Modele matematyczne w badaniu przemieszczeń

Specyfika modeli matematycznych do badania przemieszczeń

1. Modele przyczynowo-skutkowe

Różnego rodzaju obciążenia (np. ciężar własny i użytkowy, parcie wiatru, zmiany temperatury otoczenia, drgania podłoża) oddziałujące na obiekt (budowla, maszyna, urządzenie) mogą powodować jego przemieszczenia i deformacje.

Związek przyczynowo-skutkowy:

Obciążenie (PRZYCZYNA) -> Obiekt -> Przemieszczenia i deformacje (SKUTEK)

Przykładem może być belka obustronnie podparta (przegubowo i przegubowo-przesuwnie).

Dysponowanie modelem matematycznym odwzorowującym taki związek dla danego obiektu pozwala na określenie wielkości przemieszczeń i deformacji, które mogą zaistnieć przy określonym układzie obciążeń oddziałujących na ten obiekt. Z drugiej strony, mając dane obciążenia i wyznaczone wielkości ugięć belki, możemy wyznaczyć parametry wytrzymałościowe tej belki.

Modele przyczynowo-skutkowe o znanej (z pewną dokładnością) postaci związków funkcyjnych pozwalają na sukcesywne ich udokładnianie (a więc zmniejszanie błędów modelu) w miarę dopływu kolejnych informacji o zachowaniu się obiektu. Uwzględnia się przy tym błędność samych pomiarów, rozróżniając rzeczywiste przemieszczenia i deformacje od wyznaczonych. Modele przyczynowo-skutkowe nazywane są również modelami objaśniającymi lub opisowymi.

2. Modele w przestrzeni skutków

Modele dotyczące wyłącznie procesu wyznaczania przemieszczeń wybranych punktów obiektu bądź jego elementów, bez uwzględniania w zapisie modelu wielkości charakteryzujących przyczyny występowania tych przemieszczeń. Przy konstruowaniu tych modeli, podobnie jak w przypadku modeli przyczynowo-skutkowych, przyjmowane są pewne założenia odnośnie sieci kontrolnej oraz natury błędów obserwacji (model sieci i model błędu obserwacji), a także układu odniesienia. Z uwagi na odcięcie się od przyczyn wywołujących przemieszczenia czy deformacje, niezbędne jest, dla zapewnienia poprawności interpretacji specjalistycznej końcowych wyników, rejestrowanie wielkości opisujących stan obiektu i charakter oddziaływań czynników zewnętrznych (np. poziom wody w zbiorniku, temperatura powietrza, położenie słońca względem budowli, kierunek i siła wiatru).

3. Modele objaśniające to samo co przyczynowo skutkowe

4. Modele typu „wejście-wyjście”

Specyficzna odmiana modeli przyczynowo-skutkowych, stosowana, gdy nie jest możliwe sformułowanie związków funkcyjnych na gruncie rozważań teoretycznych i analizy zjawiska. Modele typu „wejście-wyjście” bazują wyłącznie na wynikach pomiaru wielkości wejściowych i wielkości wyjściowych oraz ustalają związki pomiędzy tymi wielkościami na gruncie czystych operacji matematycznych.

Model kinematyczny sieci jedno-epokowej

1. Założenia wyjściowe

Model kinematyczny sieci jedno-epokowej – model sieci, w którym występują dodatkowe niewiadome (parametry kinematyczne), będące parametrami ruchu punktów w czasie trwania cyklu pomiarowego. W modelu kinematycznym o najprostszej postaci zakłada się prostoliniowy i jednostajny ruch punktów.

Model stochastyczny ma wówczas postać:

$$\begin{bmatrix} A & \text{TA} \\ S_{s} & 0 \\ 0 & S_{k} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{s} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} l^{\text{obs}} - l^{0} \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ C_{l} = diag\left( \sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\ldots,\sigma_{n}^{2} \right)$$

Gdzie:

x_s(u×1) – wektor różniczkowych przyrostów współrzędnych (tj. niewiadomych statycznych), umożliwiających wyznaczenie pozycji punktów w momencie odniesienia t₀,

x_k(u×1) – wektor składowych prędkości ruchu (tj. niewiadomych kinematycznych),

A(n×u) – macierz współczynnikowa przy niewiadomych statycznych,

T(n×n) – macierz diagonalna, której elementami są różnice między momentem wykonania każdej z obserwacji t a momentem odniesienia t₀,

l^obs(n×1) – wektor obserwacji,

l⁰(n×1) – wektor wartości przybliżonych mierzonych wielkości,

v(n×1) – wektor określony jako: v = −ε,

C_l(n×n) – macierz kowariancji obserwacji,

S_s(d_s×u) – macierz współczynnikowa w warunkach na niewiadome statyczne, d_s – defekt statyczny sieci,

S_k(d_k×u) – macierz współczynnikowa w warunkach na niewiadome kinematyczne, d_k – defekt kinematyczny sieci.

