Statystyka położenia

- srednia arytmetyczna

$$\overline{X} = \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}}{n}$$

$$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$

x₁ + x₂ + ... + x_n ciag pomiarow

n liczba elementow

- mediana

$me = \frac{x_{n} + 1}{2}$ , gdy n jest liczba nieparzysta

$me = \frac{1}{2}\left( x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1} \right)$, gdy n jest parzyste

Statystyka rozrzutu

- wariancja

$$S^{2} = \ \frac{1}{n - 1}\left\lbrack \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} - \ n \times \left( \overset{\overline{}}{X} \right)^{2} \right\rbrack$$

n liczba elementów

$\overline{X}$srednia arytmetyczna

- odchylenie standardowe

$$S = \ \sqrt{S^{2}}$$

- współczynnik zmienności

$$V = \frac{S}{\overline{X}}$$

S odchylenie standardowe

Miary rozrzutu pozycyjne

Kwantyle nazywamy trzy wartości, które uporządkowane rosnąco w szereg statystyczny dzielą na cztery równoliczne części Q_1,Q_2,Q₃

Q_2,=me (mediana)

-rozstęp międzykwantylowy

I = Q₂ − Q₃

-odchylenie ćwiartkowe

$$Q = \frac{1}{2}I$$

- pozycyjny współczynnik zmienności

$$V_{\text{poz}} = \frac{Q}{\text{me}}$$

Klasyczne miary asymetrii

-trzeci moment centralny

$$M_{3} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{j} - \overline{x} \right)^{3}$$

- współczynnik asymetrii

$A = \frac{M_{3}}{s^{3}}$ S odchylenie standardowe

Pozycyjne miary asymetrii

-pozycyjny wpolczynnik asymetrii

$$A_{\text{poz}} = \frac{\left( Q_{3} - me \right) - \left( me - Q_{1} \right)}{2Q}$$

Kwartyl pierwszy Q₁jest tą wartością y_i dla której liczebność skumulowana jest poraz pierwszy wieksza lub równa n/4.

Kwartyl trzeci Q₃ jest tą wartością y_i do ktorej liczebność skumulowana poraz pierwszy jest większa lub równa $\text{\ \ \ }\frac{3}{4}n$.

Estymacja przedziałowa

μ i σ²

I przykł.

σ² nie znana

$$P\left( \overline{x} - u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{x} + u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha$$

P podział n liczebnosc

Losowy przedział ufności ma stałą długość $2u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

II przykł.

Nie znamy μ i σ²

$$P\left( \overline{x} - t_{\alpha}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{x} + t_{\alpha}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha$$

t_α wartość krytyczna t Studenta

III przykł.

Nie znamy μ i σ². Budujemy przedział ufności dla wariancji σ²

$$P\left( \frac{(n - 1) \times S^{2}}{x_{1 - \frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)} < \sigma^{2} < \frac{(n - 1) \times S^{2}}{x_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)} \right) = 1 - \alpha$$

Błąd I stponia- jeśli hipoteza H₀ jest prawdziwa a my na podstawie próby losowej uznamy ją za fałszywą. α

Błąd II stopnia- jeśli przyjmiemy hipotezę H₀ która w istocie jest falszywa. β

1-β moc testu, α poziom istotnosci testu

Teoria testowania hipotez statystycznych

W- przestrzen wszystkich prób n-elementowyc

Wn=(x₁, x₂,… n), punkt przestrzeni W

- funkcja testowa

$$t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{S} \times \sqrt{n}$$

I przypadek

H_o : μ = μ₀  H₁ : μ ≠ μ₀ 

$\left| t \right| < t\left( 1 - \frac{\alpha}{2},n - 1 \right)$ nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H_o

$\left| t \right| \geq t\left( 1 - \frac{\alpha}{2},n - 1 \right)$ hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁

↓

-funkcja testowa

$$t = \sqrt{\frac{mn(m + n - 2)}{m + n}} \times \frac{\overline{x} - \overline{y}}{\sqrt{\left( n - 1 \right) \times S_{x}^{2} + (m - 1) \times S_{y}^{2}}}$$

$\left| t \right| \geq t\left( 1 - \frac{\alpha}{2},m + n - 2 \right)$ hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁

II przypadek

H_o : μ = μ₀  H₁ : μ > μ₀ 

t>t(1-α,n-1) hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁

III przypadek

H_o : μ = μ₀  H₁ : μ < μ₀ 

t≤−t(1-α,n-1) hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁

Inne hipotezy

H_o : μ₁ − μ₂  = 0 H₁ : μ₁ − μ₂ > 0

Lub H_o : μ₁ − μ₂  = 0 H₁ : μ₁ − μ₂ < 0

-funkcja testowa

$$t = \sqrt{\frac{mn(m + n - 2)}{m + n}} \times \frac{\overline{x} - \overline{y}}{\sqrt{\left( n - 1 \right) \times S_{x}^{2} + (m - 1) \times S_{y}^{2}}}$$

t ≥ t(1−α,m+n−2) hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁

t ≤ −t(1−α,m+n−2) hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁

Test t Studenta dla dwóch niezależnych prób

$S_{x}^{2} = \frac{1}{m - 1}\left\lbrack \sum_{i = 1}^{m}{x_{i} - m\left( \overline{x} \right)^{2}} \right\rbrack$ $\text{\ \ \ \ \ \ \ }\overline{x} = \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}x_{i}$

$S_{y}^{2} = \frac{1}{n - 1}\left\lbrack \sum_{i = 1}^{n}{y_{i} - n\left( \overline{y} \right)^{2}} \right\rbrack$ $\overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}y_{i}$

Test t Studenta dla prób zależnych

$\overline{R} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}R_{i}$ $S_{R}^{2} = \frac{1}{n - 1}\left\lbrack \sum_{i = 1}^{n}{R_{i}^{2} - n\left( \overline{R} \right)^{2}} \right\rbrack$

-funkcja testowa

$$t = \frac{\overline{R} - \mu_{0}}{S_{R}} \times \sqrt{n}$$

I przypadek

H_o : μ_R = μ₀ H₁ : μ_R ≠ μ₀

$\left| t \right| \geq t\left( 1 - \frac{\alpha}{2},n - 1 \right)$ hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁

II przypadek

H_o : μ_R = μ₀ H₁ : μ_R > μ₀

|t| ≥ t(1−α,n−1) hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁

III przypadek

H_o : μ_R = μ₀ H₁ : μ_R < μ₀

|t| ≤ −t(1−α,n−1)

Test istotności dla frakcji

$\hat{p} = \frac{m}{n}$ p nieznany parametr, m liczba elementow posiadających dana ceche, n liczba elementow

-funkcja testowa

$$z = \frac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\left( 1 - p_{0} \right)}{n}}}$$

I przypadek

H₀ : p = p₀ H₁ : p ≠ p₀

$\left| z \right| \geq z(1 - \frac{\alpha}{2}\ )$ hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁

$z\left( 1 - \frac{\alpha}{2}\ \right)$ standardowy rozklad normlany

II przypadek

H₀ : p = p₀ H₁ : p > p₀

z ≥ z(1−α) hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁

III przypadek

H₀ : p = p₀ H₁ : p < p₀

z ≤ −z(1−α) hipoteze H_o odrzucamy na korzyść H₁