MATEMATYKA – wykład 30.09.2013r.

CIĄGI NIESKOŃCZONE

Definicja 1: Jeżeli każdej liczbie naturalnej n przyporządkowana jest jedna liczba a_n (wyraz ogólny ciągu)

to mówimy wtedy, że określony jest ciąg nieskończony :

a₁, a_2, a₃, a₄ ... → { a_n }

a_n = 2n – 1 ciąg liczb nieparzystych

a_n = a₁ + ( n – 1 )r ciąg arytmetyczny

Definicja 2 : Ciąg w postaci pierwszej (definicja 1) nazywamy ograniczonym z dołu / ograniczonym z góry / ograniczonym, jeżeli istnieje taka liczba M, że dla każdego wyrazu ciągu:

ograniczony z dołu / ograniczony z góry / ograniczony

a_n ≥ M a_n ≤ M I a_n I ≤ M

Definicja 3 : Ciąg { a_n } nazywamy:

1. rosnącym, jeżeli każdy następny wyraz ( a_n + 1) > a_n

2. malejącym, jeżeli każdy następny wyraz ( a_n + 1) < a_n

3. nie malejącym, jeżeli każdy następny wyraz ( a_n + 1) ≥ a_n

4. nie rosnącym, jeżeli każdy następny wyraz ( a_n + 1) ≤ a_n

Przykład a i b przedstawia ciągi ściśle monotoniczne, zaś przykłady c i d odnoszą się do ciągów monotonicznych w szerszym sensie.

Przykład:

Ciąg rosnący: $a_{n} = \ \frac{n}{n + 1}$ np. $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{4}$ ...

Ciąg malejący: $a_{n} = \ \frac{n + 1}{n}$ np. 2, $\frac{3}{2}$ , $\frac{5}{4}$ ...

Ciąg niemalejący: $a_{n} = n - \lbrack\frac{n}{2}\rbrack$ np. 1, 1, 2, 2 ... [ ] – część całkowita liczby

Ciąg nierosnący: $a_{n} = \left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack - \ n$ np. -1, -1, -2, -2 ...

Definicja 4 : Ciąg o wyrazie ogólnym { a_n } ma granicę g, jeżeli dla każdej liczby dodatniej

ε > 0 (dowolnie małej), można znaleźć w ciągu taki numer N, że dla każdego n ≥ N zachodzi nierówność:

I a_n – g I < ε

Możemy powiedzieć, że dany ciąg ma granicę g lub, że dany ciąg dąży do granicy g.

a_n → g

a_n = g

Definicja 5 : Mówimy, że ciąg { a_n } ma granicę nieskończoną ∞ (plus nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby

M > 0 ( dowolnie dużej) istnieje w ciągu takie miejsce N, że dla każdego n ≥ N zachodzi nierówność:

a_n > M Mówimy wtedy, że dany ciąg dąży do nieskończoności

a_n  =  ∞

Definicja 6 : Mówimy, że ciąg { a_n } ma granicę -∞ ( minus nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby

M > 0 (dowolnie dużej) możemy znaleźć takie miejsce N, że dla każdego wyrazu n ≥ N zachodzi nierówność:

a_n < - M

a_n =   − ∞

Przykłady:

$a_{n} = \ \frac{n}{n + 1\ }$ to a_n = 1

a_n = 2 − 3n  to a_n =   − ∞

Definicja 7 : Ciąg mający granicę nazywamy zbieżnym, zaś ciąg nie mający granicy rozbieżnym.

a_n =  ( − 1)ⁿ jest to ciąg rozbieżny, bo nie ma granicy -1, 1, -1, 1 ...

Twierdzenie 1 : Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony ( ale nie odwrotnie )

Twierdzenie 2 : Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny

Twierdzenie 3 : Jeżeli a_n = a i b_n = b to lim( a_n + b_n ) = a +b z odejmowaniem, mnożeniem tak samo, w dzieleniu musimy pamiętać o tym, że b musi być różne od 0 i wszystkie b_n muszą być różne od 0.

Twierdzenie 4 : Jeżeli ciąg { a_n } o wyrazach nie ujemnych ma granicę g to ciąg { $\sqrt[P]{a_{n}}$ } ma granicę $\sqrt[P]{g}$. P- liczby naturalne