11.5. Energia pola elektrycznego kondensatora
Przypuśćmy, że ładujemy kondensator powoli. Napięcie wzrasta stopniowo, proporcjonalnie do ładunku. Jeżeli napięcie ma w danej chwili wartość u i chcemy doprowadzić małą porcję ładunku Q, to potrzebna do tego energia W — uQ jest tym większa, im większa jest wartość napięcia. Na rys. 11.5 przedstawiającym liniową zależność napięcia u od ładunku Q energia Wjest proporcjonalna do pola prostokąta o podstawie Q i wysokości «. Całkowita energia zużyta na naładowanie kondensatora jest proporcjonalna do pola trójkąta 011, a więc wyraża się wzorem
(11.14)
$W = \frac{1}{2}\text{QU}$
Albo przy Q = CU
(11.15)
$$W = \frac{1}{2}CU^{2}$$
Energia ta zostaje zmagazynowana w polu elektrycznym kondensatora. Faktycznie jest to więc energia pola elektrycznego między okładzinami kondensatora.
Rys. 11.5. Rysunek objaśniający pojęcie energii kondensatora
Przykład 11.3. Obliczyć energię pola elektrycznego kondensatora o pojemności C = 1 μF przy napięciu między okładzinami U — 1200 V.
Rozwiązanie
Podstawiając do wzoru (11.5) C = 10−6 F
136
11.6. Wytrzymałość elektryczna
Napięcia na kondensatorze nie można dowolnie zwiększać ze względu na niebezpieczeństwo przebicia warstwy dielektryku. Ze wzrostem napięcia zwiększa się natężenie pola elektrycznego E = U|d .Obliczona w przykładzie 11.2 wartość natężenia pola elektrycznego w kondensatorze „papierowym" E = 120 000 V/cm.
W każdym dielektryku istnieje pewna liczba elektronów swobodnych. Jest ona niewielka w porównaniu z liczbą elektronów swobodnych w metalu. W odpowiednio silnym polu elektrycznym elektrony te uzyskują tak dużą energię kinetyczną, że w zderzeniach z cząsteczkami dielektryku wytrącają z nich następne elektrony, co nazywamy jonizacją dielektryku. W dielektryku powstają najpierw wyładowania niezupełne, które przy dalszym powiększaniu natężenia pola prowadzą do przebicia warstwy dielektryku.
Największą wartość natężenia pola Emax , która nie wywołuje jeszcze przebicia, nazywamy wytrzymałością elektryczną dielektryku.
Tablica 11.1
Rezystywność, przenikalność i wytrzymałość elektryczna dielektryków
Dielektryk | Rezystywność
|
Przenikalność elektryczna względna εr |
Wytrzymałość elektryczna
|
---|---|---|---|
Drewno bukowe nasycone olejem mineralnym Guma Igelit Mikanit Olej transformatorowy Papier kablowy nasycony Porcelana wysokonapięciowa Polietylen Tytanat baru |
|
3,3 3,5…6 3,5…5 4…6 2,2…2,45 3,5…4,3 5,0…6,5 2,2…2,3 1500…2000 |
80…90 200…450 250…500 150…240 150…200 700…800 200…300 300…600 |
137
Jednostką wytrzymałości elektrycznej w układzie SI jest 1 V/m. W praktyce jest stosowana, wspomniana już w przykładzie 11.2, jednostka 1 kV/cm = 105 V/m. Wytrzymałość elektryczną niektórych dielektryków podano w tabl. 11.1.
11.7. Łączenie kondensatorów
Na obudowie kondensatora zaznacza się zwykle jego pojemność i napięcie znamionowe, tj. dopuszczalne napięcie pracy (stałe lub przemienne), którego nie należy przekraczać ze względu na możliwość przebicia. Sposób oznaczania kondensatorów elektroenergetycznych poznamy w części II „Podstaw elektrotechniki".
Jeżeli napięcie znamionowe kondensatora jest niższe niż napięcie sieci, do której kondensator ma być włączony, stosuje się łączenie szeregowe kondensatorów (rys. 11.6). Przy połączeniu szeregowym na wszystkich kondensatorach jest taki sam ładunek, a napięcie rozkłada się na poszczególne kondensatory.
Rys. 11.6. Połączenie szeregowe kondensatorów
W pokazanym na rys. 11.6 układzie szeregowym trzech kondensatorów napięcie U na zaciskach końcowych całego układu jest sumą napięć U1, U2,U3 na poszczególnych kondensatorach U = U1 + U2 + U3 .Każde z tych napięć jest równe ilorazowi ładunku Q i pojemności C1, C2,C3, a więc
$$U = \frac{Q}{C_{1}} + \frac{Q}{C_{2}} + \frac{Q}{C_{3}} = Q(\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}})$$
(11.16)
Pojemność zastępcza całego układu $C = \frac{Q}{U}$, a jej odwrotność
$$\frac{1}{C} = \frac{U}{Q}$$
138
Po obustronnym podzieleniu równania (11.16) przez Q
$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$$
(11.17)
Wzór (11.17) może być rozszerzony do dowolnej lichy połączonych w szereg kondensatorów.
Przy łączeniu szeregowym kondensatorów dodajemy odwrotności ich pojemności.
Przykład 11.4. Trzy kondensatory o pojemnościach C1 = 6 μF, C2 = 18 μF, C3 = 9 μF połączono w szereg na napięcieU = 6000 V. Obliczyć ładunek Q i napięcia na poszcze-KÓlnych kondensatorach.
Rozwiązanie
Najpierw obliczamy pojemność zastępczą układu szeregowego (w μF)
$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{1}{9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$
C = 3 μF
Znając napięcie U i pojemność C obliczymy ładunek Q
Q = CU = 3 • 10−6 • 6000 = 18 • 10−3C = 18 mC
Poszczególne napięcia
$$U_{1} = \frac{Q}{C_{1}} = \frac{18 \bullet 10^{- 3}}{6 \bullet 10^{- 6}} = 3 \bullet 10^{3}V = 3000\ V$$
U2 = 1000 V ; U3 = 2000 V
Przy połączeniu w szereg n jednakowych kondensatorów, każdy o pojemności Cl, pojemność zastępcza C układu jest n razy mniejsza od C1
$$C = \frac{1}{n}C_{1}$$
Jeżeli pojemność jednego kondensatora jest mniejsza od potrzebnej pojemności, stosujemy równolegle łączenie kondensa-
Rys. 11.7. Połączenie równolegle kondensatorów
139
torów (rys. 11.7). Wtedy wszystkie kondensatory mają to samo napięcie, a ich ładunki są proporcjonalne do ich pojemności
Q1 = C1U; Q2 = C2U; Q3 = C3U
\Całkowity ładunek, jaki musi być dostarczony ze źródła
Q = Q1 + Q2 + Q3 = (C1+C2+C3)U (11.19)
Pojemność zastępcza C = Q/U. Z równania (11.19), po obustronnym podzieleniu przez U
C = C1 + C2 + C3 (11.20)
Przy równoległym połączenia dowolne} liczby kondensatorów pojemność zastępcza jest równa sumie pojemności poszczególnych kondensatorów.
Pojemność układu równoległego m jednakowych kondensatorów, każdy o pojemności C1 jest równa mC1
Pytania
11.1. Co nazywamy pojemnością elektryczną układu dwóch przewodników w środowisku dielektrycznym? Co nazywamy'pojemnością przewodnika względem ziemi? Podaj określenie, wymiar i nazwę jednostki pojemności w układzie SI.
11.2. Jaki jest wymiar przenikalności elektrycznej? Jak można wyznaczyć pomiarowo prze-nikalność elektryczną? Jaka jest wartość przenikalności próżni?
113. Co nazywamy przenikalnością względną dielektryku materialnego?
11.4. Podaj określenie kondensatora. Jakie znasz rodzaje kondensatorów ? Jak jest zbudowany kondensator płaski z izolacją papierową? Jakim wzorem wyraża się pojemność kondensatora płaskiego? Jakie zastosowania mają kondensatory obrotowe?
