** Kraty na płaszczyźnie i pole wielokąta

Punktem kratowym płaszczyzny nazwijmy punkt, którego współrzędne wyrażają się liczbami całkowitymi.
Niech teraz P oznacza dowolny wielokąt płaski, którego wszystkie wierzchołki leżą na punktach kratowych. Wówczas – uwaga, uwaga! – pole P da się obliczyć przez porachowanie punktów kratowych zawartych wewnątrz i na brzegu tego wielokąta i wykonanie prostych działań:

Pole P =

gdzie i jest liczbą wewnętrznych punktów kratowych, b zaś liczbą punktów kratowych, leżących na brzegu wielokąta P.

Twierdzenie to nosi nazwę „twierdzenia Picka”.

Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest uwaga, że nie istnieje trójkąt równoboczny o wierzchołkach w punktach kratowych. Wynika to stąd, że pole powierzchni trójkąta równobocznego o boku a jest niewymierną wielokrotnością a2. Jeśli zaś trójkąt opiera się na punktach kratowych, to – jak łatwo wywnioskować z twierdzenia Pitagorasa - a2 musi być wymierne. Tymczasem powyżej napisany wzór na pole prowadzi zawsze do wyniku wymiernego; stąd sprzeczność.
Nawiasem mówiąc – przy okazji uzyskaliśmy ładny dowód faktu, że pierwiastek kwadratowy z trzech jest liczbą niewymierną. Widzisz to?

Dowód twierdzenia Picka nie jest banalny. Jak ktoś chce próbować – niech zacznie od rozpatrzenia przypadku, w którym dany wielokąt nie zawiera w swym wnętrzu punktów kratowych.