Laboratorium z fizyki

Ćwiczenie nr 8.

Temat: Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa.

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym, wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa.

2. Zasada pomiaru:

Lepkością lub tarciem wewnętrznym nazywamy zjawisko występowania sił stycznych przeciwstawiających się przemieszczeniu jednych części ciała względem innych jego części. Zjawisko to powstaje na skutek ruchów cieplnych cząsteczek oraz sił międzycząsteczkowych. W wyniku działania siły tarcia wewnętrznego występującego między warstwami cieczy, poruszająca się warstwa pociąga za sobą warstwy sąsiadujące z nią z prędkością tym bardziej zbliżoną do prędkości własnej, im ciecz jest bardziej lepka. Analogicznie − spoczywająca warstwa cieczy hamuje sąsiadujące z nią poruszające się warstwy.

Ze względu na to, że wszystkie rzeczywiste ciecze są lepkie, zjawisko lepkości odgrywa istotną rolę podczas przepływu cieczy oraz podczas ruchu ciała stałego w ośrodku ciekłym.

W ćwiczeniu badaliśmy ruch kulki w cieczy oraz wyznaczaliśmy współczynnik lepkości cieczy na podstawie prawa Stokesa.

Ciało stałe, poruszające się w ośrodku ciekłym, napotyka na opór. Mechanizm tego zjawiska jest następujący: warstwa cieczy przylegająca do powierzchni poruszającego się ciała, wprawia w ruch pozostałe warstwy cieczy. Tak więc istotną rolę odgrywa tu lepkość cieczy. Wypadkowa siła oporu działa przeciwnie do kierunku ruchu ciała. Doświadczalnie stwierdzono, że dla małych prędkości siła oporu R jest wprost proporcjonalna do prędkości v, zależy od charakterystycznego wymiaru liniowego ciała l oraz od współczynnika lepkości cieczy η.

Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy z użyciem naczynia cylindrycznego

W pierwszej części ćwiczenia wyznaczaliśmy współczynnik lepkości metodą Stokesa, posługując się szerokim szklanym naczyniem cylindrycznym wypełnionym badaną cieczą. Na zewnątrz powierzchni bocznej naczynia znajdowały się dwa przesuwne pierścienie (rys.).

rys. Urządzenie do pomiaru współczynnika lepkości metodą Stokesa: 1 − ciecz, 2 − cylinder szklany, 3 − spadająca kulka, 4 − pierścienie, h − odległość między pierścieniami.

Za ich pomocą ustaliliśmy drogę na której badaliśmy czas ruchu kulki ruchem jednostajnym. Wybraną kulkę puszczaliśmy tuż nad powierzchnią cieczy w ten sposób, aby jej tor w przybliżeniu pokrywał się z osią naczynia. Kilkakrotnie wykonywaliśmy pomiary czasu przebycia przez kulkę drogi pomiędzy pierścieniami. Następnie dla średniej wartości tego czasu obliczyliśmy współczynnik lepkości cieczy na podstawie wzoru wyprowadzonego na podstawie równania różniczkowego ruchu kulki z wykorzystaniem prawa Stokesa:

(1)

gdzie:

r − promień kulki,

g = 9,81 m/s² − przyspieszenie ziemskie,

ρ − gęstość materiału kulki,

− gęstość cieczy,

v_g − prędkość graniczna, przy której siły działające na kulkę się równoważą (siła wypadkowa F = 0, ruch jednostajny).

Pomiary powtórzyliśmy dla trzech różnych kulek.

Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy z użyciem wiskozymetru Hpplera

W drugiej części ćwiczenia wyznaczaliśmy współczynnik lepkości cieczy wykorzystując metodę Stokesa w wiskozymetrze Hpplera.

Stosunkowo duża kulka (r ≅ R) poruszała się w cieczy zamkniętej w szklanej rurze. Całość znajdowała się w osłonie termostatycznej. Dzięki możliwości obrotu wiskozymetru wokół osi poprzecznej zmierzyliśmy czas ruchu kulki między kreskami granicznymi.

Pomiar powtórzyliśmy dziesięciokrotnie i dla średniego czasu ruchu kulki obliczyliśmy współczynnik lepkości na podstawie wzoru:

(2)

gdzie:

k − stała określona przez warunki doświadczenia (określona dla wiskozymetru),

ρ − gęstość materiału kulki,

− gęstość cieczy,

t − czas przebycia zadanej drogi w ruchu jednostajnym,

3. Wyniki pomiarów i obliczenia:

Wyznaczanie współczynnika lepkości przy użyciu szerokiego naczynia cylindrycznego

Pomiar średnicy kulki

Wartości do przyjęcia:

• Δd = 0,01 − bezwzględny błąd pomiaru średnicy przyjęty jako najmniejsza działka śruby mikrometrycznej.

