­­­­­WYŻSZA SZKOŁA MENADŻERSKA

WYDZIAŁ INFORMATYKI STOSOWANEJ

I TECHNIK BEZPIECZEŃSTWA

Ad

Nr alb.:

Grupa : DR-A-2

Studia niestacjonarne

Metody probabilistyczne i statystyka.

ZADANIA ZALICZENIOWE

WARSZAWA 2011 r.

Semestr letni, rok akademicki 2010/2011

Zadanie 1

Winda z 2 pasażerami zatrzymuje sie na 8 piętrach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnym piętrze nie wysiada dwie osoby?

n = 2 – liczba rozróżnialnych cząstek

M = 8

$\overset{}{\mathrm{\Omega}}$ = Mⁿ = 8²

Wszystkich zdarzeń elementarnych jest 8² (bo każdy pasażer windy może wybrać dowolne piętro).

$\overset{}{A}$ = (N)_n = M(M - 1) (M - 2) … (M – n + 1)

Podstawiając te dane do wzoru na prawdopodobieństwo otrzymujemy

P = (A) = $\frac{\overset{}{A}}{\overset{}{\mathrm{\Omega}}\ }$ = $\frac{\left( M \right)n}{M^{n}}$ = $\frac{7\ \cdot \ 6\ \cdot \ 5\ \cdot \ 4\ \cdot \ 3\ \ \ }{8^{2}}$ = 39,375

Zadanie 2

W jednej urnie jest 3 kulki białe i 4 kulki czarne. W drugiej urnie 5 kulek czerwonych i 2 kulki niebieskie. Doświadczenie polega na jednoczesnym losowaniu po jednej kulce z obu urn.

a) Opisz zbiór Ω;

b) Ile elementów ma zbiór zdarzeń losowych.

c) Wyznacz prawdopodobieństwo każdego zdarzenia losowego z punktu a).

d) Umawiamy sie, że za wylosowanie kulki białej otrzymuje sie 14 złotych, kulki czarnej 16 złotych, kulki czerwonej 14 złotych i kulki niebieskiej 17 złotych.

Wyznacz zmienna losowa określona na przez powyższe zasady.

e) Oblicz wartość oczekiwana powyższej zmiennej losowej.

f) Oblicz wariancje i odchylenie standardowe powyższej zmiennej.

a)

Ω = 4 {(białe, czerwone); (białe, niebieskie); (niebieskie, czarne); (czarne, czerwone)}

b)

Ω ma n elementów, to ma 2ⁿ podzbiorów

2⁴ = 16 zdarzeń losowych

c)

Pf{(białe, czerwone)} = $\frac{\ \ \ 3\ \ \ }{7}$ × $\frac{\ \ \ 5\ \ }{7}$ = $\frac{\ \ \ 15\ \ }{49}$

Pf{(białe, niebieskie)} = $\frac{\ \ \ 3\ \ \ }{7}$ × $\frac{\ \ \ 2\ \ }{7}$ =$\ \frac{\ \ \ 6\ \ }{49}$

Pf{(niebieskie, czarne)} = $\frac{\ \ \ 4\ \ \ }{7}$ × $\frac{\ \ \ 2\ \ }{7}$ = $\frac{\ \ \ 20\ \ }{49}$

Pf{( czarne, czerwone)} = $\frac{\ \ \ 4\ \ \ }{7}$ × $\frac{\ \ \ 5\ \ }{7}$ = $\frac{\ \ \ 8\ \ }{49}$

d)

Kombinacje kolorów jakie możemy wylosować.

Biała z czerwoną kulą da nam wypłatę 28 zł,

Biała z niebieską kulą da nam wypłatę 31 zł,

Czarna z czerwoną kulą da nam wypłatę 30 zł

Czarna z niebieską kulą da nam wypłatę 33 zł

28	31	30	33
$$\frac{\ \ \ 15\ \ }{49}$$	$$\frac{\ \ \ 6\ \ }{49}$$	$$\frac{\ \ \ 20\ }{49}$$	$$\frac{\ \ \ 8\ \ }{49}$$

e)

E(x) = 28 ×$\ \frac{\ \ \ 15\ \ }{49}$ + 31 × $\frac{\ \ \ 6\ \ }{49}$ + 30 × $\frac{\ \ \ 20\ \ }{49}$ + 33 × $\frac{\ \ \ 8\ \ }{49}$ = 30

Zadanie 3

Wiemy, że 17.8% zapałek jest wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pudełku z 80 zapałkami są więcej niż 2 wadliwe?

