Całkowanie niektórych klas funkcji

1. Funkcje wymierne

Jak wiemy funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci: $f\left( x \right) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, gdzie
P(x) = a_n − 1x^n − 1 + … + a₀ , Q(x) = b_mx^m + b_m − 1x^m − 1 + … + b₀.

Jeżeli m ≤ n to funkcje wymierną nazywamy niewłaściwą.

Jeżeli m > n to funkcje wymierną nazywamy właściwą.

Jeżeli jest niewłaściwa to te wielomiany możemy podzielić przez siebie i otrzymamy:

$\frac{P(x)}{Q(x)} = W\left( x \right) + \frac{R(x)}{Q\left( x \right)}$ , gdzie R(x) to tzw. reszta z dzielenia I stopnia (R(x)) < st.(Q(x)).

Scałkowanie więc funkcji wymiernej niewłaściwej sprowadza się do scałkowania W(x) (wielomianu) i funkcji wymiernej właściwej $\frac{R(x)}{Q(x)}$ tę ostatnią będziemy rozkładać na tzw. ułamki proste. W tym celu Q(x) rozkładamy na czynniki pierwsze typu:

x − α,  (x − β)^k,  x² + px + q (<0)

1. Q(x) = (x*α₁) * (x*α₂) * … * (x*α_m) gdzie a_i ≠ a_j , i ≠ j wówczas

Przykład

$$\frac{4x^{2} - 8x + 10}{\left( x + 2 \right)x(x - 5)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{X} + \frac{C}{x - 5}\ /*x + 2)(x - 5)$$

4x² − 8x + 10 = Ax(x−5) + B(x+2)(x−5) + Cx(x − 2)

Żeby wyznaczyć A,B,C kolejno za x do obydwu wielomianów wstawiamy miejsce zerowe mianowników: -2, 0.5

x=-2	16 + 16 + 10 = A(−2)(−7) → A = 3
x=0	10 = B * 2(−5) → B = −1
x=5	100 − 40 + 10 = C * 5 * 7 → C = 2

1. Niech β jest k-krotnym pierwiastkiem Q(x) czyli Q(x) = (x − β)^k * Q₁(x) gdzie Q₁(x) jest wielomianem st. (m − k) niepodzielnym przez (x − β). Wówczas:

$$\frac{R\left( x \right)}{Q\left( x \right)} = \frac{R\left( x \right)}{\left( x - \beta \right)^{k}Q_{1}\left( x \right)} = \frac{B_{k}}{\left( x - \beta \right)^{k}} + \frac{B_{k - 1}}{\left( x - \beta \right)^{k - 1}} + \ldots + \frac{B_{1}}{x - \beta} + \frac{R_{1}\left( x \right)}{Q_{1}\left( x \right)}$$

Przykład :

$$\frac{x}{\left( x - 1 \right)^{3}\left( x + 1 \right)} = \frac{A}{\left( x - 1 \right)^{3}} + \frac{B}{\left( x - 1 \right)^{2}} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{x - 1}\ \ \ \ /*\left( x - 1 \right)^{3}(x + 1)$$

x = A(x+1) + B(x+1)(x−1) + C(x+1)(x − 1)² + D(x−1)³

x = A(x+1) + B(x+1)(x−1) + C(x²−2x+1) + D(x³+3x−3x−1)

x=1	1 = A * 2 → A = 0.5
x=-1	$$- 1 = D\left( - 1 - 1 \right)^{3} \rightarrow D = \frac{1}{8}$$

Nie ma więcej miejsc zerowych więc skorzystamy z porównania współczynników przy tych samych potęgach zmiennej x, skoro te dwa wielomiany są równe:

x^2	0 = B + C − 2C − 3D → B * C = 3D
x^3	0 = C + D

Mamy więc dwa równania i dwie niewiadome: C, B

$$\left\{ \begin{matrix} B - C = 3D \rightarrow B - C = \frac{3}{8} \\ C + D = 0 \rightarrow C = - \frac{1}{8} \rightarrow B = \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} \\ \end{matrix} \right.\ $$

