Modelowanie Manipulatorów

Wykonali:

Radecki Michał

Grzegorz Pytel

AiR, studia niestacjonarne

I rok SUM

Prowadzący:

Mgr inż. Dariusz Baran

Data wykonania: 01.06.2011r.

Przedmiotem przeprowadzonego laboratorium było sformułowanie dynamicznych równań ruchu dla konkretnego modelu manipulatora.

Rysunek struktury oraz charakterystyka rozkładu masy manipulatora

Wraz z tematem otrzymaliśmy rysunek oraz rozkład masy manipulatora, tak więc nie było koniecznym zakładanie tych wartości.

Wyprowadzenie składników energii kinetycznej i potencjalnej

Energia kinetyczna:

$$E_{k1} = \frac{1}{2}(J^{1} + m_{1}s_{1}^{2}){\dot{\theta}}_{1}^{2}$$

$$E_{k2} = \frac{1}{2}m_{2}(a_{2}^{2}{\dot{\theta}}_{1}^{2} + a_{2}^{2})$$

$$E_{k3} = \frac{1}{2}m_{3}(a_{2}^{2}{\dot{\theta}}_{1}^{2} + {\dot{a}}_{2}^{2} + {\dot{d}}_{3}^{2})$$

Energia potencjalna:

E_p1 = 0

E_p2 = −m₂ × g × a₂

E_p3 = −m₃ × g × a₂

Potencjał kinetyczny

L = E_kc − E_pc

$$L = \frac{1}{2}\left( J^{1} + m_{1}s_{1}^{2} \right){\dot{\theta}}_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}\left( a_{2}^{2}{\dot{\theta}}_{1}^{2} + a_{2}^{2} \right) + \frac{1}{2}m_{3}\left( a_{2}^{2}{\dot{\theta}}_{1}^{2} + {\dot{a}}_{2}^{2} + {\dot{d}}_{3}^{2} \right) + ga_{2}(m_{2} + m_{3})$$

Równania dynamiczne ruchu w postaci macierzowej

Aby określić dynamiczne równania ruchu, koniecznym było obliczenie wartości sił uogólnionych, a dla nich z kolei – obliczenie kolejnych pochodnych, zgodnie z równaniem Lagrange’a:

I tak dla pierwszej siły uogólnionej:

$$\frac{\text{dL}}{{d\dot{\theta}}_{2}} = {\dot{\theta}}_{1}(J_{1} + m_{1}s_{1}^{2} + m_{2}a_{2}^{2} + m_{3}a_{2}^{2})$$

$$\frac{d}{\text{dt}}(\frac{\text{dL}}{{d\dot{\theta}}_{2}}) = \ddot{\theta_{1}}(J_{1} + m_{1}s_{1}^{2} + m_{2}a_{2}^{2} + m_{3}a_{2}^{2})$$

$$\frac{\text{dL}}{\text{dθ}} = 0$$

$$Q_{1} = \tau_{1} = \ddot{\theta_{1}}(J_{1} + m_{1}s_{1}^{2} + m_{2}a_{2}^{2} + m_{3}a_{2}^{2})$$

Dla drugiej siły uogólnionej:

$$\frac{\text{dL}}{{d\dot{a}}_{2}} = {\dot{a}}_{2}(m_{2} + m_{3})$$

$$\frac{d}{\text{dt}}(\frac{\text{dL}}{{d\dot{a}}_{2}}) = {\ddot{a}}_{2}(m_{2} + m_{3})$$

$$\frac{\text{dL}}{da_{2}} = {(a}_{2}{\dot{\theta}}_{1}^{2} + g)(m_{2} + m_{3})$$

$$Q_{2} = f_{2} = {\ddot{a}}_{2}\left( m_{2} + m_{3} \right) - {(a}_{2}{\dot{\theta}}_{1}^{2} + g)\left( m_{2} + m_{3} \right) = {({\ddot{a}}_{2} - a}_{2}{\dot{\theta}}_{1}^{2} - g)(m_{2} + m_{3})$$

Dla trzeciej siły uogólnionej:

$$\frac{\text{dL}}{{d\dot{d}}_{3}} = {\dot{d}}_{3}m_{3}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}(\frac{\text{dL}}{{d\dot{d}}_{3}}) = {\ddot{d}}_{3}m_{3}$$

$$\frac{\text{dL}}{\text{dd}_{3}} = 0$$

$$Q_{3} = f_{3} = {\ddot{d}}_{3}m_{3}$$

Układ macierzowy:

$$\begin{bmatrix} \tau_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} J_{1} + m_{1}s_{1}^{2} + m_{2}a_{2}^{2} + m_{3}a_{2}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & m_{2} + m_{3} & 0 \\ 0 & 0 & m_{3} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ddot{\theta_{1}} \\ {\ddot{a}}_{2} \\ {\ddot{d}}_{3} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ {- a}_{2}{\dot{\theta}}_{1}^{2}(m_{2} + m_{3}) \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ - g(m_{2} + m_{3}) \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$