Politechnika Warszawska

Wydział Geodezji i Kartografii

Ćwiczenie nr 1

Wyznaczenie przemieszczeń pionowych reperów metodą niwelacji precyzyjnej

Data oddania 22.03.2010

\

Wykonał:

Błażej ostrowski

Grupa 2b

Poniedziałek 16 : 15

Rok Akad. 2009/2010

1. Do określenia przemieszczeń obiektu założono na nim 7 (1-7) reperów kontrolnych oraz 5 (101-105) reperów odniesienia. Pomiar wykonano w dwa pomiary, pomiar pierwotny i wtórny. Przyjęto wartość błędu jaki popełniano na każdym stanowisku m₀=0,08 mm/1 st.

2. Wstępne wyrównanie w celu wykrycia błędów grubych w obserwacjach

1. Ułożenie równań obserwacyjnych oraz kolumny wyrazów wolnych jako przeciwności obserwacji

nr obs/nr reperu	1	2	3	4	5	6	7	101	102	103	104	105	l-pierwotny	l-wtórny
1	-1	1											1433,1	1429,0
2		-1	1										65,1	67,3
3			-1	1									-1331,1	-1328,3
4				-1	1								972,0	975,6
5					-1	1							-378,6	-381,4
6						-1	1						-327,6	-329,7
7	1						-1						-433,1	-432,2
8		-1			1								-294,1	-285,6
9					-1		1						-706,2	-711,3
10		1					-1						1000,2	997,0
11		1						-1					-388,0	-386,2
12		1							-1				265,2	267,1
13	1								-1				-1168,0	-1161,9
14	1									-1			-1056,1	-1049,2
15	1										-1		-919,8	-913,2
16							1				-1		-487,0	-480,9
17							1					-1	131,1	136,1
18								-1	1				-652,9	-653,2
19									-1	1			-112,1	-113,0
20										-1	1		-135,8	-136,0
21											-1	1	-617,8	-617,0
22								-1		1			-765,2	-765,9
23										-1		1	-753,8	-753,1

1. Zrównoważenie układu, otrzymałem macierz AtA, do której dopisałem dodatkową kolumnę i wiersz, aby wyeliminować defekt układu:

2,67	-1,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,50	0,00	-0,33	-0,33	-0,50	0,00	0
-1,00	2,75	-0,50	0,00	-0,25	0,00	-0,25	-0,50	-0,25	0,00	0,00	0,00	0
0,00	-0,50	1,50	-1,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0
0,00	0,00	-1,00	2,00	-1,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0
0,00	-0,25	0,00	-1,00	2,08	-0,50	-0,33	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0
0,00	0,00	0,00	0,00	-0,50	1,50	-1,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0
-0,50	-0,25	0,00	0,00	-0,33	-1,00	2,75	0,00	0,00	0,00	-0,33	-0,33	0
0,00	-0,50	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	1,03	-0,33	-0,20	0,00	0,00	1
-0,33	-0,25	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,33	1,42	-0,50	0,00	0,00	0
-0,33	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,20	-0,50	1,57	-0,33	-0,20	0
-0,50	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,33	0,00	0,00	-0,33	1,42	-0,25	0
0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,33	0,00	0,00	-0,20	-0,25	0,78	0
0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0

1. Rozwiązanie równania macierzowego

	pomiar pierwotny	pomiar wtórny
nr rep	dH [mm]	m [mm]
1	1821,1	0,1
2	387,9	0,1
3	322,8	0,1
4	1653,9	0,1
5	681,9	0,1
6	1060,5	0,1
7	1388,1	0,1
101	0,0	0,0
102	653,0	0,1
103	765,2	0,1
104	901,1	0,1
105	1519,0	0,1

Na podstawie macierzy R obliczyłem błędy otrzymanych niewiadomych, jako pierwiastki z elementów przekątnych macierzy R.

1. Kontrola oraz testy układu

pomiar pierwotny		pomiar wtórny
VTV	VTL
0,066	0,066

Test globalny

Warunkiem jaki muszą spełnić oba układy jest:

(σ₀)< (σ₀)kryt

pierwotny		wtórny
m0 kryt	1,324
m0^	0,074
(μ0)obl	0,080
m0’	0,926

Oba układy spełniają powyższy warunek, więc możemy podejrzewać iż nie występują błędy grube.