2. Postać równania obserwacyjnego dla różnicy wysokości w sieci niwelacyjnej

Dla różnicy wysokości h_ij między reperami P_i oraz P_j

−dH_i(t₀)+dH_j(t₀) + (t−t₀)(−u_i+u_j) = h_ij^obs − h_ij⁰ + v_hij

Gdzie:

t – moment wykonania obserwacji,

t₀ – moment odniesienia,

u_i,  u_j – wektory prędkości.

3. Defekt sieci i jego składniki

Defekt sieci występuje, gdy w zbiorze obserwacji wykonanych w danej sieci, bądź ogólniej w zbiorze danych do wyrównania obserwacji tej sieci brakuje pewnej liczby wielkości geometrycznych, niezbędnych do wyznaczenia położenia punktów sieci w przyjętym układzie współrzędnych. Defekt charakteryzujemy poprzez podanie liczby oraz rodzaju brakujących wielkości geometrycznych. Rozróżniamy defekt zewnętrzny (lokalizacyjny) d_z i wewnętrzny d_w. Całkowity defekt sieci d jest sumą obu: d = d_z + d_w

Defekt kinematyczny d_k – defekt związany z wyznaczeniem prędkości ruchu. Zależny jest od geometrii i struktury obserwacyjnej sieci (podobnie jak defekt statyczny) oraz od rozkładu momentów wykonania obserwacji do poszczególnych punktów sieci.

d_k = d_k(s) + d_k(t)

Pod względem ilościowym całkowity defekt sieci jest równy sumie defektu statycznego i kinematycznego:

d = d_s + d_k = d_s + d_k(s) + d_k(t)

d_k(s) – składnik ilościowo i jakościowo odpowiadający defektowi statycznemu d_s, czyli suma defektu zewnętrznego i wewnętrznego; brak zaczepienia dla parametrów kinematycznych, czyli 0 dla prędkości.

d_k(t) – składnik wynikający z niewłaściwego rozkładu momentów wykonania obserwacji w sieci, defekt strukturalny np. dla jednego punktu są wykonane 2 obserwacje w tym samym czasie, Δt = 0, prędkości tego punktu nie da się wyznaczyć; defekt ten powinien być równy zero.

Dla sieci pionowej defekt w modelu kinematycznym wynosi 2 (2 razy więcej niż w modelu klasycznym). Pierwszy defekt to brak zorientowania w układzie wysokości dla niewiadomych statycznych, drugi to brak zaczepienia dla parametrów dynamicznych w tym modelu.

Dla sieci poziomej defekt w modelu kinematycznym wynosi 6, gdyż d = d_s + d_k = d_s + d_k(s) + d_k(t).

Dążymy do tego, by d_k(t) = 0, więc → d = d_s + d_k(s) przy czym z natury d_s = d_k(s), a co za tym idzie d = 2d_s. Z analizy wzajemnej wyznaczalności punktów w sieci wynika, że nie ma ona defektu wewnętrznego, a jako sieć lokalna (nie nawiązana) ma pełny defekt zewnętrzny równy 3, zatem d = d_s + d_k = d_s + d_k(s) = 2d_s = 6.

4. Rola harmonogramu obserwacji

Niepoprawnie zaprojektowany harmonogram wykonania obserwacji może zwiększyć defekt kinematyczny sieci d_k(t).

Jeżeli dla każdego z punktów sieci obserwacje z nim związane zostały wykonane w interwale czasu o długości różnej od zera, oznacza to, że harmonogram nie generuje składnika defektu d_k(t), a zatem nie wpływa na wielkość defektu sieci kontrolnej.

Filtr Kalmana

1. Co to jest wektor stanu obiektu?

Wektor stanu obiektu – wektor charakteryzujący stan obiektu na dany moment czasu.

Wektor stanu (state wector) – wektor, którego składowe można konstruować do określonych potrzeb.

Przykłady wektora stanu:

1) Dla rzędnych konkretnych punktów (jedna składowa – rzędna H_t – rzędna na określony czas).