1. Jeżeli Q(x) = (x²+px+q)Q₂(x)   (<0) to:

$$\frac{R\left( x \right)}{Q\left( x \right)} = \frac{R\left( x \right)}{\left( x^{2} + \text{px} + q \right)Q_{2}\left( x \right)} = \frac{R\left( x \right)}{x^{2} + \text{px} + q} + \frac{R_{2}\left( x \right)}{Q_{2}\left( x \right)}$$

Przykład:

$$\frac{2x^{2} + 9x - 9}{\left( x^{2} + x + 1 \right)\left( x + 4 \right)}\ = \frac{\text{Ax} + B}{x^{2} + x + 1} + \frac{C}{x + 4}\ \ \ /\ *\left( x^{2} + x + 1 \right)\left( x + 4 \right)$$

2x² + 9x − 9 = (Ax−B)(x+4) + C(x²+x+1)

x = −4	32 − 36 − 9 = C(−13) → −13 = 13C → C = −1
x^2	2 = A + C → A = 2 * C → A = 3
x^1	9 = 4A + B + C = 9 − 4A → B = −2

Całkowanie funkcji wymiernych

Umiejętność całkowania dowolnej funkcji wymiernej sprowadza się więc do scałowania wielomianu i funkcji wymiernej właściwej, którą rozkładamy na ułamki proste czyli całkowanie ułamków prostych. Rozróżniamy 4 rodzaje ułamków prostych (Trzema się zajmiemy).

I. $\frac{A}{x - \alpha}$ II. $\frac{\beta}{\left( x - \beta \right)^{k}}$ , k = 2, 3, … III. $\frac{Cx + D}{x^{2} + px + q}$ IV. $\frac{Ex + F}{\left( x^{2} + rx + s \right)^{2}}\ \ \ ,\ < 0\ \ l = 2,3,\ldots$

Przykład I rodzaju

$$\int_{}^{}\frac{A}{x - \alpha}dx = A\int_{}^{}{\frac{1}{x - \alpha}dx = A*ln\left| x - \alpha \right| + C_{1}}$$

$\int_{}^{}{\frac{1}{x}dx = ln\left| x \right| + C}\ \ \ ,\ \ \ \int_{}^{}{\frac{1}{x + 1}dx = ln\left| x + 1 \right| + C\ \ \ ,\ \ }$ $\int_{}^{}{\frac{1}{2x + 1}dx = \frac{1}{2}\ln\left| 2x + 1 \right| + C}$

Uwaga $\frac{1}{2x + 1} = \frac{1}{2}*\frac{1}{x + \frac{1}{2}}$ i mamy ułamek postaci $\frac{A}{x - \alpha}$

Przykład II rodzaju

$$\int_{}^{}{\frac{\beta}{\left( x - \beta \right)^{k}}dx = B\int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{\left( x - \beta \right)^{k}} = B\int_{}^{}\left( x - \beta \right)^{k}dx = \frac{B\left( x - \beta \right)^{- k + 1}}{- k + 1}} + C_{2} = \frac{B}{\left( 1 - k \right)\left( x - \beta \right)^{k - 1}} + C}$$

Przykład

$$\int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}dx = - \frac{1}{x} + C\ \ \ \ ,\ \ \int_{}^{}{\frac{1}{\left( x - 1 \right)^{2}}dx = \frac{- 1}{x - 1} + C}}$$

$$\int_{}^{}{\frac{1}{\left( 2x + 1 \right)^{2}}dx = \int_{}^{}{{(2x + 1)}^{- 3}\text{dx}} = \int_{}^{}\frac{\left( 2x + 1 \right)^{- 2}}{- 2} - \frac{1}{2} + C = \frac{- 1}{4\left( 2x + 1 \right)^{2}} + C}$$

