Sprawozdanie nr 2

Wyznaczanie momentu bezwładności metodą dynamiczną.

Ćwiczenie numer 8.

Wykonał:

Orest Matejuk

Radosław Ignatowski

Wstęp

Ciało sztywne obracające się wokół stałej osi definiują: punkt masowy m_i, prędkość kątowa ω oraz prędkość liniowa, taka że:

V_i = r_i * ω

Energia kinetyczna ruchu obrotowego danego elementu m_i wyraża się wzorem:

E = $\frac{1}{2}$ * m_i * r_i² * ω²

Całkowita energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi przechodzącej przez środek masy równa się sumie energii kinetycznych jego elementów. W ruchu obrotowym ciala sztywnego wszystkie elementy mają taką samą prędkość kątową, natomiast odległości poszczególnych elementów od osi obrotu są różne, wobec tego wyrażenie na całkowitą energię ruchu obrotowego zapisujemy w postaci:

E_k = $\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{2}*$ m_i * r_i² * ω² = $\frac{1}{2}$ ω² * $\sum_{i = 1}^{n}m$_i * r_i²

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym. Opisuje zdolność do wprowadzenia ciała w ruch obrotowy (pod wpływem momentu siły). Jest to suma iloczynów masz poszczególnych elementów ciała przez kwadrat ich odległości od osi obrotu.

I = $\sum_{i = 1}^{n}m$_i * r_i² [ kg * m² ]

Wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego przyjmuje postać:

E_k = $\frac{1}{2}$ * I * ω² [ J ]

W ćwiczeniu posługiwać się będziemy krzyżakiem. Jest on osadzony na osi, wokół której może obracać się z minimalnymi oporami ruchu. Na osi krzyżaka nawinimęty jest cienki sznurek z ciężarkami o masie m. Ciężarek ma względe obranego poziomu odniesienia energie potencjalną:

E_p = m * g * h [ J ]

Pod wpływem siły ciężkości ciężarka krzyżak będzie się obracał ruchem jednostajnie przyśpieszonym, zyskując energię kinetyczną ruchu obrotowego E₁ :

E₁ = $\frac{1}{2}$ * I * ω²

Ciężarek zyskuje energię kinetyczną, lecz ruchu postępowego E₂ :

E₂ = $\frac{1}{2}$ * m * v²

Przyjmując założenie, że opory ruchu są do pominięcia, możemy przedstawić zasadę zachowania energii w tym układzie równaniem:

E = E₁ + E₂

m * g *h = $\frac{1}{2}$ * m * v² + $\frac{1}{2}$ * I *ω²

Moment bezwładności I krzyżaka nie da się obliczyć bezpośrednio z równania powyżej, ponieważ wartości chwilowe v i ω są trudne do zmierzenia bezpośredniego. Możemy je jednak wyrazić przez wielkości łatwo mierzalne – drogę ( h ) oraz czas ( t ).

Dla ruchu jednostajnie przyśpieszonego bez prędkości początkowej mamy wzór na prędkość:

v = a * t (1)

Oraz wzór na drogę s :

s = $\frac{a*t^{2}\ }{2}$

Przyjmujemy, że a = g :

h = $\frac{g*\ t^{2}}{2}$ (2)

Ze wzorów (1) i (2) otrzymujemy wzór na v :

h = $\frac{g*\ t^{2}}{2}\ $/ * 2

2 * h = g * t²

g = $\frac{2*h}{t^{2}}$

v = $\frac{2*h}{t^{2}}$ * t

v = $\frac{2*h}{t}$

Znany jest również związek pomiędzy v i ω :

ω = $\frac{v}{a}$

Uwzględniając powyższe zależności wzór na moment bezwładności przyjmuje postać:

m * g *h = $\frac{1}{2}$ * m * v² + $\frac{1}{2}$ * I *ω²

$\frac{1}{2}$ * I *ω² = m * g *h - $\frac{1}{2}$ * m * v² / *2

I *ω² = 2 * m * g *h – m * v²

I = $\frac{m\ \ (\ 2*g*h - \ v^{2}\ )}{\omega^{2}}$

I = $\frac{m\ \ (\ 2*g*h - ({\frac{2*h}{t})}^{2}\ )}{\frac{v}{r}^{2}}$

I = $\frac{m\ *r^{2}\ (\ 2*g*h - \ \frac{4*h}{t^{2}}^{2}\ )}{v^{2}}$

I = $\frac{m\ *r^{2}\ (\ 2*g*h - \ \frac{4*h}{t^{2}}^{2}\ )}{\frac{4*h}{t^{2}}^{2}\ }$

I = $\frac{m\ *r^{2}\ \left( \ 2*g*h - \ \frac{4*h}{t^{2}}^{2}\ \right)*\ t^{2}}{{4\ *\ h}^{2}}$

I = $\frac{2*m*\ r^{2}*\ t^{2}\ (\ g*h - \ \frac{2*\ h^{2}}{t^{2}}\ )}{{4\ *\ h}^{2}}$

I = $\frac{m\ *\ h\ *\ r^{2}*\ t^{2}\ (\ g\ - \ \frac{2*h}{t^{2}}\ )}{{2\ *\ h}^{2}}$

I = $\frac{m\ *\ r^{2}\ (\ g*\ t^{2}\ \ 2*h\ )}{2*h}$ [ $\frac{\text{kg}*\ m^{2}\ (\ \frac{m}{s^{2}}*\ s^{2} - \ m\ )}{m} = \ \frac{\text{kg}*\ m^{2}*m}{m} = \text{kg}*m^{2}$ ]

Opis ćwiczenia:

1. Zmierzyć suwmiarką średnicę osi krzyżaka i wyznaczyć promień r osi.

2. Rozmieścić obciążniki B w jednakowej , skrajnej odległości od osi krzyżaka (L + R) oraz tak, aby układ był w równowadze obojętnej.

3. Zmierzyć długość h sznurka i nawinąć go jedną warstwą na oś krzyżaka.

4. Puścić krzyżak swobodnie i zmierzyć czas opadania ciężarka do całkowitego rozwinięcia się sznurka.

5. Obliczyć moment bezwładności krzyżaka z wyprowadzonego wzoru.

6. Przeprowadzić kilka pomiarów i obliczeń momentu bezwładności dla innych położeń obciążników B, przesuwając je, np. o 1 cm w kierunku środka.

7. Sporządzić wykres zależności momentu bezwładności I do położenia obciążników, tzn. od (L+R).

8. Wyniki zestawić w tabelce.

Wzory na niepewność:

$\frac{\partial I}{\partial r} = \ \frac{2*\ m\ *\ r\ (\ g*\ t^{2}\ \ 2*h\ )}{2*h}$ = $\frac{m\ *\ r\ (\ g*\ t^{2}\ \ 2*h\ )}{h}$

$\frac{\partial I}{\partial t} = \ {\lbrack\ \frac{m*r^{2}*g*\ t^{2}}{2*h}\rbrack}^{\frac{\partial I}{\partial t}}$ = $\frac{2*t*m*g*\ r^{2}}{2*h}$ = $\frac{t*m*g*\ r^{2}}{h}$

$\frac{\partial I}{\partial h} = \ {\lbrack\ \frac{m*\ r^{2}*g*\ t^{2}}{2*h} - \frac{m*r^{2}*2*h}{2*h}\ \rbrack}^{\frac{\partial I}{\partial h}}$ = $\frac{- \ m\ *\ r^{2}\ *\ g\ *\text{\ t}^{2}}{2*\ h^{2}}$