Test lokalny

Zastosowana metoda nosi nazwę metody poprawki zunifikowanej. Warunek jaki musi być spełniony to |ui|<u_kryt , u_kryt = 2,5

Pierwotny		Wtórny
|ui|	|ui|<ukryt
0,8	SPEŁNIONY
0,2	SPEŁNIONY
0,2	SPEŁNIONY
0,2	SPEŁNIONY
0,5	SPEŁNIONY
0,5	SPEŁNIONY
1,1	SPEŁNIONY
1,0	SPEŁNIONY
0,5	SPEŁNIONY
0,6	SPEŁNIONY
1,1	SPEŁNIONY
0,7	SPEŁNIONY
0,3	SPEŁNIONY
1,9	SPEŁNIONY
1,7	SPEŁNIONY
0,9	SPEŁNIONY
1,3	SPEŁNIONY
1,4	SPEŁNIONY
0,4	SPEŁNIONY
1,8	SPEŁNIONY
0,9	SPEŁNIONY
0,3	SPEŁNIONY
0,5	SPEŁNIONY

Warunek jest spełniony dla wszystkich obserwacji, więc można założyć, że błędy grube nie występują w obserwacjach.

1. Identyfikacja bazy odniesienia

1. Metoda wspólnego przedziału ufności

W tej metodzie wyrównaniu podlegają różnice obserwacji z pomiaru pierwotnego i wtórnego:

L
-2,90
1,10
1,98
2,55
-1,40
-1,48
0,45
3,01
-2,08
-1,13
0,90
0,67
2,49
2,82
3,30
2,49
2,04
-0,12
-0,45
-0,08
0,28
-0,22
0,22

Do obliczeń bierzemy tylko te elementy wektora X oraz macierzy Cx, które odnoszą się do punktów 101-105

Cx X

0,02	0,01	0,01	0,00	0,00		5,9
0,01	0,01	0,01	0,00	0,00		6,0
0,01	0,01	0,01	0,00	0,01		6,8
0,00	0,00	0,00	0,01	0,01		6,8
0,00	0,00	0,01	0,01	0,02		5,9

Obliczyłem błędy obserwacji na podstawie macierzy Cx

nr	Xi [mm]	mxi [mm]	d	g
101	5,9	0,1	5,5	6,2
102	6,0	0,1	5,7	6,3
103	6,8	0,1	6,5	7,0
104	6,8	0,1	6,5	7,1
105	5,9	0,2	5,6	6,3

Identyfikacja bazy odbywa się według wykresu:

Z tej metody wynika, że baza odniesienia to punkty: 101, 102, 105.

1. Metoda sprawdzania przemieszczeń par reperów

Tak jak w poprzedniej metodzie wykorzystujemy wektor X oraz macierz Cx tylko dla punktów 101-105. Obliczamy wzajemne różnice obserwacji oraz ich błędy. Następnie sprawdzamy kryterium stałości: |Xi|/mxi < 2,5, jeżeli jest spełnione to wówczas rysujemy połączenie pomiędzy danymi punktami.

		102	103	104	105
101	Xi	0,138	0,879	0,896	0,045
	mxi	0,132	0,141	0,160	0,185
	Xi/mxi	1,042	6,259	5,599	0,242
102,00	Xi		0,742	0,759	-0,093
	mxi		0,117	0,144	0,172
	Xi/mxi		6,330	5,261	-0,538
103,00	Xi			0,017	-0,835
	mxi			0,125	0,154
	Xi/mxi			0,135	-5,422
104,00	Xi				-0,851
	mxi				0,146
	Xi/mxi				-5,831

101
		102
105		103
104

Widać, że tylko punkty 101, 102, 105 tworzą wielobok zamknięty, więc są to punkty bazy odniesienia.

