CZĘŚĆ TEORETYCZNA

W zagadnieniach z hydromechaniki i hydrauliki związanych z przepływem cieczy lepkiej, niezmiernie istotnym elementem jest określenie rodzaju ruchu, w jakim znajduje się ciecz. Jedną z podstawowych klasyfikacji jest podział na nich laminarny i burzliwy (turbulentny).

Ruch uwarstwiony (laminarny) cieczy w przewodach to ruch, w którym cząstki poruszają się w warstwach równolegle do siebie (warstwy płynu nie mieszają się miedzy sobą) lub burzliwy (turbulentny), w którym tory ruchu poszczególnych cząstek wzajemnie się przecinają. Wielkością charakterystyczną służącą do rozdzielenia ruchu jest liczba Reynoldsa, wyznaczana z zależności:

$$\text{Re} = \frac{V*d}{v}$$

gdzie:

Re- liczba Reynoldsa; [-],

V - średnia prędkość przepływu; [m/s],

d - średnica wewnętrzna przewodu; [m],

v - kinematyczny współczynnik lepkości; [m²/s].

Średnia prędkość przepływu V wyznaczana jest z równania ciągłości:

Q = F*v

gdzie:

Q - natężenie przepływu; [m³/s]_,

F - pole powierzchni poprzecznego poprzecznego przewodu; [m].

W przypadku rurociągów przepływ odbywa się w całym przekroju poprzecznym przewodu, stąd dla rur o przekroju kołowym prędkość przepływu wyznaczana jest ze wzoru:

$$V = \frac{4Q}{\pi d^{2}}$$

Wartość kinematycznego współczynnika lepkości v jest stablicowana. Można ją również określić wykorzystując dynamiczny współczynnik lepkości µ wykorzystując zależność:

$$v = \frac{u}{\rho}$$

gdzie:

u - dynamiczny współczynnik lepkości; [kg/s*m],

ρ - gęstość cieczy; [kg/m³].

CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia było zbadanie zadanego układu hydrodynamicznego przy zadanych danych początkowych pod względem zmiany prędkości przepływu cieczy i jej poziomu w 2 zbiornikach w czasie.

PRZEBIEG ĆWICZENIA

Rys. 1. Zadany układ hydrodynamiczny.

1. Wzory i obliczenia wykorzystane do zamodelowania układu:

V1 = Qwe − Qwy1 V2 = Qwe2 − Qwy2 =  Qwy1 − Qwy2 $$V_{1} = A\frac{dh}{\text{dt}}$$ $${Q_{\text{wy}1} = Q}_{\text{we}2} = \beta_{1}\sqrt{h_{1}}$$ $$Q_{\text{wy}2} = \beta_{2}\sqrt{h_{2}}$$ $$A_{1}\frac{dh_{1}}{\text{dt}} = Q_{\text{we}} - \beta_{1}\sqrt{h_{1}}$$ $$A_{2}\frac{dh_{2}}{\text{dt}} = \beta_{1}\sqrt{h_{1}} - \beta_{2}\sqrt{h_{2}}$$	$$\frac{dh_{1}}{\text{dt}} = \dot{h_{1}}$$ $$\frac{dh_{2}}{\text{dt}} = \dot{h_{2}}$$ $$\dot{h_{1}} = \frac{Q_{\text{we}}}{A_{1}} - \frac{\beta_{1}\sqrt{h_{1}}}{A_{1}}$$ $$\dot{h_{2}} = \frac{\beta_{1}\sqrt{h_{1}}}{A_{2}} - \frac{\beta_{2}\sqrt{h_{2}}}{A_{2}}$$ $$\beta_{n} = \mu S_{n}\sqrt{2g}$$ $$S_{n} = \frac{Q_{\text{we}}}{\mu\sqrt{2gh_{n}}}$$

1. Program do symulacji w MatLab.

clc;clear;

%wartości początkowe

r = [(length('damian')/4),(length('kochanski')/4)];

