Obliczenia statyczno-wytrzymałościowe

1. Zestawienie obciążeń

1.1. Obciążenia stałe:

Stałe :

g_k - ciężar charakterystyczny, γ_f = 1, 0

g_max - ciężar obliczeniowy, γ_f > 1, 0

g_min - ciężar obliczeniowy, γ_f < 1, 0

Opis obciążenia	Obliczenia	gk	γf > 1	gmax	γf < 1	gmin
Ciężar dźwigara	$$1,443m^{2} \bullet 27\frac{\text{kN}}{m^{3}}$$	38, 96	1, 2	46,75	0, 9	35,064
Kapy chodnikowe	0, 23m • 26kN/m^3	5, 98	1, 5	8,97	0, 9	5,382
Izolacja	0, 01 m • 14, 0 kN/m^3	0, 14	1, 5	0,21	0, 9	0,126
Ciężar nawierzchni	0, 09 m • 23, 0 kN/m^3	2, 07	1, 5	3,11	0, 9	1,863
Ciężar barier + balustrady	$$0,5\frac{\text{kN}}{m}$$	0, 50	1, 5	0,75	0, 9	0,45
Krawężniki kamienne	0, 04 m^2 • 26, 0 kN/m^3	1, 04	1, 5	1,56	0, 9	0,936
Ciężar poprzecznicy	$$1,43m^{3} \bullet 26\frac{\text{kN}}{m^{3}}$$	37, 18	1, 2	46,33	0, 9	33,46
Ciężar poprzecznicy podporowej	$$2,06m^{3} \bullet 26\frac{\text{kN}}{m^{3}}$$	53, 56	1, 2	64,27	0, 9	57,84
Belka gzymsowa	0,173m^2∙$26\frac{\text{kN}}{m^{3}}$	4,40	1,5	6,60	0,9	3,96

1.2. Zebranie obciążeń ruchomych:

1.3.1 Obciążenie pojazdem K

Klasa obciążenia zmiennego : A

Obciążenie pojazdem dla klasy D: K = 320 kN/m

Obciążenie na oś: $\frac{K}{4} = \frac{320\ \text{kN}}{4} = 80\ \text{kN}$

Rozpiętość teoretyczna: l_t = 24, 38 m

Współczynnik dynamiczny:

φ = 1, 35 − 0, 005 • l_t = 1, 35 − 0, 005 • 24, 38 = 1, 228

Obciążenie charakterystyczne: P_k = φ • P = 1, 228 • 80kN = 98, 24kN

Obciążenie obliczeniowe: P_max = γ_f • P_k = 1, 5 • 98, 24kN = 147, 36 kN

Nacisk na koło:

$$\frac{P_{\max}}{2} = \frac{147,36}{2} = 73,68\ kN$$

1.3.2 Obciążenie taborem samochodowym q

Obciążenie charakterystyczne: ${\ q}_{k} = 1,6\frac{\text{kN}}{m^{2}}$

Obciążenie obliczeniowe:  q_max = γ_f • q_k = 1, 5 • 1, 6 kN/m² = 2, 4 kN/m²

1.3.3 Obciążenie tłumem pieszych

Obciążenie charakterystyczne: ${\ p}_{k} = 2,5\frac{\text{kN}}{m^{2}}$

Obciążenie obliczeniowe: ${\ q}_{\max} = \gamma_{f} \bullet q_{k} = 1,3 \bullet 2,5\ \frac{\text{kN}}{m^{2}} = 3,25\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$

2. Linia wpływu rozdziału poprzecznego obciążenia

• metoda sztywnej poprzecznicy

z = 40

N₄ = 15 + 52z + 20z²

N₄ = 15 + 52z + 20z² = 15 + 52 • 40 + 20 • 40² = 34095

Współczynnik PRO wg Leonhardta

k_aa = (15+52z+14z²) : N₄ = (15+52•40+14•40²) : 34095 = 0, 718 

k_ab = (9z+8z²) : N₄ = (9•40+8•40²) : 34095 = 0, 386 

k_ac = (−6z+2z²) : N₄ = (−6•40+2•40²) : 34095 = 0, 087 

k_ab = (z−4z²) : N₄ = (40−4•40²) : 34095 = −0, 187 

Wykres linii wpływu (LWRPO)

3. Obciążenie przypadające na dźwigar A

3.1. Obciążenie stałe

ω_naw⁺ = 2, 47 m

ω_naw⁻ = 0, 24m

ω_izol⁺ = 5, 83 m

ω_izol⁻ = 0, 98 m

ω_kapa⁺ = 3, 19 m

ω_kapa⁻ = 0, 68 m

η_gz⁺ = 0, 921

η_gz⁻ = 0, 354

η_bal⁺ = 0, 920

η_bal⁻ = 0, 354

η_bar⁺ = 0, 667

η_bar⁻ = 0, 234

η_kr⁺ = 0, 587

η_kr⁻ = 0, 177

η_pop1⁺ = 0, 552

η_pop2⁺ = 0, 236

η_pop⁻ = 0, 050

3.1.1 Wariant maksymalny

$$g_{\text{naw}}^{\max} = g_{\text{naw}}^{+} \bullet \omega_{\text{naw}}^{+} - g_{\text{naw}}^{-} \bullet \omega_{\text{naw}}^{-} = 3,11\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 2,47m - 1,86\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 0,24m = 7,24\frac{\text{kN}}{m}$$

$$g_{\text{izol}}^{\max} = g_{\text{izol}}^{+} \bullet \omega_{\text{izol}}^{+} - g \bullet \omega_{\text{izol}}^{-} = 0,14\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 5,83m - 0,126\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 0,98 = 0,69\frac{\text{kN}}{m}$$

$$g_{\text{kapa}}^{\max} = g_{\text{kapa}}^{+} \bullet \omega_{\text{kapa}}^{+} - g_{\text{kapa}}^{-} \bullet \omega_{\text{kapa}}^{-} = 8,97\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 3,19m - 5,38\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 0,68m = 24,96\frac{\text{kN}}{m}$$

$$g_{\text{gz}}^{\max} = g_{\text{gz}}^{+} \bullet \eta_{\text{gz}}^{+} - g_{\text{gz}}^{-} \bullet \eta_{\text{gz}}^{-} = 6,60\frac{\text{kN}}{m} \bullet 0,921 - 3,96\frac{\text{kN}}{m} \bullet 0,354 = 4,68\frac{\text{kN}}{m}$$

$$g_{\text{bal}}^{m\text{ax}} = g_{\text{bal}}^{+} \bullet \eta_{\text{bal}}^{+} - g_{\text{bal}}^{-} \bullet \eta_{\text{bal}}^{-} = 0,75\frac{\text{kN}}{m} \bullet 0,920 - 0,45\frac{\text{kN}}{m} \bullet 0,354 = 0,53\frac{\text{kN}}{m}$$

$$g_{\text{bar}}^{\max} = g_{\text{bar}}^{+} \bullet \eta_{\text{bar}}^{+} - g_{\text{bar}}^{-} \bullet \eta_{\text{bar}}^{-} = 0,75\frac{\text{kN}}{m} \bullet 0,667 - 0,45\frac{\text{kN}}{m} \bullet 0,234 = 0,40\frac{\text{kN}}{m}$$

$$g_{\text{kr}}^{m\text{ax}} = g_{\text{kr}}^{+} \bullet \eta_{\text{kr}}^{+} - g_{\text{kr}}^{-} \bullet \eta_{\text{kr}}^{-} = 1,56\frac{\text{kN}}{m} \bullet 0,587 - 0,94\frac{\text{kN}}{m} \bullet 0,177 = 0,75\frac{\text{kN}}{m}$$

$$\sum_{}^{}\mathbf{g}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= 39,25}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}}$$

P_pop.^max = P_pop1.⁺ • η_pop1⁺ + P_pop2.⁺ • η_pop2⁺ − P_pop⁻ • η_pop3⁻ = 46, 75 kN • 0, 552 + 46, 75 kN • 0, 236 − 35, 06 kN • 0, 050 = 35, 09 kN

P_pod^max = P_pod1.⁺ • η_pop1⁺ + P_pod2.⁺ • η_pop2⁺ − P_pod⁻ • η_pop3⁻ = 64, 27kN • 0, 552 + 64, 27 kN • 0, 236 − 57, 84 kN • 0, 050 = 47, 75 kN

3.2. Obciążenia ruchome

η₁ = 0, 499

η₂ = 0, 199

ω₁ = 2, 45 m

ω₂ = 2, 67 m

$$q_{\text{sam}}^{\max} = q_{\text{sam}}^{\text{obl}} \bullet \omega_{1} = 2,4\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 2,45m = 5,88\frac{\text{kN}}{m}$$

$$q_{tlum.}^{\max} = q_{tlum}^{\text{obl}} \bullet \omega_{2} = 3,25\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 2,67m = 8,68\frac{\text{kN}}{m}$$

$$\sum_{}^{}{\mathbf{q}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= 14,56}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}}}$$

$$P_{\text{obl}}^{Os} = P_{\text{obl}}^{kolo}\left( \eta_{1} + \eta_{2} \right) = \frac{147,36\text{kN}}{2}\left( 0,499 + 0,199 \right) = \mathbf{51,43\ kN}$$

4. Ekstremalne wartości sił wewnętrznych

1. Linia wpływu momentu zginającego w przekroju krytycznym

1. Maksymalna wartość momentu zginającego w przekroju krytycznym.

$M_{\alpha - \alpha} = \left( g_{dz} + g + q + p_{tl} \right) \bullet \omega + P_{os} \bullet \sum_{i = 1}^{n}{\eta_{1} + P_{\text{pop}} \bullet \eta_{2} =}\left( 46,75 + 39,25 + 14,56 \right)\frac{\text{kN}}{m} \bullet 74,30m^{2} + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ 51,43kN \bullet \left( 4,895 + 5,495 + 6,095 + 5,495 \right)m + 35,09kN \bullet 6,095m = 8815,9\ kNm$

1. Linia wpływu siły tnącej w przekroju krytycznym

1. Maksymalna wartość siły tnącej w przekroju krytycznym.

$V_{\max}^{\alpha - \alpha} = \left( g_{dz} + g + q + p_{tl} \right) \bullet \omega + P_{os} \bullet \sum_{i = 4}^{}{\eta_{i} + P_{\text{pop}} \bullet \eta_{5} + P_{\text{pod}} \bullet 1,0 = \ \left( 46,75 + 39,25 + 14,56 \right)\frac{\text{kN}}{m}} \bullet 24,38m + 51,43kN \bullet \left( 1,0 + 0,952 + 0,903 + 0,854 \right) + 35,09kN \bullet 0,50 + 47,75kN \bullet 1,0 = 2707,7\ kN$

4. Wymiarowanie

   1. Materiały

beton: B40
stal: BSt500S (A-IIIN)

R_a – wytrzymałość stali, R_a = 295 MPa
R_b – wytrzymałość betonu, R_b = 23,1MPa

E_a – moduł sprężystości stali, E_a = 210 GPa
E_b – moduł sprężystości betonu, E_b = 36,4 GPa

1. Wymiarowanie na zginanie

   1. Pole przekroju zbrojenia

t = 0, 25 m

0, 2 • h = 0, 2 • 1, 7 = 0, 34 m

h₁ = h − a = 1, 70m − 0, 03m = 1, 67 m

t < 0, 2 • h  →  z = h₁ − 0, 425 • t = 1, 67m − 0, 425 • 0, 25m = 1, 56 m

$$A_{S1} = \frac{M_{\alpha - \alpha}}{R_{a} \bullet z} = \frac{8815,9\text{\ kNm}}{295 \bullet 10^{3}\ kPa \bullet 1,56\ m} = 0,019157\text{\ m}^{2} = 191,57\ \text{cm}^{2}$$

Przyjmuję 24 φ 32 o A_S = 192, 91 cm²

1. Sprawdzenie naprężeń

• Położenie osi obojętnej

$$\mathbf{A =}\frac{\left( b_{1} - b \right) \bullet t + n \bullet A_{s}}{b} = \frac{\left( 280 - 50 \right) \bullet 25 + 5,77 \bullet 192,91}{50} = 137,3\ cm = 1,373\ m$$

$$\mathbf{B =}\frac{\left( b_{1} - b \right) \bullet t^{2} + 2n \bullet A_{s} \bullet h_{1}}{b} = \frac{\left( 280 - 50 \right) \bullet 25^{2} + 2 \bullet 5,77 \bullet 192,91 \bullet 167}{50} = 10310\text{cm}^{2} = 1,031m^{2}\ $$

$$x = \sqrt{A^{2} + B} - A = \sqrt{{1,373}^{2} + 1,031} - 1,373 = 0,335\ m$$

• Moment bezwładności przekroju

$$I = \frac{1}{3} \bullet \left\lbrack b_{1} \bullet x^{3} - \left( b_{1} - b \right) \bullet \left( x - t \right)^{3} \right\rbrack + n \bullet A_{s} \bullet \left( h_{1} - x \right)^{2} =$$

$$\ \ = \frac{1}{3} \bullet \left\lbrack 2,8 \bullet {0,335}^{3} - \left( 2,8 - 0,5 \right) \bullet \left( 0,335 - 0,25 \right)^{3} \right\rbrack + 5,77 \bullet 0,019157 \bullet \left( 1,67 - 0,335 \right)^{2} =$$

   = 0, 2316 m⁴

• Naprężenia w betonie

$$\sigma_{c} = \frac{M_{\alpha - \alpha}}{I} \bullet x = \frac{8815,9\ \text{\ kNm}}{0,2316\ m^{4}} \bullet 0,335\ m = 12752\ kPa \approx 17,75\ MPa < 23,1\ MPa$$

• Naprężenia w stali

$$\sigma_{s} = n \bullet \frac{M_{\alpha - \alpha}}{I}\left( h_{1} - x \right) = 5,77 \bullet \frac{8815,9\ \text{\ kNm}}{0,2316\ m^{4}}\left( 1,67\ m - 0,335\ m \right) = 293214\ kPa \approx 293,21\ MPa < 295\ MPa$$

• Minimalny stopień zbrojenia

$$\rho = \frac{A_{s}}{A_{c}} = \frac{0,019157}{1,425} = 0,0134 \geq \rho_{\min} = 0,002 - warunek\ spelniony$$

• Rozmieszczenie zbrojenia

1. Wymiarowanie na ścinanie

V_max = 2707, 7 kN

τ_b ≤ τ_R

τ_R < τ_b ≤ τ_max

τ_b > τ_max

τ_b − naprezenia scinajace

τ_R − wytrzymalosc obliczeniowa betonu na scinanie

τ_max − maksymalne dopuszczalne naprezenie scinajace

Beton B40

τ_R = 0, 35 MPa

τ_max = 4, 75 MPa

$$\tau_{b} = \frac{V_{\max}}{z \bullet b} = \frac{2707,7\ \text{\ kN}}{1,56m \bullet 0,50m} = 3471\ kPa = 3,471\ MPa$$

τ_b > τ_R − wymagane zbrojenie na scinanie

V_max ≤ V_beton + V_strzemion

Klasa stali strzemion A-IIIN, strzemiona dwucięte 12

= 295 MPa

$${V}_{\text{beton}} = \tau_{R} \bullet \left( 1 + 50\rho \right)\left( 1 + \frac{M_{o}}{M_{\max}} \right) \bullet b \bullet z$$

$$\rho = \frac{A_{s}}{A_{c}} = \frac{0,019157}{1,425} = 0,0134$$

V_beton = 350kN • (1+50•0,0134) • 0, 50m • 1, 56m = 455, 9 kN

$${V}_{\text{strzemion}} = \frac{A_{\text{aw}}}{s} \bullet z \bullet R_{\text{aw}}$$

Przyjęto strzemiona sześciocięte 12

Przyjęto rozstaw strzemion sześciociętych 12 co 14 cm.