  Wyniki pomiarów:

kulka	nr 1	nr 2	nr 3
	12,58 ± 0,01	6,47 ± 0,01	4,39 ± 0,01
d ± Δd	12,60 ± 0,01	6,58 ± 0,01	4,42 ± 0,01
[mm]	12,54 ± 0,01	6,61 ± 0,01	4,39 ± 0,01
	12,56 ± 0,01	6,55 ± 0,01	4,41 ± 0,01
dśr ± Δdśr [mm]	12,57 ± 0,01	6,55 ± 0,01	4,40 ± 0,01

Przykładowe obliczenia:

• obliczanie wartości średniej średnicy kulki:

• obliczanie średniego błędu bezwzględnego średnicy kulki:

  Pomiar masy kulki wagą laboratoryjną techniczną

  (pomiary zgrubne)

  Wyniki pomiarów:

kulka	nr 1	nr 2	nr 3
m [g]	1,450	0,420	0,520

Pomiar masy kulki wagą laboratoryjną analityczną

(pomiary dokładne)

Wartości do przyjęcia:

• Δm = 0,2 mg = 0,0002 g − bezwzględny błąd pomiaru masy.

  Wyniki pomiarów:

kulka	nr 1	nr 2	nr 3
m [g]	1,4228 ± 0,0002	0,3770 ± 0,0002	0,5042 ± 0,0002

Pomiar gęstości cieczy za pomocą areometru

Wynik pomiaru:

• ρ^/ = (1,27 ± 0,01) g / ml = (1270 ± 10) kg / m.

  Obliczanie gęstości materiału kulki

  Wyniki obliczeń:

kulka	nr 1	nr 2	nr 3
dśr ± Δdśr [m]	(12,57 ± 0,01) 10^-3	(6,55 ± 0,01) 10^-3	(4,40 ± 0,01) 10^-3
V ± ΔV [m^3]	(1039,9 ± 2,5) 10^-9	(147,1 ± 0,7) 10^-9	(44,6 ± 0,3) 10^-9
m ± Δm [kg]	(1,4228 ± 0,0002) 10^-3	(0,3770 ± 0,0002) 10^-3	(0,5042 ± 0,0002) 10^-3
ρ ± Δρ [kg /m^3]	1369,3 ± 3,5	2563 ± 14	11304 ± 81

Przykładowe obliczenia:

• obliczanie objętości kulki:

• obliczanie błędu bezwzględnego objętości kulki:

• obliczanie gęstości materiału kulki:

• obliczanie błędu bezwzględnego gęstości materiału kulki:

  Pomiary czasu ruchu kulki oraz obliczanie współczynnika lepkości cieczy

  Wartości stałe:

• ρ^/ = (1,27 ± 0,01) g / ml = (1270 ± 10) kg / m³,

• h = (0,210 ± 0,001) m,

• Δt = 0,01 s − błąd bezwzględny pomiaru czasu przyjęty jako najmniejsza działka stopera.

Tabela pomiarowa:

kulka	t	Δt	tœr	Δtśr	η	Δη	ηśr	Δηśr
[−]	[s]	[s]	[s]	[s]
	8,05	0,01	8,18	0,03	0,33	0,05	0,62	0,04
nr 1:	8,18
	8,22
dœr = (12,57 ± 0,01) 10^-3 m	8,27
m = (1,4228 ± 0,0002) 10^-3 m	8,15
ρ = (1369,3 ± 3,5) kg / m^3	8,29
	8,09
	8,15
	8,19
	8,21
	5,61	0,01	5,63	0,02	0,81	0,03
nr 2:	5,57
	5,57
dœr = (6,55 ± 0,01) 10^-3 m	5,68
m = (0,3770 ± 0,0002) 10^-3 m	5,70
ρ = (2563 ± 14) kg / m^3	5,75
	5,63
	5,60
	5,59
	5,62
	1,52	0,01	1,437	0,013	0,72	0,02
nr 3:	1,44
	1,46
dœr = (4,40 ± 0,01) 10^-3 m	1,42
m = (0,5042 ± 0,0002) 10^-3 m	1,46
ρ = (11304 ± 81) kg / m^3	1,41
	1,45
	1,39
	1,44
	1,38

Przykładowe obliczenia:

• obliczanie średniego czasu ruchu kulki:

• obliczanie średniego błędu kwadratowego wartości średniej czasu ruchu kulki:

• obliczanie wartości współczynnika lepkości cieczy:

• obliczanie błędu bezwzględnego współczynnika lepkości cieczy:

• obliczanie średniej wartości współczynnika lepkości:

• obliczanie średniego wartości błędu bezwzględnego współczynnika lepkości:

  Wyznaczanie współczynnika lepkości przy użyciu wiskozymetru Hpplera

  Parametry przyrządów

  Stoper:

• Δt = 0,01 − bezwzględny błąd pomiaru czasu przyjęty jako najmniejsza działka stopera.