A1 = pi()*r(:,1)*r(:,1); %m2

A2 = pi()*r(:,2)*r(:,2); %m2

A = [A1 A2];

u = 0.6;

Qwe1 = 3 % 0.02 1 3 m3/s

hnom_1 = length('sylwester'); %m

hnom_2 = length('markowski'); %m

g = 9.81; %m/s2

S1 = Qwe1/(u*(sqrt(2*g*hnom_1)));

B1 = u*S1*sqrt(2*g);

S2 = Qwe1/(u*(sqrt(2*g*hnom_2)));

B2 = u*S2*sqrt(2*g);

tmax=3000;

step = 10;

OPTIONS = simset('FixedStep',step);

load_system('zbiornik_model');

open_system('zbiornik_model'); %otwiera nasz model

sim('zbiornik_model',tmax,OPTIONS);

w_1=simout.signals.values(:,1);

w_2=simout.signals.values(:,2);

tout1=simout.signals.values(:,3);

w_3=simout.signals.values(:,4);

w_4=simout.signals.values(:,5);

%wyprowadzenie wykresów

fntsz = 16;

lt=1;

subplot(2,1,1);

set(gca, 'FontSize',fntsz);

plot(tout1,w_1,'-k', tout1,w_2,'.k', 'LineWidth',lt);

xlabel('Czas [s]');

ylabel(sprintf('Wyskosc cieczy w zbiorniku [m]'));

title(sprintf('Wykresy dla Qwe1 = 3'));

legend('Zbiornik 1', 'Zbiornik 2','Location','best')

subplot(2,1,2);

set(gca, 'FontSize',fntsz);

plot(tout1,w_3,'-k', tout1,w_4,'.k', 'LineWidth',lt);

xlabel('Czas [s]');

ylabel(sprintf('Predkosc przeplywu [m^3/s]'));

legend('Zbiornik 1', 'Zbiornik 2','Location','best')

1. Model układu w simulink.

Rys. 2. Zamodelowany układ w Simulinku.

1. Otrzymane wykresy przebiegu prędkości przepływu i wysokości lustra wody w zbiornikach.

Wykres 1. Wykres dla wejściowego natężenia przepływu równego 0.02m³/s

Wykres 2. Wykres dla wejściowego natężenia przepływu równego 1m³/s

Wykres 3. Wykres dla wejściowego natężenia przepływu równego 3m³/s

WNIOSKI

Z uzyskanych wykresów można zaobserwować co następuje:

• Dla natężenia przepływu równego 0.02m³/s zbiornik pierwszy napełnia się bardzo wolno. W czasie 50min. lustro wody nie osiągnęło wysokości nominalnej. Drugi zbiornik napełnia się znacznie wolniej co wynika ze zmniejszonego przekroju przepływu w zaworze pierwszym. Jednak jego wysokość wzrasta wraz z wysokością lustra wody w zbiorniku pierwszym co wynika z twierdzenia Torricellego mówiącym, że prędkość wypływu zależy od wysokości słupa płynu. Analizując prędkość przepływu na wykresie 1. widzimy, że jest on gładki. Prawdopodobnie w praktyce oznacza to, że przepływ jest laminarny.

• Dla lepszego zobrazowania wpływu natężenia przepływu na zachowanie układu przyjrzyjmy się wykresowi nr 3 (natężenie przepływu równe 3 m³/s, w praktyce bardzo duże). Przebieg wysokości lustra wody i prędkości przepływu ma zaburzony charakter, co w praktyce oznacza, że mamy do czynienia z ruchem turbulentnym cieczy. W porównaniu do wykresu 1. oba zbiorniki napełniają się znacznie szybciej (po 10min. oba zbiorniki są pełne). Dodatkowo prędkość przepływu drugiego zbiornika równa się z pierwszym po czasie ok. 5min.

• Reasumując zamodelowany układ pozwala nam na badanie przebiegu wzrostu wysokości lustra wody w zbiornikach oraz wzrostu prędkości przepływu w zależności od zadanego natężenia przepływu.