2) Dla płaszczyzny XY w czasie t – X_t, Y_t.

Wektor charakteryzuje położenie obiektu w danym czasie. Istnieje wówczas możliwość określenia wektora chwilowej prędkości, np. dla rzędnych wysokościowych: $\begin{bmatrix} H_{t} \\ v_{t} \\ \end{bmatrix}$, dla poziomej sieci: $\begin{bmatrix} x_{t} & y_{t} \\ v_{x_{t}} & v_{y_{t}} \\ \end{bmatrix} = \left\lbrack \text{x\ y\ }v_{x}\ v_{y} \right\rbrack_{t}^{T}$. Wektor stanu rozszerzony o przyspieszenie chwilowe: [H v a]_t^T, dla sieci poziomej: [x y v_x v_y a_x a_y]_t^T.

Możliwość formułowania wektora polega na otwartej formule. To od nas zależy jak go sformułujemy. Możemy rozszerzyć go o inne parametry, np. temperaturę, ciśnienie, o ile posiadamy wiedzę na temat związków i zależności przejścia pomiędzy wektorami stanu.

2. Jakie założenia stoją u podstaw filtru Kalmana? (wzięłam to z prezentacji brzezińskiego i zmieniłam pod względem tego co mieliśmy na wykładach)

- macierz przekształcenia jest niezależna od czasu;

-wektor nieznanych błędów grubych prawdziwych poszczególnych równań ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 0;

-jest jeszcze 3 punkt ale go nie rozumiem

3. Co to jest wiedzą o ruchu obiektu i jak jest wykorzystywana w filtrze Kalmana? (napisałam to bardziej na podstawie tago co pamiętam z wykładów i trochę z notatek, więc zweryfikujcie)

Wiedza o ruchu obiektu możemy określić znane nam charakterystyki określające zmienność wektora stanu. Dzięki niej i na podstawie położenia punktu w czasie t1 (Pt1) możemy określić położenie punktu w czasie t2 (P’t2) czyli dokonać predykcji.

Ostatecznie położenie punktu ustalamy stosując filtr Kalmana na podstawie Pt1 i P’t2 czyli poprawić predykcję.

Położenie w momencie t2 obliczone za pomocą filtru Kalmana jest takie same jak obliczone w wyrównaniu pełnym.

Przy badaniu przemieszczeń wiedzą może być, np. prędkość, przyśpieszenie, kierunek ruchu poszczególnych punktów.

4. Zestawienie operacji w filtrze Kalmana.

1) Pomiar w momencie t₁.

$${\hat{X}}_{1}^{'} = X_{1}^{0} + \left( A_{1}^{T}C_{l_{1}}^{- 1}A_{1} \right)^{- 1}A_{1}^{T}C_{l_{1}}^{- 1}\left( l_{1}^{\text{obs}} - l_{1}^{0} \right)\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ C_{{\hat{X}}_{1}^{'}} = \left( A_{1}^{T}C_{l_{1}}^{- 1}A_{1} \right)^{- 1}$$

${\hat{X}}_{1}^{'}$ - wektor stanu w momencie t₁ (wyłącznie na podstawie pomiaru l₁ w t₁, czyli mniejszej dokładności – dlatego apostrof).

A₁ – macierz współczynników w układzie niestandaryzowanym

2) Predykcja wektora stanu X na moment t₂ na podstawie wyznaczonego wcześniej wektora ${\hat{X}}_{1}^{'}$ oraz równania zmiany stanu ${\hat{X}}_{1}^{'} \rightarrow {\hat{X}}_{2}^{'}$.

$${\hat{X}}_{2}^{'} = \Phi{\hat{X}}_{1}^{'} + c + y\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ E\left( y \right) = 0$$

y – wektor nieznanych błędów prawdziwych poszczególnych równań, o macierzy kowariancji C_y ≠ 0.

c – wektor stałych składników poszczególnych równań.

Φ – macierz przekształcenia (na podstawie równania zmiany stanu); mnożona przez ${\hat{X}}_{1}^{'}$ i + C daje ${\hat{X}}_{2}^{'}$; mówi, że zmieniły się rzędne sieci.

3) Predykcja macierzy kowariancji wektora stanu na moment t₂.