11.5. Podaj wzór na obliczanie energii kondensatora i wyjaśnij, gdzie jest ona zmagazynowana?
11.6. Czy można dowolnie zwiększać napięcie na kondensatorze? Co to jest wytrzymałość elektryczna dielektryków?
11.7. Kiedy łączymy kondensatory w szereg? Jak obliczamy pojemność zastępczą układu szeregowego kondensatorów? W jakim celu łączymy kondensatory równolegle? Jak obliczamy pojemność układu równoległego kilku kondensatorów?
140
12. Elektromagnetyzm. Obwody magnetyczne
Już 600 lat p.n.e. starożytni Grecy wiedzieli, że wydobywana w pobliżu miasta Magnezji w Azji Mniejszej ruda żelaza, nazwana później magnetytem, ma właściwości przyciągania małych przedmiotów stalowych. Stwierdzili również, że taką samą właściwość można nadać prętom z twardej stali przez zetkniecie ich z magnetytem. Tak powstały pierwsze sztuczne magnesy trwałe, w odróżnieniu od magnesów naturalnych, jakimi są kawałki magnetytu. W dalszym ciągu będą opisane skuteczniejsze sposoby magnesowania niż przez pocieranie magnetytem. Sama nazwa „magnes" pochodzi niewątpliwie od miasta Magnezji.
Dalsze badania wykazały, że dowolny magnes prętowy zawieszony swobodnie nad ziemią przyjmuje w każdym miejscu na kuli ziemskiej ściśle określoną pozycję, zależną od położenia geograficznego danego miejsca. Zjawisko to zostało wykorzystane w budowie kompasów. Istotną część kompasu stanowi igła magnetyczna osadzona na pionowym ostrzu tak, że może się poruszać w płaszczyźnie poziomej. Na rys. 12. la przedstawiono widok
a)
b)
Rys. 12.1. Igta magnetyczna: a) widok z boku; 6) widok z góry
141
igły magnetycznej z boku, a na rys 12.1b widok z góry. Jeden koniec igły magnetycznej zwraca się na północ, więc nazwano go biegunem magnetycznym północnym N, a drugi — biegunem magnetycznym południowym 5. W celu ich odróżnienia nadaje się zwykle biegunowi północnemu barwę ciemnoniebieską, południowemu — szarą.
Rys. 12.2. Położenie igły magnetycznej w polu ziemskim: a) nie poddanej wpływom zewnętrznym; b) przy zbliżeniu bieguna N magnesu; ć) przy zbliżeniu bieguna 5 magnesu
Stwierdzono, że dwa bieguny jednakoimienne (oba N lub oba S) odpychają się, a bieguny różnoimienne N i S przyciągają się. Na rys. 12.2a pokazano położenie igły magnetycznej nie poddanej wpływowi innych magnesów, na rys. 12.26 położenie tej samej igły przy zbliżeniu do jej bieguna N takiego samego bieguna N magnesu trwałego, a na rys. 12.2c — bieguna 5 magnesu.
Stąd wniosek, że kulę ziemską można traktować jak olbrzymich rozmiarów magnes, którego biegun magnetyczny południowy 5 znajduje się blisko bieguna geograficznego północnego N i na odwrót: biegun magnetyczny N w pobliżu 5.
Dalsze badania nad magnesami wykazały, że bieguny magnetyczne występują zawsze parami, że nie jest możliwe oddzielenie bieguna magnetycznego N lub tylko S. Najsilniejsze własności przyciągania przedmiotów żelaznych (stalowych) obserwujemy na końcach magnesu, tj. na biegunach. Obrazy takie można uzyskać za pomocą opiłek stalowych na kartonie. Im bliżej środka magnesu, tym działanie to jest słabsze, a w samym środku długości magnesu w ogóle nie występuje. Dlatego środkową część magnesu nazywamy strefą obojętną.
Rys. 12.3. Magnes po przełamaniu dzieli się na nowe magnesy
142
Przez przełamanie magnesu otrzymujemy dwa nowe, krótsze magnesy, każdy o parze biegunów N, S (rys. 12.3).
