Parę uwag dotyczących egzaminu z teorii

Na egzaminie losujemy zestawy po 3 pytania. W tym 1 dotyczy teorii miary.

W każdym z pytań jest coœ do udowodnienia i tu można przyjść zasadę,

że wystarczy odpowiedzieć na 2 pytania. Ale inną rzeczą jest pewne

"minimum absolutne", które muszę od Państwa wymagać -tzn. znajomoœć definicji i

wypowiedzi najważniejszych twierdzeń z teorii miary i całki.

Do nich zaliczam:

definicje algebry zbiorów, sigma algebry, zbiorów borelowskich, miary,

miary zewnętrznej, warunku (Caratheodory'ego) mierzalnoœci zbioru,

twierdzenie Caratheodory'ego

(mówiące, że zbiory mierzalne tworzą sigma algebrę, zawężenie miary

zewnętrznej do tej sigma-alg. jest miarę zupełną ( w liœcie zagadnień jest tylko fragment dowodu dotyczący sumy 2 zbiorów mierzalnych,

ale bez znajomoœci tego twierdzenia trudno mówić o konstrukcji miary Lebesgue'a).

Twierdzenie Lebesgue'a o rozszerzaniu miary z algebry na sigma-algebrę, szkic konstrukcji

miary Lebesgue'a.

Definicje funkcji mierzalnych, funkcji prostej i całki z funkcji prostych,

całki z funkcji nieujemnej i całki po podzbiorze. Całki z funkcji dowolnego znaku.

Twierdzenia o monotonicznej zbieżnoœci dla niemalejących ciągów funkcji

mierzalnych, lemat Fatou, tw. o zmajoryzowanej zbieżnoœci.

To jest pewien "niezbędnik matematyka" i bez niego nie warto nawet przychodzić na egzamin ustny.

Chciałem jeszcze dodać, że Państwa opracowanie pytania nr 3 o

różniczkowaniu całki niewłaściwej z parametrem (g(x)=\int_a^b f(x,t) dt)

nie jest optymalne.

Proszę sprawdzić, co mówiło twierdzenie o zbieżnoœci jednostajnej wraz z

pochodnymi (II semestr!) Dotyczyło ono ciągów, a tu mamy granicę lewostronną

(gdy punktem niewłaściwym dla całki od a do b jest b (np. b=+ nieskończoność).

Wystarczy ustalić dowolny ciąg rosnący liczb b_n <b

zbieżny do b i rozpatrywać całki o górnych granicach b_n,

oznaczmy je g_n(x)=\int_a^{b_n}f(x,t) dt .

Stosując wzór Leibniza (z pytania nr 1) otrzymamy wzór na pochodne

g_n'(x) jako całki z pochodnych cząstkowych f'_x(x,t) (po zmiennej x),

liczone w zakresie od a do b_n (= całki "właściwe").

Teraz wystarczy zinterpretować założenie o jednostajnej całkowalnoœci

(jako jednostajną zbieżnoœć g_n' do g_n) i skorzystać ze wspomnianego twierdzenia. Nic nie trzeba tu liczyć, ani szacować. To było na wykładzie!