Nr ćwiczenia: 203 |
Data: 28.03.2015 |
Imię i nazwisko: Dominika Maśniak Monika Bącler |
Wydział: Inżynierii Zarządzania |
Semestr: drugi |
Grupa: III nr lab. 1 |
---|---|---|---|---|---|
Prowadzący: mgr inż. Artur Poźniak |
Przygotowanie: | Wykonanie: | Ocena: |
Temat: Wyznaczanie pojemności kondensatora za pomocą drgań relaksacyjnych
1.Podstawy teoretyczne:
Pojemność elektryczna - wielkość fizyczna C równa stosunkowi ładunku q zgromadzonego na przewodniku do potencjału φ tego przewodnika.
$$C = \frac{q}{\varphi}$$
Kondensator - jest to element elektryczny (elektroniczny), zbudowany z dwóch przewodników (okładek) rozdzielonych dielektrykiem. Kondensator charakteryzuje pojemność określająca zdolność kondensatora do gromadzenia ładunku:
$$C = \frac{Q}{U}$$
C – pojemność, w faradach
Q – ładunek zgromadzony na jednej okładce, w kulombach
U – napięcie elektryczne między okładkami, w woltach.
Pojemność kondensatora zależy od jego kształtu, rozmiarów, wzajemnej odległości okładek i od rodzaju zastosowanego dielektryka.
Ładowanie kondensatora - odbywa się ono przez dołączenie źródła o stałej SEM ε do obwodu zawierającego szeregowo połączone opór R i pojemność C, natomiast rozładowanie przez odłączenie SEM od obwodu.
W dowolnym momencie procesu ładowania na okładkach znajduje się ładunek q, a w obwodzie płynie prąd i. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa spadki napięć na kondensatorze i oporniku są kompensowane przez SEM źródła:
.
Po zróżniczkowaniu tego równania i uwzględnieniu związku i=dq/dt otrzymamy:
.
Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Po obustronnym scałkowaniu otrzymujemy rozwiązanie:
,
gdzie i0 jest stałą całkowania określoną przez warunki początkowe. W dowolnej chwili napięcie na kondensatorze wynosi Uc=-Ri i zmienia się w czasie zgodnie z równaniem:
Po dostatecznie długim czasie kondensator zostaje naładowany całkowicie. Praktycznie dla t, Uc0 kondensator uważa się za naładowany, gdy t=5RC.
Rozładowywanie kondensatora- prąd i napięcie rozładowywania wynoszą odpowiednio:
Wielkość RC występującą w powyższych równaniach nazywa się stałą obwodu (ma ona wymiar czasu). Określa ona prędkość ładowania i rozładowywania obwodu.
Jeśli w obwodzie RC dołączymy równolegle do kondensatora neonówkę wówczas występują w obwodzie niesymetryczne wzrosty i spadki napięć na kondensatorze nazywane drganiami relaksacyjnymi.
Drgania relaksacyjne - polegają na tym, że napięcie na kondensatorze ładowanym ze źródła, rośnie aż do pewnej wartości Uz (napięcia zapłonu), kiedy to zapala się neonówka. Ponieważ neonówka posiada mały opór i w konsekwencji kondensator szybko się rozładowuje, do momentu gdy napięcie osiągnie wartość Ug napięcia gaśnięcia (neonówka gaśnie). Następnie ponownie następuje ładowanie kondensatora, a później jego rozładowanie i cykl się powtarza. Ze wzglądu na mały opór jarzącej się neonówki czas rozładowania stanowi mały ułamek całego okresu i możemy przyjąć, że okres drgań relaksacyjnych jest równy czasowi ładowania kondensatora od napięcia Ug do Uz.
W pierwszym cyklu ładowania napięcie U0 zostanie osiągnięte po czasie t0, zatem
,
gdzie U0 napięciem źródła.
Analogicznie do powyższego równania piszemy:
Obliczając z dwóch ostatnich równań to i to + T, otrzymujemy:
Odejmując powyższe równania stronami, znajdujemy wzór na okres:
.
Ostatecznie logarytm naturalny z powyższego równania (stały dla danej neonówki i danego napięcia)zastępujemy przez K i otrzymujemy:
Zatem jak widać okres drgań relaksacyjnych jest wprost proporcjonalny do pojemności i oporu.
Czynności pomiarowe:
przy ustalonym oporze 3MΩ zmieniano opór skokowo co 0,1μF zaczynając od 0,2μF, kończąc na 1,1μF, przy każdej zmianie mierzono czas 10 błysków neonówki,
wyłączono opornik i wykonano 4 pomiary 10 błysków neonówki dla czterech nieznanych oporów
Streszczenie doświadczenia: wykonano czynności pomiarowe 1),obliczono okres błysku neonówki , dla każdego z oporów wyznaczono stałą K, obliczono jej błąd metodą różniczki zupełnej i obliczono średnią stałej K, wykonano czynności pomiarowe 2) obliczono okres błysku neonówki, przyjmując za stałą K wyliczoną wcześniej wartość średnią obliczono pojemność kondensatora i błąd wyliczenia metodą różniczki logarytmicznej. Zaokrąglono i zestawiono wyniki.
2.Wyniki pomiarów:
1) pomiary dla znanego oporu:
L.p. | C [μF] | T[s] |
---|---|---|
1 | 0,5 | 3,68 |
2 | 0,7 | 4,72 |
3 | 1 | 5,75 |
4 | 0,5 | 5,06 |
5 | 0,7 | 7,09 |
6 | 1 | 10,88 |
7 | 0,5 | 7,58 |
8 | 0,7 | 10,94 |
9 | 1 | 14,94 |
10 | 0,5 | 9,90 |
11 | 0,7 | 15,79 |
12 | 1 | 20,00 |
13 | 0,5 | 12,32 |
14 | 0,7 | 15,62 |
15 | 1 | 24,84 |
16 | 0,5 | 10,50 |
17 | 0,7 | 10,68 |
18 | 1 | 16,56 |
2)pomiary dla nieznanych oporów:
L.p. | C | T[s] |
---|---|---|
1 | C1 | 1,34 |
2 | C2 | 1,73 |
3 | C3 | 2,51 |
4 | C4 | 3,70 |
3)błędy użytych przyrządów:
R=(3,0+0,3)MΩ
ΔR = ±0, 3MΩ
Δt = ±0, 1s
ΔT=0,01s
ΔC=±0,001µF
3.Obliczenia:
1)Obliczenie stałej K dla pomiarów ze znanym oporem korzystając ze wzoru:
$$K = \frac{T}{\text{RC}}$$
R[MΩ] | C[μF] | T[s] | Podstawienie do wzoru | K |
---|---|---|---|---|
3 | 0,5 | 3,68 | $$K = \frac{3,68}{3*0,5}$$ |
2,45 |
3 | 0,7 | 4,72 | $$K = \frac{4,72}{3*0,7}$$ |
2,25 |
3 | 1,0 | 5,75 | $$K = \frac{5,75}{3*1,0}$$ |
1,92 |
3 | 0,5 | 5,06 | $$K = \frac{5,06}{3*0,5}$$ |
3,37 |
3 | 0,7 | 7,09 | $$K = \frac{7,09}{3*0,7}$$ |
3,38 |
3 | 1,0 | 10,88 | $$K = \frac{10,88}{3*1,0}$$ |
3,63 |
3 | 0,5 | 7,58 | $$K = \frac{7,58}{3*0,5}$$ |
5,05 |
3 | 0,7 | 10,94 | $$K = \frac{10,96}{3*0,7}$$ |
5,22 |
3 | 1,0 | 14,94 | $$K = \frac{14,94}{3*1,0}$$ |
4,98 |
3 | 0,5 | 9,90 | $$K = \frac{9,90}{3*0,5}$$ |
6,60 |
3 | 0,7 | 15,79 | $$K = \frac{15,73}{3*0,7}$$ |
7,49 |
3 | 1,0 | 20,00 | $$K = \frac{20,00}{3*1,0}$$ |
6,67 |
3 | 0,5 | 12,32 | $$K = \frac{12,32}{3*0,5}$$ |
8,21 |
3 | 0,7 | 15,62 | $$K = \frac{15,62}{3*0,7}$$ |
7,27 |
3 | 1,0 | 24,84 | $$K = \frac{24,84}{3*1,0}$$ |
8,28 |
3 | 0,5 | 10,50 | $$K = \frac{10,90}{3*0,5}$$ |
7,30 |
3 | 0,7 | 10,68 | $$K = \frac{10,68}{3*0,7}$$ |
5,09 |
3 | 1,0 | 16,56 | $$K = \frac{16,86}{3*1,0}$$ |
5,62 |
Obliczenie błędu wyliczenia stałej K metodą różniczki zupełnej:
$$\Delta\overline{K} = \mid \frac{\text{ΔT}}{T} + \frac{\text{ΔR}}{R} + \frac{\text{ΔC}}{C} \mid \cdot K$$
K | ∆K |
---|---|
2,45 | 0,26 |
2,25 | 0,23 |
1,92 | 0,20 |
3,37 | 0,35 |
3,38 | 0,34 |
3,63 | 0,37 |
5,05 | 0,52 |
5,22 | 0,53 |
4,98 | 0,51 |
6,60 | 0,67 |
7,49 | 0,76 |
6,67 | 0,68 |
8,21 | 0,84 |
7,27 | 0,74 |
8,28 | 0,84 |
7,30 | 0,75 |
5,09 | 0,52 |
5,62 | 0,57 |
Obliczenie średniej Kśr
$K_{sr} = \frac{\begin{matrix} 2,45 + 2,25 + 1,92 + 3,37 + 3,38 + 3,63 + 5,05 + 5,22 + 4,98 + 6,60 + 7,49 + 6,67 + \ \\ + 8,21 + 7,27 + 8,28 + 7,30 + 5,09 + 5,62 \\ \end{matrix}}{18}$=$\frac{94,78}{18} = 5,27$
Obliczenie błędu średniej K
$$\sigma = \sqrt{\frac{\begin{matrix}
\left( 2,45 - 0,26 \right)^{2} + \left( 2,25 - 0,23 \right)^{2} + \left( 1,92 - 0,20 \right)^{2} + \left( 3,37 - 0,35 \right)^{2} + \left( 3,38 - 0,34 \right)^{2} + \\
+ \left( 3,63 - 0,37 \right)^{2} + \left( 5,05 - 0,52 \right)^{2} + \left( 5,22 - 0,53 \right)^{2} + \left( 4,98 - 0,51 \right)^{2} + \left( 6,60 - 0,67 \right)^{2} + \\
{{\left( 7,49 - 0,76 \right)^{2} + \left( 6,67 - 0,68 \right)^{2} + \left( 8,21 - 0,84 \right)}^{2} + \left( 7,27 - 0,74 \right)^{2} + \left( 8,28 - 0,84 \right)}^{2} \\
+ {{\left( 7,30 - 0,75 \right)^{2} + \left( 5,09 - 0,52 \right)^{2} + \left( 5,62 - 0,57 \right)}^{2}}^{} \\
\end{matrix}}{18}}$$
Ksr = 0, 5382Ksr = 2, 836
$$\sigma = \sqrt{\frac{461,2616}{18}} = \sqrt{25,62564} = 5,062178$$
ΔKp = 1, 059 * 0, 0265 * 3 = 0, 0084
ΔKc = 0, 0084 + 0, 078 = 0, 086
K = 0, 695 ± 0, 086
K = 0, 7 ± 0, 09
2)Obliczenie pojemności dla nieznanych kondensatorów ze wzoru:
$$C = \frac{T}{\text{RK}}$$
K | T[s] |
R [MΩ] | C [μF] |
---|---|---|---|
0,695 | 1,34 | 3 | C1=0,645 |
0,695 | 1,73 | 3 | C2=0,831 |
0,695 | 2,51 | 3 | C3=1,206 |
0,695 | 3,70 | 3 | C4=1,775 |
Obliczenie błędu dla każdej pojemności kondensatora za pomocą różniczki logarytmicznej:
$$\text{ΔC} = \mid \frac{\text{ΔT}}{T} + \frac{\text{ΔK}}{K} \mid C$$
C1 = 0, 085μF ∖ nC2 = 0, 108μF ∖ nC3 = 0, 154μF ∖ nC4 = 0, 224μF
C = 0, 143μF
Csr = 1, 114μF
$$\sigma = \sqrt{\frac{\left( 0,645 - 1,114 \right)^{2} + \left( 0,831 - 1,114 \right)^{2} + \left( 1,206 - 1,114 \right)^{2} + \left( 1,775 - 1,114 \right)^{2}}{12}}$$
$$\sigma = \sqrt{\frac{0,745}{12}} = \sqrt{0,062} = 0,203$$
ΔCp = 0, 203 ⋅ 1, 3 ⋅ 3 = 0, 791
ΔC = 0, 143 + 0, 791 = 0, 934[μF]
C = 1, 114 ± 0, 934μF
C = 1, 1 ± 0, 9μF
Pojemności badanych kondensatorów wynoszą odpowiednio:
C1=(0,6 ± 0,1) μF
C2=(0,8 ± 0,1) μF
C3=(1,20 ± 0,15) μF
C4=(1,78 ± 0,22) μF
4. Zestawienie wyników:
1)wyniki dla stałej K
Ksr = 5, 27
ΔKc = 5, 27 + 2, 836
K = 0, 695 ± 0, 086
K = 0, 7 ± 0, 09
2)wyniki pojemności kondensatorów:
Csr = 1, 114μF
ΔC = 0, 143 + 0, 791 = 0, 934[μF]
C = 1, 114 ± 0, 934μF
C = 1, 1 ± 0, 9μF
C1=(0,6 ± 0,1) μF
C2=(0,8 ± 0,1) μF
C3=(1,20 ± 0,15) μF
C4=(1,78 ± 0,22) μF
5.Wnioski
Otrzymane wartości pojemności kondensatorów są przeważnie zbliżone do wyników rzeczywistych. Niewielkie odstępstwa wynikają z niedokładności pomiaru czasu przy mierzeniu ilości błysków.