  Wiskozymetr Hpplera:

• k = 0,1216 10^-3 ,

• ,

• .

  Pomiary czasu ruchu kulki i obliczanie współczynnika lepkości cieczy

  Tabela pomiarowa:

t	Δt	tœr	Δtœr	η	Δη
[s]	[s]	[s]	[s]
181,90	0,01	181,47	0,09	0,1519	0,0016
181,53
181,37
181,22
181,11
181,54
181,58
181,86
181,42
181,12

Obliczenia:

• obliczanie średniej wartości czasu ruchu kulki:

• obliczanie średniego błędu kwadratowego wartości średniej czasu ruchu kulki:

• obliczanie wartości współczynnika lepkości cieczy:

• obliczanie błędu bezwzględnego współczynnika lepkości:

4. Wnioski:

Przed przystąpieniem do wykonywania pomiarów zbadaliśmy parametry badanego zjawiska tzn. przy pomocy najpierw wagi laboratoryjnej technicznej (pomiar zgrubny), a następnie wagi laboratoryjnej analitycznej (pomiar dokładny) dokonaliśmy pomiaru masy kulek. Dokonaliśmy także pomiaru ich średnicy (przy użyciu śruby mikrometrycznej) oraz gęstości cieczy areometrem. Pomiary średnicy powtórzyliśmy czterokrotnie w celu uzyskania większej dokładności pomiarów.

Na podstawie wyników pomiaru czasu ruchu kulki stwierdziliśmy, iż największą zbieżność współczynnika lepkości uzyskaliśmy dla kulek nr 2 i 3 (η₂ = (0,81 ± 0,03) [N s / m²], η₃ = (0,72 ± 0,02) [N s / m²]). Mogło to być spowodowane niewielką różnicą w wartości średnicy tych kulek (d₂ = (6,55 ± 0,01) 10^-3 m, d₃ = (4,40 ± 0,01) 10^-3 m). Współczynnik lepkości wyznaczony dla kulki nr 1 wynosił tylko η₁ = (0,33 ± 0,05) [N s / m²] − średnica kulki nr 1 była ponad dwukrotnie większa od średnicy pozostałych kulek. Pomiary czasu ruchu kulek powtarzaliśmy dziesięciokrotnie dla zwiększenia dokładności pomiaru.

Średnia wartość współczynnika lepkości dla cieczy znajdującej się w naczyniu cylindrycznym wyniosła η_śr = (0,62 ± 0,04) [N s / m²]. Trzeba przy tym zauważyć, iż pomijamy wpływ ścianek bocznych i wysokości słupa cieczy na ruch kulki, ponieważ: r/R << 1 (R − promień naczynia cylindrycznego, r − promień kulki). Współczynnik lepkości zależy natomiast od gęstości materiału kulki oraz gęstości cieczy.

W drugiej części ćwiczenia zastosowaliśmy metodę Stokesa do wyznaczania współczynnika lepkości w wiskozymetrze Hpplera. W przypadku wiskozymetru nie wyznaczaliśmy parametrów zjawiska, gdyż były one określone stałymi charakterystycznymi dla wiskozymetru.

Po wykonaniu pomiarów czasu ruchu kulki metalowej wewnątrz wiskozymetru (10 pomiarów) stwierdziliśmy, iż uzyskana wartość współczynnika lepkości jest mniejsza niż dla pomiarów w naczyniu cylindrycznym (η = (0,1519 ± 0,0016) [N s / m²]. Jest to spowodowane zarówno różnicami w parametrach zjawiska (średnica kulki, gęstość materiału kulki, gęstość cieczy) jak i wpływem ścianek bocznych i wysokości słupa cieczy na ruch kulki (r ≅ R).

Zgodne jest to ze wzorem na współczynnik lepkości dla takich parametrów:

,

gdzie:

R − promień naczynia,

H − wysokość słupa cieczy,

przy czym element: występuje tylko dla sytuacji, gdy r ≅ R.

Wpływ ścianek bocznych oraz wysokości słupa cieczy na współczynnik lepkości jest spowodowany zasadą powstawania zjawiska lepkości (przekazywanie sobie pędu przez sąsiadujące ze sobą warstwy cieczy). Im bliżej ścianki znajduje się poruszająca się powierzchnia kulki (warstwa cieczy przy powierzchni kulki), tym bardziej jest hamowana przez nieruchomą ściankę naczynia (warstwę cieczy przy powierzchni ścianki naczynia).