślizgowego



N

rozwiniętego, co wyraża się nierównością

gdzie

f

 współczynnik tarcia tocznego,

r

 promień walca.

Tarciem cięgna o krążek nazywamy siły tarcia występujące między powierzchniami
cylindrycznymi i cięgnami na nie nawiniętymi. Związek miedzy napięciami

S

1

i

S

2

w cięgnie

opasującym krążek wyraża się wzorem

gdzie

 współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) między cięgnem a powierzchnią

krążka,

kąt opasania, na którym cięgno przylega do krążka.

Redukcja przestrzennego
układu sił

Dowolny przestrzenny układ sił działających na ciało sztywne możemy zastąpić wektorem
głównym R, przyłożonym do dowolnie wybranego środka redukcji

O

, równym sumie

geometrycznej wszystkich sił układu oraz momentem głównym M

o

, równym sumie

geometrycznej momentów tych sił względem środka redukcji.
Wektor główny obliczamy ze wzoru

lub jeżeli znane są składowe sił w prostokątnym układzie współrzędnych, wektor główny
obliczamy ze wzoru

Wartość wektora głównego oraz jego cosinusy kierunkowe wyznaczamy ze wzorów

Moment główny obliczamy ze wzoru

lub po obraniu początku układu współrzędnych jako środka redukcji, moment główny
obliczamy ze wzoru

Wartość i cosinusy kierunkowe wektora momentu głównego obliczamy ze wzorów

Równowaga przestrzennego
układu sił

Przestrzenny układ sił jest w równowadze, jeżeli sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie
układu równe są zeru i sumy momentów wszystkich sił względem trzech osi układu są
równe zeru.

Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów ciała sztywnego poddanego
działaniu dowolnego przestrzennego układu sił:

a. wydzielić ciało sztywne bądź ciała sztywne, których równowagę rozpatrujemy,

b. narysować siły czynne i reakcje więzów, obciążające te ciała,

c. sprawdzić czy układ sił jest statycznie wyznaczalny i obrać układ współrzędnych

Oxyz

,

d. napisać równania równowagi,

e. rozwiązać układ równań zestawiony w poprzednim punkcie i wyznaczyć wielkości

niewiadome.

Dodatek matematyczny

Rachunek wektorowy

Skalar i wektor

Wielkości występujące w mechanice można podzielić na: skalary i wektory.

Skalar jest to wielkość mechaniczna, którą można jednoznacznie określić za pomocą
jednej liczby rzeczywistej.
Przykładami tych wielkości są: masa, temperatura, czas, praca, energia etc.

Wektor jest to wielkość mechaniczna, którą można przedstawić za pomocą
usytuowanego w przestrzeni odcinka mającego określony kierunek i zwrot.
Przykładami wielkości wektorowych są: siła, prędkość, przyspieszenie etc.

Każdy wektor ma trzy zasadnicze cechy: wartość (moduł), kierunek i zwrot.

Wartością wektora nazywamy długość odcinka AB przedstawiającego ten wektor. Długość
ta jest skalarem i można ją określić jedną liczbą nieujemną.
Kierunek wektora określa linia jego działania.

We współrzędnych kartezjańskich wektor a jest określony równaniem

gdzie:

a

x

,

a

y

i

a

z

- współrzędne wektora, i, j, k - wersory osi.

Wartość wektora a (moduł) jest równa

a cosinusy kątów, jakie wektor a tworzy z osiami współrzędnych wynoszą

Dodawanie i odejmowanie wektorów
Sumowanie dwóch niezerowych wektorów odbywa się na tzw. zasadzie równoległoboku,
która głosi, że wektorem równoważącym działanie dwóch innych wektorów jest przekątna
równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.

Wektor a przenosi się równolegle do dowolnego punktu O, następnie wektor b,
narysowany w odpowiedniej skali, przesuwa się równolegle tak, aby jego początek pokrył
się z końcem wektora a, narysowanego w tej samej skali. Wektor c, łączący początek
wektora pierwszego z końcem wektora drugiego, jest sumą wektorów a i b.
Podobnie otrzymujemy sumę n wektorów.

Odejmowanie wektorów jest działaniem odwrotnym do dodawania.

Mnożenie wektorów
W rachunku wektorowym rozpatruje się dwa sposoby mnożenia wektorów: iloczyn
skalarny i iloczyn wektorowy.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b jest to skalar równy iloczynowi modułów wektorów
składowych przez cosinus kąta zawartego między nimi

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów (a × b) jest to wektor, którego moduł równa się
iloczynowi modułów wektorów składowych przez sinus kąta zawartego między nimi

Wektor a jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory składowe a i b, zaś
jego zwrot określa się regułą śruby prawoskrętnej.