12.2. Pole magnetyczne jako pole elektrokinetyczne
Przez przeszło 2000 lat uważano elektryczność i magnetyzm Za dwie odrębne, zupełnie od siebie niezależne, dziedziny zjawisk fizycznych. Dopiero w 1819 r. H. Oersted odkrył oddziaływanie prądu elektrycznego na igły magnetyczne, a szczegółowe badania w tym kierunku przeprowadził Ampere w latach 1820—1823. Stwierdził on, że obwody elektryczne wywołują w otaczającej je przestrzeni działania podobne do działań magnesów, a nawet doszedł do wniosku, że istnienie magnesów trwałych i magnesów naturalnych można wyjaśnić przypuszczalnymi mikroprądami wewnątrz materii.
Dzięki postępowi nauki wiemy obecnie, że między ładunkami < k ktrycznymi będącymi w ruchu, a więc także między prądami ikktrycznymi istnieją oprócz sił elektrostatycznych, podlegają-i ych prawu Coulomba, wielokrotnie większe siły elektrokine-lyczne przypisywane dawniej siłom elektromagnetycznym.
Rys. 12.4. Pętla z bardzo giętkiej linki miedzianej : a)
zwisająca swobodnie w stanie bezprądo-wym; b) podczas przepływu prądu o dużym natężeniu
Przykłady takich sił pokazano na rys. 15.4 i 12.5. Pętla z bardzo giętkiej linki miedzianej, zwisająca swobodnie w stanie bezprądowym, stara się przyjąć kształt okręgu podczas przepływu prądu (rys. 12.4a, b). Poszczególne zwoje drutu nawiniętego luźno na rurze izolacyjnej przyciągają się podczas przepływy prądu (rys.
143
Rys. 12.5. Siły między zwojami cewki przy dużych prądach
12.5). Efekt ten występuje bardzo wyraźnie, jeżeli do środka rury włożyć rdzeii stalowy. Do doświadczenia należy użyć drutu bardzo giętkiego, izolowanego. Opisane zjawiska tłumaczymy istnientem pola elektrokinetycznego.
Prąd w dowolnym obwodzie elektrycznym wyrołuje w otaczającej przestrzeni pole elektrokinetyczne, które nazywamy tradycyjnie polem magnetycznym.
Zachowanie dawnej nazwy „pole magnetyczne" jest uzasadnione tym, że jest to pole tej samej natury
co pole magnesu. W dalszym ciągu przedstawimy znane zjawiska magnetyczne jako zjawiska
elektrokinetyczne, wywołane prądami elektrycznymi, jak też ruchami ładunków elementarnych w
cząsteczkach materii.
12.3. Obraz graficzny pola magnetycznego
Do badania jakościowego pól magnetycznych służą odpowiednio małe igły magnetyczne. Kierunek
igły magnetycznej jest zgodny z kierunkiem działających na nią sił pola, których zwrot przyjmujemy jako zgodny ze zwrotem od 5 do N (rys. 12.7).
Igłę magnetyczną umieszczamy w wybranym punkcie pola magnetycznego, czekamy aż przestanie się
wahać, a następnie przesuwamy jej oś o bardzo mały odcinek Al w kierunku bieguna N. Po
uspokojeniu się igły znów ją przesuwamy o A/. Przy takim postępowaniu oś igły zakreśla linię zwaną
linią pola magnetycznego. Zaczynając od różnych
punktów otrzymamy zbiór linii tworzących obraz graficzny pola magnetycznego. Linie pola
zaopatrujemy w strzałki zgodne z kierunkiem ich zakreślania. Stwierdzamy, że linie pola
magnetycznego wytworzonego.
144
przez obwody elektryczne umieszczone w powietrzu są liniami zamkniętymi, tzn. nie mają nigdzie ani początku, ani końca. Linie pola magnetycznego na zewnątrz magnesu trwałego wychodzą z okolicy bieguna N, a kończą się w okolicy bieguna S. [oki jest obraz pola wewnątrz magnesu, tego za pomocą igły magnetycznej stwierdzić nie można.
Obrazy typowych pól magnetycznych pokazano na rys. 12.6
do 12.10.
i nie pola magnetycznego wytworzonego przez prąd / płynący w przewodzie prostoliniowym są okręgami leżącymi w płaszczyz-nach prostopadłych
do osi przewodu. Na rys. 12.6a, b pokazano n w widoku perspektywicznym, a na rys. 12.6c, d w rzucie poziomym (rzucie z góry). Strzałki prądu, które wchodzą z góry do płaszczyzny rysunku, oznaczono ukośnie krzyżykiem, a strzałki, I loro wychodzą ostrzem z płaszczyzny rysunku do patrzącego, łączono kropką.