p = 0,178

p = (więcej niż dwie są wadliwe)

b(80, 3, p) + b(80, 4, p) + …+ b(80, 80, p) = 1 – (80, 1, p) + b(80, 2, p) = $\left( \frac{80}{0} \right)$ p⁰ (1 – p)⁸⁰ + $\left( \frac{80}{1} \right)$ p¹ (1 –p)⁷⁹ + $\left( \frac{80}{2} \right)$ p² (1 –p)⁷⁸

$\left( \frac{80}{0} \right)$ = 1 , $\left( \frac{80}{1} \right)\ $= 80, $\left( \frac{80}{2} \right)$ = $\frac{80\ \times 79\ }{2}$ = 40 × 79

Zadanie 4

Zmienna losowa X ma rozkład P(X = − 6) = $\frac{2}{9}$, P(X = − 2) = $\frac{1}{9}$, P(X = 3) = $\frac{5}{9}$ , P(X = 6) = $\frac{1}{9}$.

Oblicz E(_X), E(_X²), P(X > − 4) oraz P(X < 6).

E(_X) = (-6) ⋅ $\frac{2}{9}$ + (-2) ⋅ $\frac{1}{9}$ + 3 ⋅ $\frac{5}{\ 9}$ + 6 ⋅ $\frac{\ 1}{9}$ = $\frac{- \ 12 - 2 + 15 + 6}{9}$ = $\frac{7}{9}$

P (_X² = 36 ) = P (_X = -6 lub _X = 6) = P(_X = -6) + P(_X = 6) = $\frac{2}{9}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{3}{9}$

P (_X² = 4 ) = P (_X = -2 lub _X = 2) = P(_X = -2) + P(_X = 2) = $\frac{1}{9}$ + 0 = $\frac{1}{9}$

P (_X² = 9 ) = P (_X = -3 lub _X = 3) = P(_X = -3) + P(_X = 3) = 0+ $\frac{5}{9}$ = $\frac{5}{9}$

E(_X²) = 36 ⋅ $\frac{3}{9}$ + 4 ⋅ $\frac{1}{9}$ + 9 ⋅ $\frac{5}{9}$ = $\frac{72\ + \ 4\ + \ 45}{9}$ = $\frac{121}{9}$

• P (x >- 4) = P (x = -2 lub x = 3 lub x = 6 ) = P(x = -2) + P(x = 3) + P(x = 6) = $\frac{1}{9} + \ \frac{5}{9} + \ \frac{1\ }{9} = \ \frac{7}{9}$

• P(x < 6) = P ( x= -6) lub x = -2 lub x = 3 = $\frac{2\ }{9} + \ \frac{1}{9} + \frac{5}{9} =$ $\frac{8}{9}$

Zadanie 5

Rzucamy 4000 razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł pojawi sie więcej niż 2100 razy?

N (4000 × $\frac{\ 1}{2}$ , $\sqrt{4000\ \times}\frac{1}{2} \times \frac{\ 1}{2}$ ) = N ( 2000, 31,6)

P = (X > 2100) × 1 - ɸ ($\frac{\ 2100 - 2000\ }{31,6})$= 1 – ɸ(3,16) = 1 – 0,9992 = 0,0008 = 0,08 %

Zadanie 6

Rzucamy dwa razy kostka do gry. Niech A oznacza zdarzenie suma wyrzuconych oczek jest większa od 9, a B zdarzenie iloczyn wyrzuconych oczek jest mniejszy od 17.

1. Oblicz P(A), P(B), P(A [ B), P(A \ B).

2. Sprawdź czy zdarzenia A i B są niezależne,

3. Oblicz P(A|B) i P(B|A).

a) Obliczenie P(A), P(B), P(A [ B), P(A \ B).

ω = (i_1, i₂); i_1, i₂ = 1, 2, 3, 4, 5, 6

i_{1 –} liczba oczek jaka wypadła za pierwszym razem

i_{2 –} liczba oczek jaka wypadła za drugim razem

Ω = {ω |ω=(i₁,i₂),  i₁,i₂=1, 2, …6 }

$\overset{}{\mathrm{\Omega}}$ = 6 • 6 = 6²  = 36

∀_ω ∈  Ω P({ω}) = $\frac{1}{36}$

A = { ω = (i_1, i₂) ∈ Ω (i₁+ i₂  > 9) = {(4,6); (5,5); (5,6); (6,4); (6,5); (6,6)}

$\overset{}{A}$ = 6

B = { ω = (i_1, i₂) ∈ Ω (i₁+ i₂  < 17) = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (4,1); (4;2); (5;1); (5,2); (6,1)}

