Zbiór wszystkich zdań prostych w sensie logiki uzupełniamy przez zbiór wszystkich zdań złożonych, utworzonych ze zdań prostych za pomocą funktorów koniunkcji, alternatywy, implikacji, równoważności, negacji.

KRZ - język sztuczny, który naśladuje wyżej opisany fragment języka - jest dla niego modelem.

Funktory ekstensjonalne - funktor zdaniotwórczy od argumentów zdaniowych nazywamy funktorem ekstensjonalnym, jeżeli wartość logiczna zdania zbudowanego przy pomocy tego funktora zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań argumentowych (nie zależy od treści tych zdań ani innych czynników).

Wszystkie funktory, które poznaliśmy, są funktorami ekstensjonalnymi.

Funktory, które nie są ekstensjonalnymi, nazywamy funktorami intensjonalnymi.

Np. "wierzę, że" jest funktorem intensjonalnym. Bo jeśli "wierzę że A" - funktor zdaniotwórczy z jednego argumentu zdaniowego, a A jest prawdziwe, to dalej nie wiemy, czy zdanie jest prawdziwe.

A jeśli mamy funktor ekstensjonalny np. "i" i zdanie: "A i B", to jeśli A i B są prawdziwe, to zdanie jest prawdziwe.

Alfabet - zbiór symboli dopuszczalnych w języku.

Alfabet KRZ składa się z trzech grup symboli:

1) zmienne zdaniowe: p, q, r, s... p1, p2, p3, p4... - odpowiadają one zdaniom prostym w sensie logiki.

2) spójniki logiczne, czyli funktory: ^, V, ->, <->, ~

3) symbole pomocnicze: (, )

Wyrażenie KRZ - dowolny skończony ciąg symboli wziętych z alfabetu KRZ.

Formuły to wyrażenia poprawnie zdaniowe. Należą one do kategorii zdaniowej - czyli są zdaniami.

Definicja formuły KRZ:

1) pojedyncza zmienna zdaniowa jest formułą (formuły atomowe, czyli najprostsze)

2) jeżeli alfa i beta są formułami, to są nimi również: (alfa ^ beta), (alfa V beta), (alfa -> beta), (alfa <-> beta), (~alfa), (~beta)

3) formułami są wyłącznie te wyrażenia, które powstały przez zastosowanie 1 i 2 powyższej definicji.

Konwencja: możemy opuszczać skrajne obejmujące całe wyrażenie oraz możemy opuszczać nawiasy obejmujące negację pojedynczej zmiennej zdaniowej.

Jeżeli Janek miał czas (p) i pieniądze (q), to poszedł do kina (r).

(p^q) -> r

Formuła jest schematem logicznym zdania, jeżeli jest dokładnym zapisem jego struktury logicznej.

Logika zajmuje się trupiarnią. Obdziera ciało ze szkieletu zdania i tylko szkieletem się zajmuje.

Podaj schemat logiczny:

Dnia 16 kwietnia 1975 roku Jan Kowalski zbudził się o godzinie 5.37. - schemat: p.

Ostatni dzień wakacji. - nie ma schematu zdaniowego, bo to nie jest zdanie, lecz nazwa.

Jeśli spałeś dobrze i jesteś wypoczęty, to możesz się skupić i rozwiązać zadanie.

Schemat: (p ^ q) -> (r ^ s)

Do domu:

1. Jeżeli Kowalski jest zadowolony, to Kowalska nie jest zadowolona, i jeśli Kowalski nie jest zadowolony, to Kowalska jest zadowolona.

Schemat: (p -> ~ q) ^ (~p -> q)

2. Jeżeli wtedy i tylko wtedy nie wychodzę z domu, gdy pada deszcz, to wychodzę z domu, gdy nie pada deszcz.

Schemat: (~p <-> q) -> (~q -> p)

3. Jeśli uczysz się i nie rozumiesz, oraz nie uczysz się i rozumiesz, to ja nic z tego nie rozumiem.

Schemat: ((p ^ ~q) ^ (~r ^ q)) -> s

4. Jeżeli jesteś studentem i uczysz się logiki, to ukończysz studia lub ich nie ukończysz

Schemat: (p ^ q) -> (r V ~r)

5. Każdy człowiek ma ojca i matkę.

Schemat: p.

Metajęzyk: język, w którym mówimy o innym języku.

Klasyczny rachunek kwantyfikatorów - KRK. Słów rachunek i język używamy zamiennie.

x1, x2, x3 - zmienne indywiduowe, czyli nazwowe.

Każdy symbol predykatywny jest charakteryzowany przez pewną liczbę naturalną, którą nazywamy argumentowością symbolu.

Każdy 1-argumentowy symbol predykatywny nadaje się na oznaczenie własności.

P(x), P(4) - co czytamy jako: x ma własność P.

Każdy 2-argumentowy symbol predykatywnym nadaje się na oznaczenie relacji binarnej,czyli dwuargumentowej (czyli relacji zachodzącej pomiędzy parami obiektów).

R (x, y), R(z,w) - co czytamy jako: x i y są ze sobą w relacji R.

W KRK istnieje funktor identyczności, czyli =. Ma charakterystykę syntaktyczną z/n,n (funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych).