Egzamin z Topologii 28-VI-2013

(tyle pamiętam)

TEORIA

1. Warunek równoważny bycia T3 p-nią + dowód.

2. Tw. o domkniętym podzbiorze p-ni zwartej + dowód.

3. Tw. o domknieciu produktu p-ni topologicznych + dowód.

4. a) Def. p-ni Tichonowa.

b) ?

c) Def. produktu p-ni topologicznych.

ZADANIA

1. Spr. czy t jest topologią w R.

t={A ⊂R: ∃x,y∈R (odcinek domknięty o końcach x,y zawiera się w A }∪{⌀}

1. Wiadomo, że t={A⊂ℝ :  ℚ⊂A}∪{⌀} jest topologią w ℝ.

Czy (ℝ ,t) jest T2 ?

Czy $\overset{\overline{}}{\{ 1\}}$={1}, $\overset{\overline{}}{\{\sqrt{2}\}}$={$\sqrt{2}$} ?

1. Udowodnić z definicji, że f: ℝ²→ℝ², f(x,y) = (-y,x) jest ciągła. W ℝ² rozważamy topologię ?produktową?.

2. Udowodnić, że produkt dwóch T2 p-ni jest T2 p-nią.