1. Wyrównanie w układzie sztywnym i elastycznym

1. Układ sztywny

W tym wyrównaniu macierz AtA pozostaje bez zmian, dopisuje się jedynie macierz S, która powstaje przez wpisanie jedynek w odpowiadających punktom bazy odniesienia kolumnach lub wierszach. Macierz L również pozostaje niezmienna, pominę ją w sprawozdaniu. Poniżej rozszerzona macierz AtA

1,33	-0,50	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,25	0,00	0,00	-0,17	-0,25	0,00	0	0	0
-0,50	1,38	-0,25	0,00	-0,13	0,00	-0,13	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0	0	0
0,00	-0,25	0,75	-0,50	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0	0	0
0,00	0,00	-0,50	1,00	-0,50	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0	0	0
0,00	-0,13	0,00	-0,50	1,04	-0,25	-0,17	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0	0	0
0,00	0,00	0,00	0,00	-0,25	0,75	-0,50	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0	0	0
-0,25	-0,13	0,00	0,00	-0,17	-0,50	1,38	0,00	0,00	0,00	-0,17	0,00	0	0	0
0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	1	0	0
0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0	1	0
-0,17	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,78	-0,17	0,00	0	0	0
-0,25	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,17	0,00	0,00	-0,17	0,71	0,00	0	0	0
0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0	0	1
0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0

Poniżej znajduje się tabela z wartościami m0. Pierwsza wartość jest obliczona na podstawie iloczynu wektorów Vt i V, druga jest obliczona na podstawie założonej wartości m0=0,08 mm/st.

m0	0,067
m0^	0,836

W poniższej tabeli przedstawione są już wyliczone wartości przemieszczeń oraz ich błędy. W ostatniej kolumnie przedstawione wyniki sprawdzenia kryterium istotności przemieszczenia |ui|<u_kryt , u_kryt = 2,5. Repery bazy odniesienia mają nieistotne przemieszczenia, więc obliczenia zostały wykonane poprawnie.

nr reperu	X [mm]	mx [mm]	kryterium
1	-6,0	0,1	istotne
2	-1,8	0,1	istotne
3	-3,9	0,1	istotne
4	-6,7	0,1	istotne
5	-10,2	0,1	istotne
6	-7,3	0,1	istotne
7	-5,1	0,1	istotne
101	0,0	0,0	nieistotne
102	0,0	0,0	nieistotne
103	0,8	0,1	istotne
104	0,8	0,1	istotne
105	0,0	0,0	nieistotne

1. Układ elastyczny

Jak pisałem wyżej macierz AtA oraz L jest bez zmian, natomiast zamieszczam poniżej rozszerzoną macierz AtA.

1,33	-0,50	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,25	0,00	-0,17	-0,17	-0,25	0,00	0
-0,50	1,38	-0,25	0,00	-0,13	0,00	-0,13	-0,25	-0,13	0,00	0,00	0,00	0
0,00	-0,25	0,75	-0,50	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0
0,00	0,00	-0,50	1,00	-0,50	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0
0,00	-0,13	0,00	-0,50	1,04	-0,25	-0,17	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0
0,00	0,00	0,00	0,00	-0,25	0,75	-0,50	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0
-0,25	-0,13	0,00	0,00	-0,17	-0,50	1,38	0,00	0,00	0,00	-0,17	-0,17	0
0,00	-0,25	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,52	-0,17	-0,10	0,00	0,00	1
-0,17	-0,13	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,17	0,71	-0,25	0,00	0,00	1
-0,17	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,10	-0,25	0,78	-0,17	-0,10	0
-0,25	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,17	0,00	0,00	-0,17	0,71	-0,13	0
0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,17	0,00	0,00	-0,10	-0,13	0,39	1
0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	1	0

Tabela z wartościami m0, jak w wyrównaniu sztywnym.

m0	0,068
m0^	0,848

Poniższe wyniki przedstawione jak w wyrównaniu sztywnym. Z obu wyrównań wyszły przybliżone wyniki, co daje pewność, iż obliczenia są poprawne.

nr reperu	dH [mm]	m [mm]	kryterium
1	-5,9	0,1	istotne
2	-1,8	0,1	istotne
3	-3,9	0,1	istotne
4	-6,7	0,1	istotne
5	-10,2	0,1	istotne
6	-7,3	0,1	istotne
7	-5,1	0,1	istotne
101	-0,1	0,1	nieistotne
102	0,1	0,1	nieistotne
103	0,8	0,1	istotne
104	0,8	0,1	istotne
105	0,0	0,1	nieistotne