Jeśli mamy sam wynik X to jest to niedopuszczalne. Jeśli mamy X i σ_X to wiemy jaka jest wiarygodność X.

$$C_{{\hat{X}}_{2}^{'}} = \Phi C_{{\hat{X}}_{1}^{'}}\Phi^{T} + C_{y} \equiv K$$

4) Obliczenie macierzy zysku (gain matrix) – zmiana stanu i nowa informacja z pomiaru t₂

G = KA₂^T(C_l2+A₂KA₂^T)⁻¹

l₂ – wektor wyników pomiarów/obserwacji.

C_l2 – macierz kowariancji wektora obserwacji.

A₂ – macierz współczynnikowa w układzie niestandaryzowanym.

5) Obliczenie uściślonego wektora stanu na moment $t_{2}:{\hat{X}}_{2}^{'} \rightarrow {\hat{X}}_{2}$

Wcześniej mieliśmy tylko predykcję na moment t₂, a teraz ${\hat{X}}_{2}^{'}$ zamieniamy na ${\hat{X}}_{2}$.

$${\hat{X}}_{2} = {\hat{X}}_{2}^{'} - G\left\lbrack A_{2}{\hat{x}}_{2}^{'} - \left( l_{2}^{\text{obs}} - l_{2}^{0} \right) \right\rbrack$$

${\hat{x}}_{2}^{'}$ - wektor korekt do współrzędnych przybliżonych X₂⁰

$${\hat{x}}_{2}^{'} = {\hat{X}}_{2}^{'} - X_{2}^{0}$$

6) Obliczenie uściślonej macierzy kowariancji wektora stanu na moment t₂.

$$C_{{\hat{X}}_{2}} = \left( I - GA_{2} \right)K \equiv \left( I - GA_{2} \right)C_{{\hat{X}}_{2}^{'}}$$

X₂ uzyskane z wyrównania łącznego i filtru Kalmana powinny być identyczne, ponieważ procedura uwzględnia wszystkie obserwacje. Procedura Kalmana zaczyna się od ${\hat{X}}_{1}^{'}$, a obserwacje wstecz nie są uwzględniane. Wyrównanie łączne nie jest sekwencyjne i jego wyniki idą na pożytek wszystkich parametrów.

5. Jakie są korzyści ze stosowania filtru Kalmana?

• pozwala na szybkie obliczenie rzędnych wysokościowych dla dowolnego momentu czasu, bez potrzeby wyrównywania łącznego wszystkich obserwacji;

Koncepcja modelu dwuetapowego Papo-Perelmutera.

1. Jakie jest uzasadnienie dla koncepcji dwuetapowego modelu Papo-Perelmutera?

Specyficzną klasę modeli przyczynowo-skutkowych stanowią modele dwuetapowe, zaproponowane przez Papo-Perelmutera. Związana z nimi dwuetapowość procesu estymacji parametrów pozwala na niezależne wyznaczenie przemieszczeń na podstawie pomiarów geodezyjnych (wyrównanie, diagnostyka błędów grubych, oszacowanie dokładności wyznaczeń) i po wprowadzeniu tych wyników do modelu przyczynowo-skutkowego oddzielenie ich błędności od błędności wnoszonej przez sam model. Błędność wyrażana jest w tych modelach za pomocą odpowiednich macierzy kowariancji. Pierwszy etap stanowi opracowanie obserwacji geodezyjnych i dopiero wyniki tego etapu (tj. przemieszczenia bądź też prędkości ruchu) są przekazywane do etapu drugiego, w którym operuje się modelem fizykalnym. Zabieg ten pozwala podnieść moc diagnostyczną modelu, wyeliminować wpływ ewentualnej pomyłki w identyfikacji procesu fizycznego na wynik oceny samego pomiaru.

2. Podać wyjściowe zależności dla każdego ze sposobów realizacji modelu dwuetapowego Papo-Perelmutera.

1) Ax = l + v,      C_l – w tym modelu mamy σ_l (potrafimy scharakteryzować przez σ_l)

2) Mz = x + w,      C_w

A – macierz konfiguracji sieci pomiarowej; przyjmujemy dla uproszczenia, że jest macierzą pełnego rzędu (ang. Design matrix), w której pomiędzy kolumnami nie ma żadnej zależności (A^TA będzie wówczas macierzą odwracalną (nieosobliwą) i odwrotnie – gdy A jest niepełnego rzędu to A^TA jest macierzą nieodwracalną (osobliwą)).

x – wektor przemieszczeń punktów sieci.

l – wektor zmian wielkości obserwowanych w sieci.

v – wektor błędów prawdziwych obserwacji (wziętych ze znakiem ujemnym) (generalnie jest to +ε).

