TWIERDZENIA PRZYDATNE W OBLICZANIU GRANIC CIAGÓW

Niech  i  będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że  oraz . Wtedy zachodzą poniższe równości:





O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych.


Jeśli  jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu  są ograniczone (to znaczy, istnieje stała , taka że ) to:
.


Niech , ,  będą ciągami, które dla odpowiednio dużych  spełniają nierówności: . Ponadto załóżmy, że granice ciągów  i  istnieją i są równe . Wtedy również .


Niech ,  będą ciągami, które dla odpowiednio dużych  spełniają nierówność: . Ponadto załóżmy, że , wtedy również .


Jeśli  jest ciągiem spełniającym dwa następujące warunki: 
(1)  jest od pewnego momentu słabo rosnący, 
(2) wyrazy ciągu  są ograniczone od góry,
to ciąg  jest zbieżny. Analogiczne twierdzenie zachodzi, jeśli ciąg jest malejący i ograniczony od dołu.


Niech ciąg  ma wyrazy niezerowe oraz zachodzi jeden z warunków:
(1) ,
(2) .
Wtedy .

Niech dany będzie ciąg  oraz dowolny ciąg . Wtedy, jeśli: , to:
. Gdzie A może być liczbą bądź symbolem plus lub minus nieskończoności.


Niech  będzie ciągiem zbieżnym do 0, którego wyrazy są niezerowe. Wtedy . Gdzie  jest liczbą Eulera.


Jeśli funkcja  jest ciągła w punkcie , a ciąg  jest zbieżny do , to: .












Załóżmy, że ciąg  o niezerowych wyrazach spełnia: , wtedy