Przykład III rodzaju

$$\int_{}^{}{\frac{x^{3} - 2x^{2} - 1}{x^{2} - 1}dx = J_{1}}$$

Funkcja podcałkowa jest niewłaściwa więc musimy podzielić te dwa wielomiany.

$$\left( x^{3} - 2x^{2} - 1 \right):\left( x^{2} - 1 \right) = x - 2 + \frac{x - 3 \leftarrow R(x)}{x^{2} - 1}$$
−x^3 + x
= − 2x^2 + x − 1
2x^2 − 2
= + x − 3 ← R(x)

Wracamy do całki

$$J_{1} = \int_{}^{}{\left( x - 2 + \frac{x - 3}{x^{2} - 1} \right)\text{dx}} = \int_{}^{}{xdx - 2\int_{}^{}\text{dx} + \int_{}^{}{\frac{x - 3}{x^{2} - 1}dx = \frac{x^{2}}{2} - 2x + \int_{}^{}{\begin{matrix} \frac{x - 3}{\left( x - 1 \right)\left( x + 1 \right)} \\ J_{2} \\ \end{matrix}\text{dx}}}}$$

Rozkładamy na ułamki proste

$$\frac{x - 3}{\left( x - 1 \right)\left( x + 1 \right)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}\ \ \ /\ *\ \left( x - 1 \right)\left( x + 1 \right)$$

x − 3 = A(x+1) + B(x − 1)

x = 1	−2 = 2A → A = −1
x = −1	−4 = −2B → B = 2

$$J_{2} = \int_{}^{}{\left( \frac{- 1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} \right)dx = - \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}\text{dx}}2\int_{}^{}{\frac{1}{x + 1}dx = - ln\left| x - 1 \right| + 2ln\left| x + 1 \right| + C =}}$$

$$= ln\left| \frac{{(x + 1)}^{2}}{x - 1} \right| + C$$

Ostatecznie

$$\frac{x^{3} - 2x^{2} - 1}{x^{2} - 1}dx = \frac{x^{2}}{2} - 2x + ln\left| \frac{{(x + 1)}^{2}}{x - 1} \right| + C$$

Całki trygonometryczne

Są to całki, w których funkcja podcałkowa jest pewnym wyrażenie wymiernym wyłącznie składającym się z funkcji trygonometrycznych.

Np. ∫sinx − cos²xdx Nie jest całką trygonometryczną , a całka ∫sinx * xdx

Ogólnie ∫R(u,v)dx ,  gdzie R(u,v) jest tym wyrażeniem wymiernym, a u − sinx , v − cosx.

Całka może być sprowadzona do całki wymiernej za pomocą następujących podstawień, z których pierwsze może być stosowane bez ograniczeń (tzw. podstawienie uniwersalne), a pozostałe przy spełnieniu przez funkcję R pewnych warunków.

Podstawienie	Warunek stosowalności podstawienia
$$\text{tg}\frac{x}{2} = t$$
tgx = t	R parzysta względem u|v tzn. R(u,v) = R(−u, −v)
sinx = t	R nieparzysta względem v tzn. R(u,−v) = R(u, v)
cosx = t	R nieparzysta względem u tzn. R(−u,v) = R(u, v)

I dla warunku nieparzystości

Przykład

Jeżeli R(u,−v) = −R(u, v) tzn. R(sinx,−cosx) = −R(sinx, cox)

$$\int_{}^{}{\frac{2cosx - \sin^{2}x*cosx}{\text{sinx}\left( 3 - \cos^{2}x \right)}dx = \int_{}^{}\frac{\text{cosx}\left( 2 - \sin^{2}x \right)}{\text{sinx}\left( 3 - \cos^{2}x \right)} = \left\lbrack \int_{}^{}{\frac{- cosx\left( 2 - \sin^{2}x \right)}{\text{sinx}{(3 - ( - cosx)}^{2})} = - \frac{\text{cosx}\left( 2 - \sin^{2}x \right)}{\text{sinx}\left( 3 - \cos^{2}x \right)}} \right\rbrack =} = \left| \begin{matrix} sinx = t \\ cosxdx = dt \\ \cos^{2}x = 1 - t^{2} \\ \end{matrix} \right| = \int_{}^{}{\frac{\left( 2 - t^{2} \right)\text{dt}}{t(3 - 1 + t^{2})} = \int_{}^{}\frac{\left( 2 - t^{2} \right)\text{dt}}{t(2 + t^{2})} = *}$$