C_l – macierz kowariancji składowych wektora l (dodatnio określona) (wszystkie wartości własne są dodatnie).

M – macierz współczynnikowa modelu fizykalnego.

z – wektor nieznanych współczynników (parametrów modelu fizykalnego).

w – wektor błędów prawdziwych modelu fizykalnego (wziętych ze znakiem ujemnym).

C_w – macierz kowariancji składowej wektora w (dodatnio określona).

Zakładamy przy tym, że:

E(v) = 0 – wartość oczekiwana wektora v jest równa wektorowi zerowemu, czyli każdy element wektora v jest równy 0

E(vv^T) = C_v = C_l

$$v = \begin{bmatrix} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v}v^{T} = \begin{bmatrix} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} v_{1} & \cdots & v_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{1}v_{1} & v_{1}v_{2} & \cdots \\ v_{2}v_{1} & v_{2}v_{2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{bmatrix}$$

E(w) = 0

E(ww^T) = C_w

$E\left( v \right) = \begin{bmatrix} E\left( v_{1} \right) \\ \vdots \\ E\left( v_{n} \right) \\ \end{bmatrix} = 0$ – wartość oczekiwana każdej wartości v jest równa 0.

Back analysis Chena

1. Co to jest Metoda Elementów Skończonych i do czego służy?

Metoda elementów skończonych (MES) jest jedną z najbardziej popularnych metod numerycznego rozwiązywania cząstkowych równań różniczkowych, a ściślej mówiąc znajdowania rozwiązań szczególnych. MES jest obecnie jedną z najszerzej stosowanych metod rozwiązywania różnych problemów inżynierskich. Jej uniwersalność, polegająca na łatwości schematyzacji różnych obszarów o skomplikowanej geometrii, także niejednorodnych i anizotropowych, kwalifikuje ją jako dobre narzędzie do modelowania problemów geotechniki.

Modelowanie numeryczne za pomocą metody elementów skończonych (MES) daje bardzo szerokie możliwości analizy zachowania się konstrukcji hydrotechnicznych. Metoda elementów skończonych jest stosowana tam, gdzie zawodzą tradycyjne sposoby obliczania nośności granicznej czy osiadania konstrukcji. Projekty wzmocnienia konstrukcji, prognozy osiadań w skomplikowanych sytuacjach oraz na podatnych podłożach organicznych bądź konsolidujących glinach czy iłach, mogą być skutecznie analizowane za pomocą metody elementów skończonych.

2. Na podstawie jakiej zależności może hydrotechnik wyznaczyć przemieszczenia węzłów siatki MES założonej na badanej zaporze wodnej?

Przemieszczenia węzłów sieci MES są obliczane z przekształconego równania równowagi sił:

K • d = f

f = r − f^(b) − f^(σ) − f^(ε)

Gdzie:

K – globalna macierz sztywności, charakteryzująca (zależna od) materiał ośrodka oraz geometrii obiektu; macierz kwadratowa;

d – wektor przemieszczeń w węzłach siatki;

f – wektor sił działających w węzłach;

r – wektor składowych sił zewnętrznych przyłożonych (skoncentrowanych) w węzłach; wektor obciążenia pochodzącego z sił zewnętrznych;

f^(b) – wektor obciążeń pochodzących od sił własnych;

f^(σ) – wektor obciążeń pochodzących od naprężeń początkowych;

f^(ε) – wektor obciążeń pochodzących od odkształceń początkowych;

3. Co to są warunki brzegowe i jaki jest ich związek z warunkami stosowanymi w celu zdefiniowania układu odniesienia w geodezyjnym wyznaczaniu przemieszczeń?

Bez nałożenia jakichkolwiek warunków, macierz sztywności K będzie macierzą osobliwą. W celu rozwiązania układu równań, na niewiadome (wektor d) nakładamy warunki definiujące układ odniesienia oraz likwidujące defekt sieci. Są to tzw. warunki brzegowe, dla których wybieramy węzły i zakładamy przemieszczenia równe 0 (w).

Warunki brzegowe:

S • d = w

Po wprowadzeniu warunków brzegowych otrzymujemy układ równań, w którym macierz sztywności K_* jest macierzą nieosobliwą, a więc istnieje zwykła odwrotność K_* i tym samym rozwiązanie.

4. Na czym polega istota analizy odwrotnej?