Rys. 12.6. Pole magnetyczne w otoczeniu przewodu prostoliniowego o prądzie I: a), b) widok perspektywiczny ; c), d) w przekroju prostopadłym do osi przewodu
Podstawy elektrotechniki cz. I – 10
145
Rys. 12.7. Solenoid
Na rys. 12.7 przedstawiono cewkę nawiniętą jednowarstwowo na rurze (w przekroju podłużnym) wraz z obrazem jej pola magnetycznego. Cewkę nawiniętą równomiernie na rurze nazywamy solenoidem. Rurę wykonujemy najczęściej jako cienkościenną z tworzywa sztucznego. Jak widać, linie pola magnetycznego solc-noidu są najbardziej zagęszczone wewnątrz samego solenoidu. Pole magnetyczne na zewnątrz solenoidu jest bardzo podobne do pola magnesu trwałego prętowego (rys. 12.8). Ten koniec solenoidu, z którego linie pola wychodzą, jest biegunem magnetycznym N solenoidu, a koniec, do którego linie pola wchodzą, jest biegunem S solenoidu. Dla porównania pokazano na rys. 12.9 pole magnesu podkowiastego.
Linie pola magnetycznego odtwarza/ą tylko w poglądowy sposób obraz pola. Przyjmujemy, że ich gęstość, tj. liczba przypadająca na jednostkę powierzchni, jest proporcjonalna do pewnej
Rys. 12.8. Pole magnetyczne magnesu prętowego Rys. 12.9. Pole magnetyczne magnesu podkowiastego
146
wielkości B, charakteryzującej pole magnetyczne, którą nazywamy indukcją magnetyczną. Linie pola
są więc Uniami indukcji magnetycznej. Faktycznie pole magnetyczne wypełnia w sposób ciągły całą
przestrzeń między liniami.
12.4. Reguła śruby prawoskrętnej
W każdym punkcie pola magnetycznego igła magnetyczna przyjmuje ściśle określony kierunek.
Kierunek ten przyjmujemy za kierunek wektora indukcji magnetycznej B, opisującej dane pole.
Wiktor B jest w każdym punkcie pola magnetycznego styczny do przechodzącej przez ten punkt linii
pola. Jego zwrot jest od bieguna S do bieguna N próbnej igły magnetycznej, umieszczonej w tym
punkcie, tj. zgodny ze zwrotem strzałki linii pola.
Rys. 12.10. Stosowanie reguły śruby prawoskrętnej do zwoju kołowego
Przy wyznaczaniu kierunku wektora indukcji B w polu wytwo-rzonym przez prąd elektryczny posługujemy się najczęściej re-gułą| śruby prawoskrętnej, jak to objaśniono na podanych niżej przykładach.
Chcąc wyznaczyć kierunek i zwrot wektora B w otoczeniu długiego przewodu prostoliniowego, układamy śrubę prawoskrętną w osi przewodu i obracamy ją tak, aby posuw śruby był
zgodny ze zwrotem prądu (rys. 12.6a, b).
Linie pola magnetycznego są, jak już wiemy, okręgami leżą-cymi w płaszczyznach prostopadłych do osi
przewodu. Obrót
147
Rys. 12.11. Stosowanie reguły śruby prawoskrętnej do solenoidu przy różnych zwrotach
Prądu
śruby prawoskrętnej wyznacza zwrot obiegu linii pola magnetycznego, a wektor B jest styczny do przechodzącego przez dany punkt okręgu, którego środek leż}' w osi przewodu.
W polu magnetycznym pojedynczego zwoju kołowego lub solenoidu należy śrubę prawoskrętną umieścić w środku zwoju, prostopadle do jego płaszczyzny lub w osi solenoidu i obracać ją zgodnie z obiegiem prądu. Posuw śruby wyznacza zwrot linii pola wewnątrz zwoju kołowego lub wewnątrz solenoidu (rys. 12.10 i 12.1 la, b).
