Procedura parametryczna z warunkami na niewiadome

Sformułowanie zadania wyrównawczego z warunkami

Cov(L) = C_LL = C

Część funkcjonalna

V = Ax + L

przy czym rozwiązanie ma spełniać dodatkowe warunki

Sx + W = 0

Występowanie warunków wiążących parametry oznacz, że są one zależne. Analizując kolejne równania warunkowe wybieramy w każdym z równań jeden parametr zależny od pozostałych. W ten sposób uzyskamy dwie grupy parametrów, które nazwiemy parametrami właściwymi i parametrami dodatkowymi a układ równań warunkowych przybiera formę

S_dx_d+S_wx_w+W = 0

Stąd mamy parametry dodatkowe w jawnej postaci

x_d=−S_d⁻¹S_wx_w−S_d⁻¹W

Umożliwia ona ograniczenie liczby parametrów i uwolnienie zadania wyrównawczego od uwarunkowania oraz ujawnia niezależność liniową warunków.

Rozwiązanie metodą wielkich wag

Metoda wielkich wag jest metodą numeryczną sprowadzającą trudne zadanie uwarunkowane do prostszego - parametrycznego. Warunki zamieniamy na obserwacje o bardzo małych odchyleniach standardowych – ze względów numerycznych powinniśmy przyjmować dokładność takich quasi-obserwacji o 2-3 rzędy wyższą od oryginalnych obserwacji.

Funkcja Lagrange’a minimum uwarunkowanego

Zadanie uwarunkowane charakteryzuje funkcja Lagrange’a w której wykorzystano współczynniki nieoznaczone Lagrange’a k nazywane tradycyjnie w geodezji korelatami.

$$\text{Lag}\left( \mathbf{x,k} \right) = \mathbf{v}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{v + 2}\mathbf{k}^{\mathbf{T}}\left( \mathbf{Sx + W} \right)\mathbf{=}\left( \mathbf{Ax + L} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\left( \mathbf{Ax + L} \right)\mathbf{+ 2}\mathbf{k}^{\mathbf{T}}\left( \mathbf{Sx + W} \right)\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{Ax + 2}\mathbf{k}^{\mathbf{T}}\mathbf{Sx + 2}\mathbf{x}^{\mathbf{T}}{\overset{\check{}}{\mathbf{A}}}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{L + 2}\mathbf{k}^{\mathbf{T}}\mathbf{W +}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{L}$$

Funkcja Lagrange’a nie ma ograniczeń −∞<Lag < ∞

Rozwiązanie zadania określają warunki Kuhna-Tuckera dla punktu siodłowego

$$\frac{\mathbf{\partial}\text{Lag}}{\mathbf{\partial}\overset{\check{}}{\mathbf{x}}}\mathbf{= 2}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{Ax + 2}\mathbf{S}^{\mathbf{T}}\mathbf{k + 2}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{= 0}$$

$$\frac{\mathbf{\partial}\text{Lag}}{\mathbf{\partial k}}\mathbf{= 2\ Sx + 2}\mathbf{W = 0}$$

Stąd układ równań normalnych Lagrange’a

$$\begin{bmatrix} \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{A} & \mathbf{S}^{\mathbf{T}} \\ \mathbf{S} & \mathbf{0} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{k} \\ \end{bmatrix}\mathbf{+}\begin{bmatrix} \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{L} \\ \mathbf{W} \\ \end{bmatrix}\mathbf{= 0}$$

Wprowadzając łączny wektor niewiadomych oraz macierze blokowe

$$\mathbf{y =}\begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{k} \\ \end{bmatrix}\mathbf{;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Lambda}\mathbf{=}\begin{bmatrix} \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{A} & \mathbf{S}^{\mathbf{T}} \\ \mathbf{S} & \mathbf{0} \\ \end{bmatrix}\mathbf{,\ \ \ \ \ \ }\mathbf{\Omega}\mathbf{=}\begin{bmatrix} \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{L} \\ \mathbf{W} \\ \end{bmatrix}$$

Funkcję Lagrange’a zapiszemy w postaci

Lag = y^TΛy + 2y^TΩ+L^TL

a układ równań normalnych Lagrange’a w postaci

$$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{d}\text{Lag}}{\mathbf{\text{dy}}}\mathbf{=}\mathbf{\Lambda}\mathbf{y +}\mathbf{\Omega = 0}$$

stąd rozwiązanie nieoznaczone

y = −Λ⁻¹Ω

Macierz Λ posiada wartości własne dodatnie - odpowiadające podprzestrzeni x oraz ujemne – odpowiadające podprzestrzeni k.