$$\frac{2 - t^{2}}{t(2 + t^{2})} = \frac{A}{t} + \frac{Bt + C}{2 + t^{2}}\ \ \ \ /*t(2 + t^{2})$$

2 − t = A(2+t²) + (Bt+C)t

$$\begin{matrix} t = 0 & 2 = 2A \rightarrow A = 1 \\ t^{2} & - 1 = A + B \rightarrow B = - 2 \\ t^{1} & 0 = C \rightarrow C = 0 \\ \end{matrix}$$

$$* = \int_{}^{}{\frac{\text{dt}}{t} - 2\int_{}^{}{\frac{\text{tdt}}{t^{2} + 2} = ln\left| t \right| - ln\left| t^{2} + 2 \right| + C = ln\left| \frac{t}{t^{2} + 2} \right| + C = ln\left| \frac{\text{sinx}}{\sin^{2}x + 2} \right| + C}}$$

Jeżeli R(−u,v) = −R(u,v) tzn. R(−sinx,cosx) = R(sinx,cosx):

$$\int_{}^{}{\frac{\text{sinx}}{\sin^{2}x + 2\cos^{2}x}\text{dx}} = \left\lbrack \frac{- sinx}{\left( - sinx \right)^{2} + 2\cos^{2}x} = - \frac{\text{sinx}}{\sin^{2}x + 2\cos^{2}x} \right\rbrack = \left| \begin{matrix} cosx = t \\ \begin{matrix} - sinxdx = dt \\ \begin{matrix} sinxdx = - dt \\ \sin^{2}x = 1 - t^{2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right| =$$

$$= \int_{}^{}{\frac{- dt}{1 - t^{2} + 2t^{2}} = - \int_{}^{}{\frac{\text{dt}}{1 + t^{2}} = arcrgt + C = - arctg\left( \text{cosx} \right) + C}}$$

II dla warunku parzystości

tgx = t → podstawienie

Wówczas: x = arctgt

$$dx = \frac{1}{1 + t^{2}}\text{dt}$$

$$\sin^{2}x = \frac{\sin^{2}\text{x\ \ \ \ \ \ }\frac{}{:\cos^{2}x}}{\sin^{2}x + \cos^{2}\text{x\ \ \ \ \ \ }\frac{}{:\cos^{2}x}} = \frac{\text{tg}^{2}x}{\text{tg}^{2}x + 1} = \frac{t^{2}}{t^{2} + 1}$$

Czyli: $\boxed{\sin^{2}x = \frac{t^{2}}{t^{2} + 1}}$

$$\cos^{2}x = \frac{\cos^{2}\text{x\ \ \ \ \ \ \ }\frac{}{:\cos^{2}x}}{\sin^{2}x + \cos^{2}\text{x\ \ \ \ \ }\frac{}{:\cos^{2}x}} = \frac{1}{\text{tg}^{2}x + 1} = \frac{1}{t^{2} + 1}$$

Czyli: $\boxed{\cos^{2}x = \frac{1}{t^{2} + 1}}$

$$\boxed{sinx*cosx = \frac{t}{{1 + t}^{2}}}$$

Jeżeli funkcja R jest parzysta to funkcja sinx i cosx muszą w niej występować w potędze parzystej lub przy ich iloczynie – każda z nich w potędze nieparzystej, stąd powyższe wzory dotyczą najmniejszej (2) potęgi oraz w iloczynie – najmniejszej nieparzystej (1)