Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia

Logarytmiczny dekrement tłumienia to parametr, który opisuje ruch tłumiony. Jego definicją jest logarytm naturalny ze stosunku dwóch kolejnych amplitud, z których druga następuje po pierwszej w odstępie czasu równym okresowi drgań.

wzór: $\Lambda = \ln\left( \frac{A_{n}}{A_{n + 1}} \right) = \ln\left( \frac{A_{o}e^{- \delta t}}{A_{o}e^{- \delta(t + T)}} \right) = \ln e^{- \delta t + \delta t + \delta T}$

Λ = δT

ln - logarytm naturalny

A – amplituda drgań

δ – stała tłumienia

t – czas

T – okres drgań

wyprowadzenie wzoru na niepewność standardową:

$$\mu\left( \Lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n}} \right)^{2}*\mu\left( A_{n} \right)^{2} + \left( \frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n + 1}} \right)^{2}*\mu{(A_{n + 1})}^{2}}$$

$$\frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n}} = \frac{1}{A_{n + 1}}*\frac{A_{n + 1}}{A_{n}} = \frac{1}{A_{n}}$$

$$\frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n + 1}} = - \frac{A_{n}}{{{(A}_{n + 1})}^{2}}*\frac{A_{n + 1}}{A_{n}} = - \frac{1}{A_{n + 1}}$$

$$\mu\left( \Lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{A_{n}} \right)^{2}*\left( \frac{\Delta A_{n}}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \left( - \frac{1}{A_{n + 1}} \right)^{2}*\left( \frac{\Delta A_{n + 1}}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$$

$$\delta = \frac{\Lambda}{T} = \frac{n\Lambda}{t_{n}}$$

$$\mu^{2}\left( \delta \right) = \left( \frac{\text{σδ}}{\sigma\Lambda} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \Lambda \right) + \left( \frac{\text{σδ}}{\sigma t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( t_{n} \right)$$

$$\mu\left( \delta \right) = \sqrt{\left( \frac{n}{t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \Lambda \right) + \left( - \frac{\Lambda*n}{{t_{n}}^{2}} \right)^{2}*\left( \frac{\Delta t_{n}}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$$

b = 2δm

$$\mu^{2}\left( b \right) = \left( \frac{\text{σb}}{\text{σδ}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \delta \right)$$

$$\mu\left( b \right) = \sqrt{4m^{2}*\mu^{2}(\delta)}$$

$$T = \frac{t_{n}}{n}$$

$$\mu\left( T \right) = \sqrt{\left( \frac{\text{σT}}{\sigma t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}(t_{n})}$$

$$\mu\left( T \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{n} \right)^{2}*\mu^{2}(t_{n})}$$

Nr pomiaru	tn [s]	n	T [s]	Tsr [s]
I pomiar
II pomiar
III pomiar
	tn sr=

Nr pomiaru	A0[m]	A1[m]	A2[m]	A3[m]	A4[m]	A5[m]	A6[m]	A7[m]	A8[m]	A9[m]
I pomiar
II pomiar
III pomiar
Średnie wartości amplitud

Λ1	Λ2	Λ3	Λ4	Λ5	Λ6	Λ7	Λ8	Λ9	Λ ze wzoru	Λ z wykresu	$$\text{δ\ }\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$	$$\text{b\ }\left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$

m=