Analiza dokładności rozwiązania

Oznaczymy bloki macierzy odwrotnej obliczonej dowolną metoda numeryczną

$${\mathbf{\Lambda}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{=}\begin{bmatrix} \mathbf{\Lambda}_{\mathbf{\text{xx}}}^{\mathbf{- 1}} & \mathbf{\Lambda}_{\mathbf{\text{xk}}}^{\mathbf{- 1}} \\ \mathbf{\Lambda}_{\mathbf{\text{kx}}}^{\mathbf{- 1}} & \mathbf{\Lambda}_{\mathbf{\text{kk}}}^{\mathbf{- 1}} \\ \end{bmatrix}\mathbf{=}\begin{bmatrix} \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{A} & \mathbf{S}^{\mathbf{T}} \\ \mathbf{S} & \mathbf{0} \\ \end{bmatrix}}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{=}\begin{bmatrix} \mathbf{D} & \mathbf{E}^{\mathbf{T}} \\ \mathbf{E} & \mathbf{F} \\ \end{bmatrix}$$

Z definicji macierzy odwrotnej MM⁻¹=I wynikają związki

1. A^TC⁻¹A D+S^TE = I

2. A^TC⁻¹A E^T+S^TF = 0

3. S D = 0

4. S E^T=I

Zapiszemy rozwiązanie w postaci rozwiniętej

$$\hat{\mathbf{y}}\mathbf{= -}\mathbf{\Lambda}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\Omega} = \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x}} \\ \hat{k} \\ \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} \mathbf{D} & \mathbf{E}^{\mathbf{T}} \\ \mathbf{E} & \mathbf{F} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \\ W \\ \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} \mathbf{\text{D\ A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{L +}\mathbf{E}^{\mathbf{T}}\mathbf{W} \\ \mathbf{E}\ \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{L + FW} \\ \end{bmatrix}$$

Analiza dokładności wyznaczonych parametrów

$$\mathbf{C}_{\hat{\mathbf{x}}\hat{\mathbf{x}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{dx}}}{\mathbf{\text{dL}}}C_{\text{LL}}\left( \frac{\mathbf{\text{dx}}}{\mathbf{\text{dL}}} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{\text{D\ A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{\ \ C\ \ \ }}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{AD}}$$

Z równania i) mamy A^TC⁻¹A D = I−S^TE

Wstawiając otrzymamy $\mathbf{C}_{\hat{\mathbf{x}}\hat{\mathbf{x}}}\mathbf{=}\mathbf{\text{D\ A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{AD}}\mathbf{= D}\mathbf{-}{\mathbf{D}\mathbf{\text{\ S}}}^{\mathbf{T}}\mathbf{E}$

Z równania iii) mamy (SD)^T=D^T S^T=D S^T=0

co prowadzi do wyzerowania ostatniego składnika i w efekcie

1. $\mathbf{C}_{\hat{\mathbf{x}}\hat{\mathbf{x}}}\mathbf{=}\mathbf{\text{D\ A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{AD}}\mathbf{= D}$

Należy podkreślić, że macierz D o takiej własności nazywany odwrotnością uogólnioną i oznaczamy

D=(A^TC⁻¹A)⁻

Ostatecznie $\mathbf{C}_{\hat{\mathbf{x}}\hat{\mathbf{x}}}\mathbf{=}\mathbf{\Lambda}_{\mathbf{\text{xx}}}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{=}\left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{A} \right)^{\mathbf{-}}$