W zastosowaniu do solenoidu jest często spotykana reguła prawej ręki.
Prawą rękę należy położyć na solenoidzie tak, aby cztery palce obejmujące solenoid były skierowane
zgodnie z prądem. Odchylony duży palec wskazuje zwrot linii pola wewnątrz solenoidu (rys. 12.12).
Rys. 12.12. Wyznaczanie kierunku pola magnetycznego w solenoidzie za pomocą reguły prawej ręki
148
Ćwiczenia
12.1. Ustawianie się igły magnetycznej (kompasu) w polu ziemskim. Wpływ zbliżania magnesu trwałego na odchylenie igły. Wzajemne oddziaływanie biegunów magnetycznych jednakoimiennych i różnoimiennych.
12.2. Badanie pola magnetycznego w pobliżu przewodu prostoliniowego o prądzie I i za pomocą igły magnetycznej.
12.3. Badanie pola magnetycznego zwoju kołowego o prądzie I oraz pola solenoidu za pomocą igły magnetycznej.
12.4. Sprawdzenie przyciągania się zwojów nawiniętych luźno obok siebie (rys. 12.5) i obserwacja zjawiska odpowiadającego (rys. 12.4).
12.5. Działanie pola magnetycznego na prąd elektryczny. Wyznaczanie indukcji magnetycznej
Podstawową wielkością, która charakteryzuje stan pola magnetycznego w danym miejscu, jest indukcja magnetyczna B. Określa się ją na podstawie oddziaływania pola magnetycznego na prąd elektryczny.
W każdym punkcie odległym o taki sam odcinek a od przewodu prostoliniowego bardzo długiego indukcja magnetyczna B ma ze względu na symetrię jednakową wartość, a wektor indukcji jest
styczny do okręgu o promieniu a. Umieśćmy w odległości a od przewodu prostoliniowego / (rys. 12.13) równolegle do niego przewód 2. Prąd w przewodzie 1 wytwarza wokół pole magnetyczne. Oznaczmy wartość indukcji magnetycznej w odległości a przez B. Stwierdzamy doświadczalnie, że na przewód 2 działa
i proporcjonalna do prądu / płynącego przez ten przewód i do
Rys. 12.13. Oddziaływanie dwóch przewodów równoległych.
149
długości przewodu 2. Siła ta zmienia się ponadto proporcjonalnk do prądu wytwarzającego pole
magnetyczne. Na tej podstawie zapiszemy wzór na siłę F w postaci
F = IlB
Z obserwacji wynika, że siła F jest skierowana prostopadle do długości przewodu i prostopadle do wektora B, a zwrot jej jest do przewodu 1, jeżeli prądy mają zgodne zwroty.
Przy wyznaczaniu kierunku siły F posługujemy się regułą lewej dłoni.
Jeżeli lewą dłoń ułożymy tak, aby linie pola magnetycznego były skierowane do dłoni, a cztery palce zgodnie z prądem, to odchylony wielki palec wskaże kierunek działania siły F (rys. 12.14).
Rys. 12.14. Wyznaczanie kierunku siły oddziaływania pola
magnetycznego na prąd za pomocą reguły lewej dłoni
W podobny sposób można wyznaczyć siłę działającą na przewód 1, zakładając, że przewód 2 wytwarza pole magnetyczne, a przewód 1 zostaje w tym polu umieszczony.
Zapamiętaj :
Przewody prostoliniowe równoległe o zgodnych zwrotach prądów przyciągają się, a o niezgodnych zwrotach prądów odpychają się.
Na podstawie wzoru (12.1) można wyprowadzić jednostkę indukcji magnetycznej.
Podstawiamy: F = 1 N; I = 1 A; l = 1 m. Otrzymujemy
$$1\ \left\lbrack B \right\rbrack = 1\frac{\lbrack F\rbrack}{\left\lbrack I \right\rbrack \bullet \lbrack l\rbrack} = 1\frac{N}{A \bullet m}$$
(12.2)
Wiemy, że $1\ N = 1\frac{J}{m} = 1\frac{V \bullet A \bullet s}{m}$, więc jednostka indukcji magnetycznej
150