$\overset{}{B}$ = 19

P(A) = $\overset{}{\frac{A}{\overset{}{\mathrm{\Omega}}}}$ = $\frac{6}{36} = \ \frac{1}{6}$

P(B) = $\overset{}{\frac{B}{\overset{}{\mathrm{\Omega}}}}$ = $\frac{19}{36}$

P(A  ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A  ∩ B)

P(A ∩B) =$\overset{}{\ \frac{\ A\ \cap \ B}{\overset{}{\mathrm{\Omega}}}} = \ 0$

A$\cap B = \ \varnothing\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P\left( A \cap B \right) + \ P\left( A \right) + \ P\left( B \right) = \ \frac{1}{16} + \ \frac{19}{36\ }$ = $\frac{25}{36}$

b) Sprawdzenie czy zdarzenia A i B są niezależne.

P(A  ∩ B)  = P(A) P(B) → 0 ≠ $\frac{1}{6}$ $\bullet \ \frac{19}{36}\backslash n$

c) Obliczenie P(A|B) i P(B|A).

P(A | B) = $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \ \frac{0}{\begin{matrix} 19 \\ 36 \\ \end{matrix}} = 0$

P(B | A) = $\frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \ \frac{0}{\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ \end{matrix}} = 0$

Zadanie 7

Czas pracy żarówek w pewnym zakładzie ma rozkład normalny ze średnia 300 godzin i odchyleniem standardowym 160 (godzin). Jakie jest prawdopodobieństwo, ze żarówka nie zepsuje się przed upływem 100 godzin pracy?

μ = 500; σ = 130; α = - ∞; b = 100; c = - ∞

d = $\frac{100\ \ - 500}{130} = \ - 3,07\ \ \ \ \ $

Zatem

P(X < 100) = ɸ (−3,07) = 1 − ɸ (3,07) = 1 – 0,998 = 0,002

c= $\frac{- \infty\ - \ 500}{130}$ = -∞

P(-∞<X (100) = (−3,07) = 1 − ɸ (3,07) = 1 – 0,998 = 0,002

Zadanie 8

Zmienna losowa X ma rozkład normalny, w którym μ = 240 i σ = 137. Oblicz P(X < 207),

P(132 < X < 373)

μ = 240; σ = 137;

Przypadek I

P(X < x) = φ (c), c = $\frac{x - \ \mu\ }{\sigma}$

φ (c) = $\frac{207\ - \ 240\ }{137}$ = -0,2408 → c = 0.59483

x = c ⋅ σ + μ

x = 0.59483 ⋅ 137 + 240 = 224.25

Przypadek II

P(1 < X < x) = φ (d) − φ (c),

c = $\frac{132 - \ \mu}{\text{σ\ }}$ ; c = $\frac{132 - \ 240}{137\ }$ → c = -0.788

d = $\frac{x\ - \ \mu}{\text{σ\ }}$

373 = φ (d) − φ (0.788) = φ (d) − 0.78230. Stad φ (d) = 0.5657

Zadanie 9

Czas pracy baterii produkowanych w pewnym zakładzie ma rozkład normalny z wartością średnia 242 godz. i odchyleniem standardowym 122 godz. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze bateria przestanie działać przed upływem 100 godzin pracy?

μ = 242; σ = 122; α = - ∞; b = 100; c = - ∞

d = $\frac{100\ \ - 242}{122} = \ - 1.16\ \ \ \ \ $

Zatem

P(X < 100) = ɸ (−1.16) = 1 − ɸ (1.16) = 1 − 0.87 = 0.13

c= $\frac{- \infty\ - \ 242}{122}$ = -∞

P(-∞<X (100) = ɸ (−1.16) - ɸ (−∞) = 1 − ɸ (1.16) = 1 − 0.87 = 0.13

Zadanie 10

Wysokość drzew w pewnym lesie ma rozkład normalny ze średnia 23 m i odchyleniem standardowym 6 m. Planuje sie wyciąć 30% najwyższych drzew. Od jakiej wysokości drzewa będą wycinane?

µ = 23 m

Ƨ = 6 m

P(x<α<∞)

c= $\frac{a\ - \ 23}{6}$

d = $\frac{\infty\ - \ 23}{6}$

P(a<x<∞) = $\frac{\ 3}{10}$ = ɸ(d) - ɸ(c) = ɸ(∞) - ɸ(c)

c = $\frac{a\ - \ 23}{6}$ = 1- ɸ(c) = $\frac{7}{10}$ bo ɸ(c) = 1 - $\frac{3}{10}$ c = 0,505

d = $\frac{\infty\ - \ 23}{6}$

c = $\frac{a\ - \ 23}{6}$ / * 6

2,525 = a – 23

a = -25,52