Analiza dokładności wyznaczonych korelat

$$\mathbf{C}_{\mathbf{\text{kk}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{dk}}}{\mathbf{\text{dL}}}C_{\text{LL}}\left( \frac{\mathbf{\text{dk}}}{\mathbf{\text{dL}}} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{= E}\mathbf{\text{\ A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{\ \ C\ \ }}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{A\ }}\mathbf{E}^{\mathbf{T}}$$

Z równania ii) mamy A^TC⁻¹A E^T=−S^TF

Wstawiając otrzymamy C_kk= − ES^TF

Z równania iv) otrzymamy   E S^T=I

Stąd ostatecznie C_kk= − F = −Λ_kk⁻¹

Analizujemy poprawkę

$$\hat{\mathbf{V}}\mathbf{= A}\hat{\mathbf{x}}\mathbf{+ L}\mathbf{=}\left( \mathbf{I - A\ D\ A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}} \right)\mathbf{L + A}\mathbf{E}^{\mathbf{T}}\mathbf{W}$$

Traktując V jako funkcję L otrzymamy

$$\mathbf{C}_{\hat{\mathbf{V}}\hat{\mathbf{V}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}\hat{\mathbf{V}}}{\mathbf{\text{dL}}}C_{\text{LL}}\left( \frac{\mathbf{d}\hat{\mathbf{V}}}{\mathbf{\text{dL}}} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{=}$$

=(I − A D A^TC⁻¹)C(I−C⁻¹A D A^T)=C−A D A^T−A D A^T+A D A^TC⁻¹A D A^T

Z własności v) mamy A (D A^TC⁻¹A D )A^T=A D A^T

stąd $\mathbf{C}_{\hat{\mathbf{V}}\hat{\mathbf{V}}}\mathbf{=}{\mathbf{C}\mathbf{- A\ D\ A}}^{\mathbf{T}}$

Łatwo zauważyć, że macierz I −  A D A^T jest idempotentna.

Ostatecznie $\mathbf{C}_{\hat{\mathbf{V}}\hat{\mathbf{V}}}\mathbf{=}\mathbf{C}\mathbf{- A\ }\mathbf{\Lambda}_{\mathbf{\text{xx}}}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{\ A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{= I - A}\left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{A} \right)^{\mathbf{-}}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$

Analizujemy wyrównane obserwacje

$$\hat{\mathbf{L}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{\text{przybl}}}\mathbf{+ A}\hat{\mathbf{x}}$$

$$\mathbf{C}_{\hat{L}\hat{L}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}\hat{L}}{\mathbf{d}\hat{\mathbf{x}}}\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\hat{\mathbf{x}}\hat{\mathbf{x}}}\mathbf{\ }\left( \frac{\mathbf{d}\hat{L}}{\mathbf{d}\hat{\mathbf{x}}} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{= AD}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$$

Stąd analiza wariancji

$$\mathbf{C =}\mathbf{C}_{\hat{L}\hat{L}}\mathbf{+}\mathbf{C}_{\hat{\mathbf{V}}\hat{\mathbf{V}}}$$

$$\mathbf{C}_{\hat{L}\hat{V}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}\hat{L}}{\mathbf{d}\mathbf{L}}C_{\text{LL}}\left( \frac{\mathbf{d}\hat{\mathbf{V}}}{\mathbf{\text{dL}}} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{= A}\mathbf{\text{D\ A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{\ \ }}\mathbf{C}\mathbf{\text{\ \ }}\left( {\mathbf{I -}\mathbf{C}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{A\ D\ A}}}^{\mathbf{T}} \right)\mathbf{\ }$$

=AD A^T−AD A^TC⁻¹A D A^T=0

po uwzględnieniu własności v)

W ten sposób wykazaliśmy niezależność wyrównanych obserwacji $\hat{L}$ i poprawek $\hat{\mathbf{V}}$

Skutki uwarunkowania

Rozpatrzymy dwa przypadki odwracania macierzy blokowych o strukturze macierzy Λ.

$$\mathbf{\Lambda =}\begin{bmatrix} d & s^{T} \\ s & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Przypadek 1

Zakładamy, że istnieje d⁻¹.

Budujemy macierzowy układ równań o wyrazie wolnym równym macierzy jednostkowej

d	s^T	I	0
s	0	0	I

Przeprowadzimy operacje liniowe na wierszach, tak aby lewa część tabeli stała się blokową macierzą jednostkową – wówczas w prawej części otrzymamy macierz odwrotną Λ⁻¹. Rozpoczynamy od pierwszej kolumny. Pierwsze równanie mnożymy przez odwrotność elementu diagonalnego. Następnie zerujemy początkowy blok w drugim wierszu w wyniku dodawania do równania drugiego równania pierwszego pomnożonego przez ujemny blok zerowany.

I	d^−1 s^T	d^−1	0
0	−sd^−1 s^T	-sd^−1	I

Następnie przekształcamy drugą kolumnę. Drugie równanie mnożymy przez odwrotność elementu diagonalnego, a następnie zerujemy element wiersza pierwszego przy pomocy równania drugiego.

I	0	d^−1 − d^−1 s^T(sd^−1 s^T)^−1 sd^−1	d^−1 s^T (sd^−1 s^T)^−1
0	I	(sd^−1 s^T)^−1 sd^−1	−(sd^−1 s^T)^−1

Analizowany przypadek odpowiada sytuacji w której liczba warunków jest większa od defektu macierzy A^TA czyli

rank A^TA + rank S > rank Λ = u + w

Oznacza to zniekształcanie obserwacji przez warunki, jego miarą jest ujemna wariancja korelat reprezentowana elementem drugiego wiersza i drugiej kolumny macierzy odwrotnej

Λ_kk⁻¹=−(sd⁻¹ s^T)⁻¹

Przypadek 2

Oryginalny układ równań poprawek o rzędzie r = rank A^TA

uzupełniamy niezależnymi warunkami w = d = u − r    

czyli zachodzi rank A^TA + rank S = rank Λ = u + w

Macierze S,  A^TA dzielimy na bloki o wymiarach r,  w tak, aby uzyskać macierz pełnego rzędu

$\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} = \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{12}^{T} & d_{22} \\ \end{bmatrix}$ ; $\mathbf{S} = \begin{bmatrix} s_{1} & s_{2} \\ \end{bmatrix}$

Macierze d₂₂ i s₂ są kwadratowe i mają takie same wymiary.

Interesuje nas fragment macierzy odwrotnej odpowiadający wariancji korelat.

Budujemy macierzowy układ równań z jedną kolumna wyrazów wolnych odpowiadającej trzeciej kolumnie blokowej macierzy jednostkowej

d11	d12	s1^T	0
d12^T	d22	s2^T	0
s1	s2	0	I

Z założeń podziału na bloki wynika, że istnieje d₁₁⁻¹. Mnożąc przez tą odwrotność pierwsze równanie a następnie rugując z drugiego otrzymamy układ

I	d11^−1d12	d11^−1s1^T	0
0	d22 − d12^Td11^−1d12	s2^T-d12^Td11^−1s1^T	0
0	s2 − s1d11^−1d12	−s1d11^−1s1^T	I

d₂₂ − d₁₂^Td₁₁⁻¹d₁₂ = 0

q = s₂ − s₁d₁₁⁻¹d₁₂

Układ przybiera postać

I	d11^−1d12	d11^−1s1^T	0
0	0	q^T	0
0	q	−s1d11^−1s1^T	I

Mnożymy drugie równanie przez  (q⁻¹)^T i rugujemy z pozostałych

I	d11^−1d12	0	0
0	0	I	0
0	q	0	I

Mnożymy trzecie równanie przez  q⁻¹ i rugujemy z pierwszego

I	0	0	−d11^−1d12q^−1
0	0	I	0
0	I	0	q^−1

Zamieniamy równania 2 z 3

I	0	0	−d11^−1d12q^−1
0	I	0	q^−1
0	0	I	0

Uzyskaliśmy ZEROWĄ wariancję korelat

Λ_kk⁻¹=0

Jest to wyróżnik uwarunkowania niezniekształcającego